1、2017-2018 学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）1 （3 分）把不等式 x+20 的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）A BC D2 （3 分）如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（ ）A B C D3 （3 分）下列因式分解正确的是（ ）A2x 26x2x（x 6） Ba 3+aba （a 2b）Cx 2y 2（x+y） （x y ） Dm 29n 2（m+9n） （m9n）4 （3 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB 和 CD 上，
2、下列条件不能判定四边形DEBF 一定是平行四边形的是（ ）AAECF BDE BF CADECBF DAED CFB5 （3 分）无论 a 取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）A B C D6 （3 分）如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（ ）A比原多边形多 180 B比原多边形多 360C与原多边形相等 D比原多边形少 180第 2 页（共 26 页）7 （3 分）下列运算正确的是（ ）A B a+1C + 0D 8 （3 分）如图，在ABC 中，BAC 90，ABC 2C，BE 平分ABC 交 AC 于E，ADBE
3、于 D，下列结论：AC BEAE；点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；DAEC；BC4AD，其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题：（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）9 （3 分）把多项式 n（n2）+m（2n）分解因式的结果是 10 （3 分）若分式 的值为正数，则 x 的取值范围 11 （3 分）将点 P（2，3）向右平移 3 个单位得到点 P1，点 P2 与点 P1 关于原点对称，则 P2 的坐标是 12 （3
4、分）小刚从家到学校的路程为 2km，其中一段是 lkm 的平路，一段是 lkm 的上坡路已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为 akm/h，2akm/h，3akm /h，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多 h13 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，BC15，CD9，EF6， AFE50，则ADC 的度数为 14 （3 分）某工厂原计划在规定时间内生产 12000 个零件，实际每天比原计划多生产 100个零件，结果比规定时间节省了 若设原计划每天生产 x 个零件，则根据题意可列方
5、程为 第 3 页（共 26 页）15 （3 分）如图，在ABC 中，AB6，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30后得到A 1BC1，则阴影部分的面积为 16 （3 分）直线 yx +m 与 yx+5 的交点的横坐标为 2，则关于 x 的不等式x+ mx +50 的整数解为 三、作图题（本题满分 4 分）17 （4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：四边形 ABCD求作：点 P，使PBCPCB，且点 P 到 AD 和 DC 的距离相等四、解答题：（本题满分 68
6、分，共有 7 道小题）18 （14 分）计算题（1）因式分解：3a 2b6ab 2+3b3（2）解不等式组：（3）先化简，再求值：（1+ ） ，其中 a319 （6 分）如图，已知 Rt ABC 中，ACB90，CACB，D 是 AC 上一点，E 在 BC的延长线上，且 AEBD ， BD 的延长线与 AE 交于点 F试通过观察、测量、猜想等方法来探索 BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并证明你的结论第 4 页（共 26 页）20 （8 分）某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人 100 元，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的 78%付款；
7、第二种方案是师生都按原价的 80%付款该校参加这项活动的教师有 5 名，学生有 x名（1）设购票付款为 y 元，请写出 y 与 x 的关系式（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？21 （8 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，过 A，C 分别作 AD 和 BC 的垂线，交对角线 BD 于点 E， F，AECF，BE DF （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；（2）若 BC4，CBD45 ，且 E，F 是 BD 的三等分点，求四边形 ABCD 的面积 （直接写出结论即可）22 （10 分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市
8、场顺风车行五月份 A 型车的销售总利润为 4320 元，B 型车的销售总利润为 3060 元且 A 型车的销售数量是 B 型车的 2 倍，已知销售 B 型车比 A 型车每辆可多获利 50 元（1）求每辆 A 型车和 B 型车的销售利润；（2）若该车行计划一次购进 A、B 两种型号的自行车共 100 台且全部售出，其中 B 型车的进货数量不超过 A 型车的 2 倍，则该车行购进 A 型车、B 型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？第 5 页（共 26 页）23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是面积为 S 的平行四边形，其中 ADBC，ABCD（1）如图 ，点 P 为 A
9、D 边上任意一点，则PAB 的面积 S1 和PDC 的面积 S2 之和与ABCD 的面积 S 之间的数量关系是 （2）如图 ，设 AC、BD 交于点 P，则PAB 的面积 S1 和PDC 的面积 S2 之和与ABCD 的面积 S 之间的数量关系是 （3）如图 ，点 P 为ABCD 内任意一点时，试猜想PAB 的面积 S1 和PDC 的面积S2 之和与ABCD 的面积 S 之间的数量关系，并加以证明（4）如图 ，已知点 P 为ABCD 内任意一点，PAB 的面积为 2，PBC 的面积为8，连接 BD，求PBD 的面积24 （12 分）问题：
10、如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，EAF45，试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系【发现证明】将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EFBE+FD ，请你利用图 证明上述结论【类比引申】如图 ，四边形 ABCD 中，BAD90，ABAD， B+D 180，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍有 EFBE+FD【探究应用】如图 ，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知 ABAD80 米，B60，ADC120，BAD150，道路 BC、CD 上分别有景点 E、F
11、，且AEAD ，DF（40 40 ）米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF的长第 6 页（共 26 页）第 7 页（共 26 页）2017-2018 学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）1 （3 分）把不等式 x+20 的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）A BC D【分析】先解的不等式，然后在数轴上表示出来【解答】解：解不等式 x+20，得x2表示在数轴上为： 故选：D【点评】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集把每个不等式的解集在数轴上表示出来（
12、，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示2 （3 分）如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念以及平面镶嵌的定义进行判断即可【解答】解：不是中心对称图形，不合题意；是中心对称图形，又能镶嵌整个平面，符合题意；是中心对称图形，又能镶嵌整个平面，符合题意；是中心对称图形，不能镶嵌整个平面，不合题意故选：C第 8 页（共 26 页）【点评】本题考
13、查的是中心对称图形与平面镶嵌中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3 （3 分）下列因式分解正确的是（ ）A2x 26x2x（x 6） Ba 3+aba （a 2b）Cx 2y 2（x+y） （x y ） Dm 29n 2（m+9n） （m9n）【分析】各项分解因式得到结果，即可作出判断【解答】解：A、2x 26x 2 x（x3） ，错误；B、a 3+aba （a 2b） ，正确；C、x 2y 2（x 2+y2） ，错误；D、m 29n 2（m+3n） （m3n） ，错误；故选：B【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
14、键4 （3 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB 和 CD 上，下列条件不能判定四边形DEBF 一定是平行四边形的是（ ）AAECF BDE BF CADECBF DAED CFB【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可；【解答】解：A、由 AECF，可以推出 DFEB ，DF EB，四边形 ABCD 是平行四边形；B、由 DEBF，不能推出四边形 ABCD 是平行四边形，有可能是等腰梯形；C、由ADE CBF，可以推出ADECBF，推出 DFEB，DFEB，四边形ABCD 是平行四边形；D、由AEDCFB，可以推出ADE CBF ，推出 DFEB，DF EB，
15、四边形ABCD 是平行四边形；故选：B【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的第 9 页（共 26 页）关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5 （3 分）无论 a 取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）A B C D【分析】由分母是否恒不等于 0，依次对各选项进行判断【解答】解：当 a0 时，a 20，故 A、B 中分式无意义；当 a1 时，a+10，故 C 中分式无意义；无论 a 取何值时，a 2+10，故选：D【点评】解此类问题，只要判断是否存在 a 使分式中分母等于 0 即可6 （3 分）如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边
16、形的内角和（ ）A比原多边形多 180 B比原多边形多 360C与原多边形相等 D比原多边形少 180【分析】设原多边形的边数为 n，则得出的新多边形的边数为 n+1，根据多边形内角和公式得出算式（n+12）180（n2）180，求出即可【解答】解：设原多边形的边数为 n，则得出的新多边形的边数为 n+1，即（n+12）180（n2）180180，即新多边形的内角和比原多边形的内角和多 180，故选：A【点评】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键7 （3 分）下列运算正确的是（ ）A B a+1C + 0第 10 页（共 26 页）D 【
17、分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）原式 ，故 A 错误；（B）原式a+ ，故 B 错误；（D）原式 ，故 D 错误；故选：C【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型8 （3 分）如图，在ABC 中，BAC 90，ABC 2C，BE 平分ABC 交 AC 于E，ADBE 于 D，下列结论：AC BEAE；点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；DAEC；BC4AD，其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据角平分线的定义可得12，然后求出2C，再根据等角对等边可得 BECE，结合
18、图形 ACCE AE，即可得到 正确；根据等腰三角形三线合一的性质即可得到点 E 在线段 BC 的垂直平分线上，从而得到正确；根据直角三角形的性质分别得到DAE 和C 的度数，从而得到 正确；根据含 30的直角三角形的性质可得 AB 和 BC， AD 的关系，进一步得到 BC 和 AD 的关系，从而得到正确【解答】解：如图，BE 平分ABC，12，ABC2C，2C，BECE，ACCEAE，ACBEAE，故正确；BECE，第 11 页（共 26 页）点 E 在线段 BC 的垂直平分线上，故 正确；12C，C130，AEB 903060，DAE906030，DAEC，故 正确；在 Rt BAC 中
19、，C30，BC2AB，在 Rt BDA 中，130，AB2AD ，BC4AD，故正确；综上所述，正确的结论有故选：D【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用含 30的直角三角形的性质是解题的关键二、填空题：（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）9 （3 分）把多项式 n（n2）+m（2n）分解因式的结果是 （n2） （nm） 【分析】直接提取公因式（n2） ，进而分解因式得出答案【解答】解：n（n2）+m（2n）n（n2）m（n2）（n2） （nm） 故答案为：（n2） （nm） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找
20、出公因式是解题关键10 （3 分）若分式 的值为正数，则 x 的取值范围 x7 【分析】由题意得分式 0，根据负负得正，得 7x0，解得：x7【解答】解：由题意得：第 12 页（共 26 页）0，60，7x0，x7故答案为：x7【点评】题目考查了分式的基本运算和不等式的运算题目整体较为简单，学生需要注意运算的正确性即可11 （3 分）将点 P（2，3）向右平移 3 个单位得到点 P1，点 P2 与点 P1 关于原点对称，则 P2 的坐标是 （1，3） 【分析】首先根据点 P（2，3）向右平移 3 个单位得到点 P1，可得点 P1 的坐标是（1，3） ，然后根据点 P2 与点 P1
21、关于原点对称，求出 P2 的坐标是多少即可【解答】解：点 P（2，3）向右平移 3 个单位得到点 P1，点 P1 的坐标是（1，3） ；点 P2 与点 P1 关于原点对称，P 2 的坐标是（1，3） 故答案为：（1，3） 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及坐标与图形变化问题平移，要熟练掌握12 （3 分）小刚从家到学校的路程为 2km，其中一段是 lkm 的平路，一段是 lkm 的上坡路已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为 akm/h，2akm/h，3akm /h，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多 h【分析】根据题意，可以用代数式表示
22、出小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多多少小时【解答】解：由题意可得，小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多： h，故答案为： 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式第 13 页（共 26 页）13 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，BC15，CD9，EF6， AFE50，则ADC 的度数为 140 【分析】连接 BD，根据三角形中位线定理得到 EFBD，BD2EF12，根据勾股定理的逆定理得到BDC90，计算即可【解答】解：连接 BD，E、F 分别是边 AB、AD 的中点，EFBD ，BD2EF12，AD
23、BAFE50，BD2+CD2225 ，BC 2225，BD 2+CD2BC 2，BDC90，ADCADB+BDC140，故答案为：140【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半14 （3 分）某工厂原计划在规定时间内生产 12000 个零件，实际每天比原计划多生产 100个零件，结果比规定时间节省了 若设原计划每天生产 x 个零件，则根据题意可列方程为 【分析】设原计划每天生产的零件个数为 x 个，则实际每天生产（x+100）个零件，根据题意可得等量关系列出方程即可【解答】解：设原计划每天生产的零件个数为
24、 x 个，由题意得，故答案为： ，第 14 页（共 26 页）【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程15 （3 分）如图，在ABC 中，AB6，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30后得到A 1BC1，则阴影部分的面积为 9 【分析】根据旋转的性质得到 BCA 1BC1，A 1BAB6，所以A 1BA 是等腰三角形，依据A 1BA 30得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影 S A1BA +SA1BC1S ABC S A1BA ，最终得到阴影部分的面积【解答】解：在ABC 中，AB6，将ABC 绕
25、点 B 按逆时针方向旋转 30后得到A 1BC1，ABCA 1BC1，A 1BAB6，A 1BA 是等腰三角形， A 1BA30，S A 1BA 639，又S 阴影 S A1BA +SA1BC1 S ABC ，SA 1BC1S ABC ，S 阴影 S A1BA 9故答案为：9【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等运用面积的和差关系解决不规则图第 15 页（共 26 页）形的面积是解决此题的关键16 （3 分）直线 yx +m 与 yx+5 的交点的横坐标为 2，则关于 x 的不等式x+ mx +50 的整数解为
26、 3，4 【分析】满足不等式x+m x+50 就是直线 yx+m 位于直线 yx+5 的上方且位于x 轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可求得整数解【解答】解：直线 yx +m 与 yx+5 的交点的横坐标为 2，关于 x 的不等式x +mx+5 的解集为 x2，yx+50 时， x5，x+50 的解集是 x5，x+mx+50 的解集是 5x2，整数解为3，4故答案为3，4【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是根据不等式x+mx+3 0 就是直线 yx+m 位于直线 yx+3 的上方且位于 x 轴的上方的图象来分析三、作图题（本题满分 4 分
27、）17 （4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：四边形 ABCD求作：点 P，使PBCPCB，且点 P 到 AD 和 DC 的距离相等【分析】由PBCPCB 知点 P 在线段 BC 中垂线上，由点 P 到 AD 和 DC 的距离相等知点 P 也在ADC 平分线上，据此作图可得【解答】解：如图所示，点 P 即为所求第 16 页（共 26 页）【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线和角平分线的尺规作图及其性质四、解答题：（本题满分 68 分，共有 7 道小题）18 （14 分）计算题（1）因式分解：3a 2b6ab 2+3b3（2）解不等式组：（3）先化简
28、，再求值：（1+ ） ，其中 a3【分析】 （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行分解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；（3）先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可【解答】解：（1）3a 2b6ab 2+3b33b（a 22ab+b 2）3b（ab） 2；（2）解不等式得：x3，解不等式 得： x2，不等式组的解集为3x2；（3） （1+ ）第 17 页（共 26 页） a+2，当 a3 时，原式3+21【点评】本题考查了分式的混合运算和求值、解一元一次不等式组和因式分解，能灵活运用各个方法分解因式是解（1）的关键，能根据不等式的解集找
29、出不等式组的解集是解（2）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（3）的关键19 （6 分）如图，已知 Rt ABC 中，ACB90，CACB，D 是 AC 上一点，E 在 BC的延长线上，且 AEBD ， BD 的延长线与 AE 交于点 F试通过观察、测量、猜想等方法来探索 BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并证明你的结论【分析】结论：BFAE 只要证明 RtBCDRtACE（HL）即可解决问题；【解答】解：结论：BFAE理由：在 Rt BCD 和 RtACE 中，RtBCD RtACE （HL ） ，CBDCAE，E+CAE90，CBD+E90，BFE 90，BFAE【点评】本题考
30、查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型20 （8 分）某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人 100 元，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的 78%付款；第 18 页（共 26 页）第二种方案是师生都按原价的 80%付款该校参加这项活动的教师有 5 名，学生有 x名（1）设购票付款为 y 元，请写出 y 与 x 的关系式（2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？【分析】 （1）根据题意可以得到 y 与 x 的函数关系式；（2）根据（1）中的函数解析式，令它们相
31、等，求出相应的 x 的值，即可解答本题【解答】解：（1）由题意可得，第一种方案中：y5100+100x78%78x+500，第二种方案中：y100（x +5）80%80x+400；（2）令 78x+50080x +400，解得，x50，当学生人数少于 50 人时，按方案二购买，当学生人数为 50 人时，两种方案一样，当学生人数超过 50 人时，按方案一购买【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答21 （8 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，过 A，C 分别作 AD 和 BC 的垂线，交对角线 BD 于点 E， F，AECF，
32、BE DF （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；（2）若 BC4，CBD45 ，且 E，F 是 BD 的三等分点，求四边形 ABCD 的面积 （直接写出结论即可）【分析】 （1）根据垂直的定义得到DAEBCF90，根据全等三角形的性质得到ADBC，ADE CBF，于是得到结论；（2）过 C 作 CHBD 于 H，推出CBF 是等腰直角三角形，解直角三角形得到 BF第 19 页（共 26 页）BC4 ，CH BC2 ，于是得到结论【解答】 （1）证明：AEAD，CFBC，DAEBCF90，BEDF ，BE+EFDF+ EF，即 BFDE ，在 Rt ADE 与 RtCBF 中，RtADE
33、RtCBF（HL） ，ADBC，ADE CBF，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形；（2）解：过 C 作 CHBD 于 H，CBD45，CBF 是等腰直角三角形，BF BC 4 ，CH BC2 ，E，F 是 BD 的三等分点，BD6 ，四边形 ABCD 的面积BDCH24【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键22 （10 分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场顺风车行五月份 A 型车的销售总利润为 4320 元，B 型车的销售总第 20 页
34、（共 26 页）利润为 3060 元且 A 型车的销售数量是 B 型车的 2 倍，已知销售 B 型车比 A 型车每辆可多获利 50 元（1）求每辆 A 型车和 B 型车的销售利润；（2）若该车行计划一次购进 A、B 两种型号的自行车共 100 台且全部售出，其中 B 型车的进货数量不超过 A 型车的 2 倍，则该车行购进 A 型车、B 型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？【分析】 （1）设每台 A 型车的利润为 x 元，则每台 B 型车的利润为（x+50）元，然后根据销售 A 型车数量是销售 B 型车的 2 倍列出方程，然后求解即可；（2）设购进 A 型车 a 台，这 1
35、00 台车的销售总利润为 y 元根据总利润等于两种车的利润之和列式整理即可得解；根据 B 型车的进货量不超过 A 型车的 2 倍列不等式求出 a的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可【解答】解：（1）设每台 A 型车的利润为 x 元，则每台 B 型车的利润为（x+50）元，根据题意得 2，解得 x120经检验，x120 是原方程的解，则 x+50170答：每辆 A 型车的利润为 120 元，每辆 B 型车的利润为 170 元（2）设购进 A 型车 a 台，这 100 辆车的销售总利润为 y 元，据题意得，y120a+170（100a） ，即 y50a+17000，100a2a
36、，解得 a33 ，y50a+17000，y 随 a 的增大而减小，a 为正整数，当 a34 时，y 取最大值，此时 y5034+1700015300即商店购进 34 台 A 型车和 66 台 B 型车，才能使销售总利润最大，最大利润是 15300元【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是第 21 页（共 26 页）常用的方法，需熟练掌握23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是面积为 S 的平行四边形，其中 ADBC，ABCD（1）如图 ，点 P 为 AD 边上任意一点，则PAB
37、的面积 S1 和PDC 的面积 S2 之和与ABCD 的面积 S 之间的数量关系是 S 1+S2 S （2）如图 ，设 AC、BD 交于点 P，则PAB 的面积 S1 和PDC 的面积 S2 之和与ABCD 的面积 S 之间的数量关系是 S 1+S2 S （3）如图 ，点 P 为ABCD 内任意一点时，试猜想PAB 的面积 S1 和PDC 的面积S2 之和与ABCD 的面积 S 之间的数量关系，并加以证明（4）如图 ，已知点 P 为ABCD 内任意一点，PAB 的面积为 2，PBC 的面积为8，连接 BD，求PBD 的面积【分析】 （1）根据平行四边形的性质可知：S PBC S 平行四边形 A
38、BCD，即可解决问题；（2）理由平行四边形的性质可知：S ABP S ADP S DPC S BCP ，即可解决问题；（3）结论：S 1+S2 S如图 中，作 PEAB 于 E，延长 EP 交 CD 于 F根据S1+S2 ABPE+ CDPF ABEF S；（4）设PAD 的面积为 x，PDC 的面积为 y，则 2+y8+x，推出 yx6，可得PBD 的面积2+y （2+ x）y x6；【解答】解：（1）如图中，AD BC，ABCD四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，第 22 页（共 26 页）S PBC S，S ABP +SDCP S，S 1+S2 S故答案为 S1+S2 S（2）如图
39、 中， 四边形 ABCD 是平行四边形，PAPC，BPDP，S ABP S ADP S DPC S BCP ，S 1+S2 S故答案为 S1+S2 S（3）结论：S 1+S2 S理由：如图中，作 PEAB 于 E，延长 EP 交 CD 于 FABCD，PE AB，PFCD，S 1+S2 ABPE+ CDPF ABEF S（4）设PAD 的面积为 x，PDC 的面积为 y，则 2+y8+x，yx6，PBD 的面积2+y （2+x）y x6，第 23 页（共 26 页）【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型等正整数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型24
40、 （12 分）问题：如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，EAF45，试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系【发现证明】将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EFBE+FD ，请你利用图 证明上述结论【类比引申】如图 ，四边形 ABCD 中，BAD90，ABAD， B+D 180，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足 BAD 2EAF 关系时，仍有EFBE+FD 【探究应用】如图 ，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知 ABAD80 米，B60，ADC120，BAD150，道路 BC、CD 上分别有景
41、点 E、F，且AEAD ，DF（40 40 ）米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF的长【分析】 【发现证明】根据旋转的性质可以得到ADG ABE，则 GFBE+DF，只要再证明AFGAFE 即可；【类比引申】延长 CB 至 M，使 BMDF，连接 AM，证 ADFABM，证第 24 页（共 26 页）FAE MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到ABE 是等边三角形，则 BEAB80米把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，只要再证明BAD2EAF 即可得出 EFBE+FD【解答】 【发现证明】证明：如图（1） ，ADGABE，AGAE，D
42、AGBAE，DGBE，又EAF 45，即DAF+BAEEAF45，GAFFAE，在GAF 和FAE 中，AFGAFE（SAS） GFEF又DGBE，GFBE+DF，BE+DFEF ；【类比引申】BAD2EAF理由如下：如图（2） ，延长 CB 至 M，使 BMDF，连接 AM，ABC+ D180，ABC +ABM 180，DABM，在ABM 和 ADF 中，ABM ADF（SAS） ，AFAM，DAF BAM，BAD2EAF，DAF+BAEEAF ，EAB +BAMEAMEAF，在FAE 和MAE 中，第 25 页（共 26 页），FAE MAE（SAS ） ，EFEMBE+BM BE +DF
43、，即 EFBE+DF故答案是：BAD2EAF；【探究应用】如图（3） ，把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，连接 AF，过 A作 AHGD ，垂足为 H，BAD150，DAE 90，BAE 60又B60，ABE 是等边三角形，BEAB80 米根据旋转的性质得到：ADGB60，又ADF120，GDF 180 ，即点 G 在 CD 的延长线上易得，ADG ABE，AGAE，DAGBAE，DGBE，又AH80 40 ， HFHD+DF40+40 （ 1）40 ，故HAF45，DAFHAFHAD453015从而EAF EADDAF901575又BAD1502752EAF根据上述推论有：EFBE+DF80+40（ 1）40（ +1） （米） ，即这条道路 EF 的长为 40（ +1） 第 26 页（共 26 页）【点评】本题考查的是四边形综合题，掌握、旋转变换的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，正确画出图形，证明BAD2EAF 的关键环节
