2018年秋北师大版八年级上数学册《第一章勾股定理》综合性提高训练含答案解析

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1、北师大 8 上第一章勾股定理综合性提高训练(含答案)例题 1、直角三角形的面积为 ,斜边上的中线长为 ,则这个三角形周长为( )Sd(A) (B) 2d2S(C) (D) 解:设两直角边分别为 ,斜边为 ,则 , . 由勾股定理,得 .abc2d1Sab22abc所以 .224ab所以 .所以 .故选(C)dSabc2S例题 2在 中, , 边上有 2006 个不同的点 ,来源:学科网来源:Zxxk.ComABC1BC1206,P记 ,则 =_.2206iiimP 1206m解:如图,作 于 ,因为 ,则 .ADBC1ABCD由勾股定理,得 .所以222,P2P所以 .221ABCA因此 .1

2、20606m例题 3如图所示,在 中, ,且 ,Rt9,45BCABDE3B,求 的长.4CED解:如右图:因为 为等腰直角三角形,所以 .ABC45ABDC所以把 绕点 旋转到 ,则 .EFE所以 .连结 . 所以 为直角三角形.4,45FCFB由勾股定理,得 .所以 .2223D5因为 所以 . 5,AE 4AFDBEA所以 . 所以 .S5例题 4、如图,在ABC 中,AB=AC=6,P 为 BC 上任意一点,请用学过的知识试求PCPB+PA2 的值。例题 5、如图在 RtABC 中, 3,4,90BCAC,在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。

3、如图所示:要求:在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形)解:要在 RtABC 的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。来源:Zxxk.ComABPC10例题 6如图,A、B 两个村子在河 CD 的同侧,A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水,铺设水管的费

4、用为 20000 元/千米,请你在 CD 选择水厂位置 O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用 F。例题 7.ABC 中,BC a,AC b,AB c,若C=90,如图(1) ,根据勾股定理,则22cba,若ABC 不是直角三角形,如图(2)和图(3) ,请你类比勾股定理,试猜想与 的关系,并证明你的结论. 来源:学科网 ZX解:若ABC 是锐角三角形,则有 a2+b2c2 若ABC 是钝角三角形,C 为钝角,则有 a2+b20,x0 2ax0 a2+b2c2 当 ABC 是钝角三角形时,例题 8 A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处,以 10 千米/

5、时的速度7向北偏西 60的 BF 方向移动,距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区域(1)A 市是否会受到台风的影响?写出你的结论并给予说明;(2)如果 A 市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?课堂练习:1、将一根 24cm 的筷子,置于底面直径为 15cm,高 8cm 的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为 hcm,则 h 的取值范围是( ) Ah17cm B h8cm C15cmh16cm D 7cmh16cm2 如图,已知: , , 于 P. 求证: . 思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以 BP 为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以 B

6、P 为一边的直角三角形 . 所以连结 BM. 这样,实际上就得到了 4 个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析:连结 BM,根据勾股定理,在 中,. 而在 中,则根据勾股定理有. 又 (已知) , . 在 中,根据勾股定理有 , . 3 已知:如图,B= D=90,A=60,AB=4,CD=2 。求:四边形 ABCD 的面积。分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结 AC,或延长 AB、DC 交于 F,或延长 AD、BC 交于点 E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析:延长 AD、BC 交于 E。A=60 ,B=9

7、0,E=30。AE=2AB=8,CE=2CD=4,BE 2=AE2-AB2=82-42=48,BE= = 。 DE 2= CE2-CD2=42-22=12,DE= = 。S 四边形 ABCD=SABE -SCDE = ABBE- CDDE=4 一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于 厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示,点 D 在离厂门中线 0.8 米处,且 CD, 与地面交于 H解:OC1 米 (大门宽度一半),OD0.8 米 (卡车宽度一半)在 RtOC

8、D 中,由勾股定理得:CD .米,C .(米).(米) 因此高度上有 0.4 米的余量,所以卡车能通过厂门5、如图,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且QPN 30,点 A 处有一所中学,AP160m。假设拖拉机行驶时,周围 100m 以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为 18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响,大于 100m 则不受影响,故作垂线段 A

9、B 并计算其长度。 (2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。 解析:作 ABMN,垂足为 B。 在 RtABP 中,ABP90,APB30, AP160, AB AP80。 (在直角三角形中,30所对的直角边等于斜边的一半) 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图,假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响,那么AC100(m) ,由勾股定理得: BC 2100 2-8023600, BC 60。 同理,拖拉机行驶到点 D

10、 处学校开始脱离影响,那么, AD100(m) ,BD 60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答:拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24 秒。 6、如图所示,ABC 是等腰直角三角形, AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,E 、F 分别是AB、AC 边上的点,且 DEDF,若 BE=12,CF=5求线段 EF 的长。思路点拨:现已知 BE、CF,要求 EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接 AD解:连

11、接 AD因为BAC=90 ,AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线,所以 AD=DC=DBADBC且BAD= C=45因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF 所以AEDCFD(ASA) 所以 AE=FC=5同理:AF=BE=12在 RtAEF 中,根据勾股定理得:,所以 EF=13。总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。7 如图,在等腰ABC 中, ACB=90 ,D、E 为斜边 AB 上的点,且DCE=45。求证:DE 2

12、=AD2+BE2。ECA BDFECA BD分析:利用全等三角形的旋转变换,进行边角的全等变换,将边转移到一个三角形中,并构造直角三角形。8 如图,长方形 ABCD 中,AB=8 ,BC=4 ,将长方形沿 AC 折叠,点 D 落在点 E 处,则重叠部分AFC 的面积是 。EFDBCA设 EF=x,那么 AF=CF=8-x,AE 2+EF2=AF2,所以 42+x2=(8-x) 2,解得 x=3,S=4*8/2-3*4/2=10答案:109. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1 处,如图,已知长方形长 6cm,宽 5 cm,高 3 cm。蜘蛛因急于

13、捉到苍蝇,沿着长方形的表面向上爬,它要从 A 点爬到 C1 点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去,所走的距离最短?你能帮蜘蛛求出最短距离吗?10. 已知ABC 的三边 a、b、c,且 a+b=17,ab=60,c=13, ABC 是否是直角三角形?你能说明理由吗?答案: 是直角三角形。 (平方差公式的灵活运用)ab2)(2= 22169017c。变式训练:一、选择题1.下列说法正确的有( ) ABC 是直角三角形,C=90,则 a2+b2=c2. ABC 中,a 2+b2c 2,则ABC 不是直角三角形. 若AB C 中,a 2-b2=c2,则ABC 是直角三角形.

14、若ABC 是直角三角形,则(a+b)(a-b)=c 2. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2.已知 RtABC 中,C=90,若 a+b=14cm,c=10cm,则 RtABC 的面积是( )A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 29C1A3.已知,如图,一轮船以 20 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行,另一轮船以 15 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行,则 2 小时后,两船相距( )A.35 海里 B.40 海里 C.45 海里 D.50 海里4.如图,已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠,使点 C 落在 C处,BC

15、交 AD 于 E,AD=8,AB=4,则 DE 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题后的横线上.)5.如图,学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“路“.他们仅仅少走了_步路(假设 2 步为 1 米),却踩伤了青草.6.如图,圆柱形玻璃容器高 20cm,底面圆的周长为 48cm,在外侧距下底 1cm 的点 A 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1cm 的点 B 处有一只苍蝇,则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为_.7.如果三条线段的长度分别为 8cm、xcm、18cm

16、,这三 条线段恰好能组成一个直角三角形,那么以 x 为边长的正 方形的面积为_.8.已知ABC 的三边 a、b、c 满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|,则ABC 的面积为_ _.三、解答题(共 6 小题,1、2 题各 10 分,3-6 题各 12 分,共 68 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)9.如图是一块地,已知 AB=8m,BC=6m,B=90,AD=26m,CD=24m,求这块地的面积. 10.如图,将一根 30长的细木棒放入长、宽、高分别为 8、6和 24的长方体无盖盒子中,求细木棒露在盒外面的最短长度是多少?11.如图,铁路上 A、B 两点相距 2

17、5km, C、D 为两村庄,DAAB 于 A,CBAB 于 B,若 DA=10km,CB=15km,现要在 AB 上建一个周转站 E,使得 C、D 两村到 E 站的距离相等,则周转站 E 应建在距 A 点多远处?来源:学科网12.如图,折叠矩形纸片 ABCD,先折出折痕(对角线)AC,再折叠使 AB 边与 AC 重合,得折痕 AE,若AB=3,AD=4,求 BE 的长.13.如图,A、B 两个小镇在河流 CD 的同侧,到河流的距离分别为 AC=10km,BD=30km,且 CD=30km,现在要在河边建一自来水厂,向 A、B 两镇供水,铺设水管的费用为每 km3 万元,请你在河流 CD 上选择

18、建水厂的位置 M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少? 14.“交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置 A 处正前方 30 米的 C 处,过了 2 秒后,测得小汽车所在位置 B 处与车速检测仪间距离为 50 米,这辆小汽车超速了吗?附加题(10 分,不计入总分)如图,P 是矩形 ABCD 内一点,PA=1,PB=5,PC=7,则 PD=_.变式训练答案: 一、1.C 2.A 3.D 4.C二、5.4 6.30cm 7.260cm 或 388cm 8.30三、9.解:连接 AC

19、.1 分在ABC 中,AB=8m,BC=6m,B=90,由勾股定理,AC 2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10. 3 分在ACD 中,AC 2+CD2=102+242=676,AD2=676,AC 2+CD2=AD2. ACD 是直角 三角形.6 分 8 分答:求这块地的面积是 96m2.10 分10.解:由勾股定理,8 2+62=102,3 分102+242=262 .6 分30-26=4. 8 分答:细木棒露在盒外面的最短长度是 4cm.10 分11.解:设 E 点建在距 A 点 xkm 处.1 分如图,则 AE 长 xkm,BE 长(25-x)km.2 分DAAB,DAE

20、是直角三角形. 由勾股定理,DE 2=AD2+AE2=102+x2.5 分同理,在 RtCBE 中,CB 2+BE2=152+(25-x)2.7 分依题意,10 2+x2=152+(25-x)2, 9 分解得,x=15. 11 分答:E 应建在距 A15km 处.12 分12.解: 在 AC 上截取 AF=AB,连接 EF.1 分依题意,AB=AF, BE=EF, B=AFE=90 .3 分在 RtABC 中,AB=3,BC=AD=4,AC 2=32+42=25,AC=5. CF=AC-AF=5-3=2. 5 分设 BE 长为 x,则 EF=x,CE=4-x. 7 分在 RtCFE 中,CE

21、2=EF2+CF2,即(4-x) 2=x2+22.9 分解得,x= . 11 分答:BE 的长为 .12 分13.解:作点 A 关于 CD 的对称点 E,连接 EB,交 CD 于 M. 则 AC=CE=10 公里.2 分过点 A 作 AFBD,垂足为 F.过点 B 作 CD 的平行线交 EA 延长线于 G,得矩形 CDBG.4 分则 CG=BD=30 公里,BG=CD=30 公里,EG=CG+CE=30+10=40 里.7 分在 RtBGE 中,由勾股定理,BE 2=BG2+EG2=302+402,BE=50km,9 分350=150(万元).11 分答:铺设水管的总费用最少为 150 万元.

22、 12 分14.解:依题意,在 RtACB 中,AC=30 米,AB=50 米, 由勾股定理,BC 2=AB2-AC2=502-302,BC=40 米.3 分小汽车由 C 到 B 的速度为 402=20 米/秒. 5 分20 米/秒=72 千米/小时,8 分7270,10 分因此,这辆小汽车超速了. 12 分附加题 解:过点 P 作 MNAD 交 AB 于点 M, 交 CD 于点 N, 则 AM=DN,BM=CN.2 分PMA=PMB=90, PA 2-PM2=AM2,PB 2-PM2=BM2.4 分 PA 2-PB2=AM2-BM2.5 分 同理,PD 2-PC2=DN2-CN2.7 分PA 2-PB2=PD2-PC2.又 PA=1,PB=5,PC=7,8 分 PD 2=PA2-PB2PC 2=12-527 2,PD=5.10 分

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