1、第 1 页，共 15 页勾股定理 测试时间：100 分钟 总分： 100题号 一 二 三 四 总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 在 中， ， ，BC 边上的高 ，则另一边 BC 等于 =10=210 =6 ()A. 10 B. 8 C. 6 或 10 D. 8 或 102. 如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ， ，且=5AC： ：3，那么 AC 的长为 =2 ( )A. B. C. 3 D. 425 53. 如图，以 为直径分别向外作半圆，若 ， 1=10，则 3=8 2=( )A. 2B. 6C. 2D. 64. 直角三角形的斜边为 20cm
2、，两直角边之比为 3：4，那么这个直角三角形的周长为( )A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm5. 如图所示， 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，于点 D，则 BD 的长为 ( )A. 455B. 235C. 255D. 433第 2 页，共 15 页6. 如图，直线 L 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 1 和 9，则 b 的面积为 ( )A. 8 B. 9 C. 10 D. 117. 已知直角三角形的两条边长分别是 3 和 5，那么这个三角形的第三条边的长为 ()A. 4 B. 16 C. D. 4 或34 348. “赵
3、爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若 ，大正方(+)2=21形的面积为 13，则小正方形的面积为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 69. 如图，将一根长为 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是 ( ) A. 1219B. 1213C. 1112D. 51210. 如图，在矩形 ABCD 中， ， ，将其折叠使=1 =2AB 落在对角
4、线 AC 上，得到折痕 AE，那么 BE 的长度为 ()A. B. C. D. 212 312 512 612二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）11. 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为_ 12. 在 中，已知两边长为 5、12，则第三边的长为_ 13. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要_ 元钱14. 如图，有一个长为 50cm，宽为 30cm，高为 40cm 的长方体木箱，一根长 70cm 的木棍_放入 填“能”(或“不能” )第 3 页，共 15
5、 页15. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 周长的最小值为_16. 如图，矩形 ABCD 中， ， ，点 E 是=3 =4BC 边上一点，连接 AE，把 沿 AE 折叠，使点 B落在点 处 当 为直角三角形时， 的长为 . _17. 如图，等腰 中， ，AD 是底边上的高，若=， ，则 _cm=5=6 =18. 课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出 ， ， 线段 如图所示 ”即：3 5 ( ).，过 A 作 且 ，根据勾股定理，
6、得 ；再过 作=1 11=1 1=2 1且 ，得 ； 以此类推，得 _ 121 12=1 2=3 2017=19. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 12，腰AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB，AC 于点 E、F，若点 D为底边 BC 的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则的周长的最小值为_20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 CO、OA分别在 x 轴、y 轴上，点 E 在边 BC 上，将该矩形沿 AE折叠，点 B 恰好落在边 OC 上的 F 处 若 ，. =8，则点 E 的坐标是_ =4三、计算题（本大题共 4 小题，共 24.0 分）21.
7、 如图，一架长为 5 米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙 ON 上，梯子底端距离墙 ON 有 3 米求梯子顶端与地面的距离 OA 的长(1)若梯子顶点 A 下滑 1 米到 C 点，求梯子的底端向右滑到 D 的距离(2)第 4 页，共 15 页22. 如图，P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点， ，E、F 分别为垂足，若 ， ，求 AP =3 =4的长23. 如图所示，将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠 点 B 落在 E 点，AE 交 DC.于 F 点，已知 ， 求折叠后重合部分的面积=8=4.第 5 页，共 15 页24. 已知如图，四边形 ABCD 中， ，
8、，=90 =4， ， ，求这个四边形的面=3 =12=13积四、解答题（本大题共 2 小题，共 16.0 分）25. 如图，过点 的两条直线 ， 分别交 y 轴于点(2,0) 1 2B，C，其中点 B 在原点上方，点 C 在原点下方，已知=13求点 B 的坐标；(1)若 的面积为 4，求直线 的解析式(2) 226. 在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 =45将 绕着点 A 顺时针旋转 ，得到 如图 ，求证： (1) 90 ( ) ；若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M， 如图 ，求证：(2) ( )2=2+2第 6 页，共 15 页答案和解析【答
9、案】1. C 2. D 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D8. C 9. C 10. C11. 24 12. 13 或 11913. 612 14. 能 15. 10 16. 2 或 1017. 4 18. 201819. 8 20. (10,3)21. 解： 米；(1)=5232=4米， 米 (2)=52(41)2=4 =43=122. 解：连接 PC 四边形 ABCD 是正方形， ，=，= ， 分 (4)， 分 =(5)四边形 ABCD 是正方形，=90， ，四边形 PFCE 是矩形， 分 (8)， 分 =(9)，=90在 中， ， 2=2+2=42+32=25， 分 =5
10、(11)分 =5.(12)23. 解： 四边形 ABCD 是矩形， ，=90 =将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠， ，=， ，=在 和 中，= ， ，=第 7 页，共 15 页设 ，则 ，= =8在 中， ，即 ，2+2=2 (8)2+16=2解得： ，即 ，=5 =5折叠后重合部分的面积 =12=10224. 解：连接 AC，如图所示：， 为直角三角形，=90 又 ， ，=4 =3根据勾股定理得： ， =2+2=5又 ， ，=13=12， ，2=132=1692+2=122+52=144+25=169，2+2=2为直角三角形， ， =90则 四边形 =+=12+12=1234
11、+12125=3625. 解： 点 ，(1) (2,0)=13点 B 的坐标为 ；=22=9=3 (0,3)的面积为 4(2)，即12=4122=4 =4设 的解析式为 ，则=3=43=1(0,1)2 =+，解得0=2+1= =12=1的解析式为 2 =12126. 证明： 绕着点 A 顺时针旋转 ，得到 ，(1) 90 ， ， ， ，=90 =，=45，+=+=9045=45即 ，=在 和 中， ， = = = ；()证明：将将 绕着点 A 顺时针旋转 ，得到(2) 90，连接 GM，如图所示：第 8 页，共 15 页四边形 ABCD 是正方形， ，=90， ， ，=45= =，=，=，=，
12、=，=45，=45，=90，2=2+2=2+2 ， ，= 2=2+2【解析】1. 解：根据题意画出图形，如图所示，如图 1 所示， ， ， ，=10=210=6在 和 中，根据勾股定理得： ，=22=8，=22=2此时 ；=+=8+2=10如图 2 所示， ， ， ，=10=210=6在 和 中，根据勾股定理得： ， ，此时=22=8 =22=2，=82=6则 BC 的长为 6 或 10故选 C分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形 ABD 与直角三角形 ACD 中，利用勾股定理求出 BD 与 CD 的长，即可求出 BC 的长此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键2. 解： 四
13、边形 ABCD 是平行四边形， ，=： ：3，=2： ：3，设 ， ，=2 =2=3，即 ，解得 ，2=2+2 92=5+42 =1，0，=1=2=4故选 D本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题，学会设未知数，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型 根据平.行四边形的性质可知， ， ，由 AC： ：3，推出= =2OA： ： 3，设 ， ，在 中利用勾股定理即可解决问=2 =2=3 题第 9 页，共 15 页3. 解： ， ；2+2=2 1=12(2)2=28；2=12(2)2=28；3=12(2)2=28，2+3=28 +28 =8(2+2
14、)=28 =1故 2=13=108=2故选 A根据勾股定理，得： ，再根据圆面积公式，可以证明：2+2=2即 1+2=3. 2=108=2注意根据圆面积公式结合勾股定理证明： ，即直角三角形中，以直角边为1+2=3直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积4. 解：根据题意设直角边分别为 3xcm 与 4xcm，由斜边为 20cm，根据勾股定理得： ，(3)2+(4)2=202整理得： ，2=16解得： ，=4两直角边分别为 12cm，16cm ，则这个直角三角形的周长为 12+16+20=48故选 D 根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三
15、角形的周长此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键5. 解： 的面积 ， =12=2由勾股定理得， ，=12+22=5则 ，125=2解得 ，=455故选：A根据图形和三角形的面积公式求出 的面积，根据勾股定理求出 AC，根据三角形的面积公式计算即可本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键6. 解：由于 a、b、c 都是正方形，所以 ， ；=90，即 ，+=+=90 =在 和 中，第 10 页，共 15 页，=90= ，()， ；=在 中，由勾股定理得： ， 2=2+2=2+2即 ，=+=1+9=
16、10的面积为 10，故选 C运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得 ，然后证明 = ，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明 7. 解：当 3 和 5 都是直角边时，第三边长为： ；32+52=34当 5 是斜边长时，第三边长为： 5232=4故选：D此题要分两种情况：当 3 和 5 都是直角边时；当 5 是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解8. 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键 观察
17、图形可知，小正.方形的面积 大正方形的面积 个直角三角形的面积，利用已知 ，大正= 4 (+)2=21方形的面积为 13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案【解答】解：由图可知，直角三角形的斜边长为即为大正方形的边长，根据勾股定理可知大正方形的面积为 ，2+2=13，即 ，(+)2=21 2+2+2=21，2=8小正方形的面积 大正方形的面积 个直角三角形的面积 = 4=13412=138=5故选 C9. 解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h 最大 =2412=12当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小，如图所示：此时， ，=2+2=122+52=13故 =2413=11故 h 的取
18、值范围是 1112故选 C先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度第 11 页，共 15 页10. 试题分析：根据对称性可知： ， ，又 ，所以=90 = ，根据相似的性质可得出： ， ，在 中，= 由勾股定理可求得 AC 的值， ， ，将这些值代入该式求出 BE 的=1 =2值设 BE 的长为 x，则 、 = =2在 中， =2+2=5， =90 两对对应角相等的两三角形相似 ( )=， ，=251 =512，=512故选：C11. 解：作辅助线：连接 AB，因为 是直角三角形，所以，=2+2=32+4
19、2=5因为 ，所以 是直角三角形，52+122=132 则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即 121251234=306=24先连接 AB，求出 AB 的长，再判断出 的形状即可解答巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解 综合运用勾股定理及其逆定理.12. 解： 若 12 为直角边，可得 5 为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为 ；52+122=13若 12 为斜边， 5 和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为 ，12252=119则第三边长为 13 或 ；119故答案为：13 或 119分两种情况考虑：若 12 为直角边，可得出 5 也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边
20、，即为第三边；若 12 为斜边，可得 5 和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键13. 解：由勾股定理，=22=13252=12()则地毯总长为 ，12+5=17()则地毯的总面积为 平方米 ，172=34( )所以铺完这个楼道至少需要 元3418=612故答案为：612地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 AC 与 BC 的和，在直角 中，根第 12 页，共 15 页据勾股定理即可求得 BC 的长，地毯的长与宽的积就是面积本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键14. 解：可设放入
21、长方体盒子中的最大长度是 xcm，根据题意，得 ，2=502+402+302=5000，702=4900因为 ，所以能放进去49005000故答案是：能在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较本题考查了勾股定理的应用 解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度.15. 解：连接 AD，是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，解得 ，=12=124=16 =8是线段 AB 的垂直平分线，点 B 关于直线 EF 的对称点为点 A，的长为 的最小值， +的周长最短 =(+)+=+12=8+124=8+2=10故答案为：10连
22、接 AD，由于 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 AD ，再根据三角 形的面积公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AB 的垂直平分线可知，点 B 关于直线EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 的最小值，由此即可得出结论+本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键16. 解：当 为直角三角形时，有两种情况：当点 落在矩形内部时，如答图 1 所示 连结 AC，在 中， ， ，=3 =4，=5沿 AE 折叠，使点 B 落在点 处， ，=90当 为直角三角形时，只能得到 ， =90点 A、 、C 共线，即 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线
23、 AC 上的点 处， ， ，= =3；=53=2当点 落在 AD 边上时，如答图 2 所示 此时 为正方形，第 13 页，共 15 页，=43=1中， 综上所述，BE 的长为 2 或 10故答案为：2 或 10当 为直角三角形时，有两种情况：当点 落在矩形内部时，如答图 1 所示 连结 AC，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得 ，而=5 =90当 为直角三角形时，只能得到 ，所以点 A、 、C 共线，即 沿 =90 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 处，则 ， ，可计算出 = =3，设 ，则 ， ，然后在 中运用勾股定理可计算=2 = = =4 出 x当点 落在 AD 边上
24、时，如答图 2 所示 此时 为正方形 . 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等 也考查了.矩形的性质以及勾股定理 注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.17. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理 关键要熟知等腰三角形的三线合一可得 先根. .据等腰三角形的性质求出 BD 的长，再根据勾股定理解答即可【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得： ，在直角 中，=12=126=3 由勾股定理得： ，2=2+2所以， =22=5232=4故答案为 418. 解： 为直角三角形， ， ，1 =1 1=1；1=12+12=2为直角三角形， ， ，12 12=1
25、 1=2；2=2+1=3，2017=2017+1=2018故答案为： 2018利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是反复利用勾股定理，依次递进，逐步求出每个斜边的长19. 解：连接 AD 交 EF 与点 ，连结 AM是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，解得 ，=12=124=12 =6第 14 页，共 15 页是线段 AB 的垂直平分线，=+=+当点 M 位于点 处时， 有最小值，最小值 6 +的周长的最小值为 +=2+6=8连接 AD 交 EF 与点 ，连结 AM，由线段垂直平分线的性质可知 ，则 =，故此当 A、M
26、、D 在一条直线上时， 有最小值，然后+=+ +依据要三角形三线合一的性质可证明 AD 为 底边上的高线，依据三角形的面积为 12 可求得 AD 的长本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键20. 解：设 ，则 ，= =8由题意可得， ，=8， ，=90 =4，2+42=(8)2解得， ，=3设 ，= ，=即 ，得 ，3=48 =6即 ，=+=10点 E 的坐标为 ， (10,3)故答案为 (10,3)根据题意可以得到 CE、OF 的长度，根据点 E 在第二象限，从而可以得到点 E 的坐标本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化 对称，
27、解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答21. 已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；(1)在直角三角形 OCD 中，已知斜边仍然是 5， ，再根据勾股定理求得(2) =41=3OD 的长即可能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用22. 要求 AP 的长，根据已知条件不能直接求出，结合已知 ， 发现可以求=3 =4出 EF 的长，也就是求出了 CP 的长 当连接 CP 时，可以证明 ，然后根. 据全等三角形的性质可以得到 ，这样就求出了 AP 的长；=解答本题要充分利用正方形的特殊性质，利用它们得到全等三角形，然后根
28、据全等三角形的性质把 AP 和 CP 联系起来23. 此题考查了折叠的性质及全等三角形的判定与性质，关键是证明 ，得出 ， ，另外要熟练掌握勾股定理在直角三角形的 =中的应用，难度一般 先证明 ，得出 ， ，设 ，在. = =中利用勾股定理可得出 x 的值，进而根据三角形的面积公式可求出折叠后重合部分 的面积24. 连接 AC，在直角三角形 ABC 中，由 AB 及 BC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，再由 AD 及 CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 ACD 为直角三角形，根据四边形 ABCD 的面积 直角三角形 ABC 的面积 直角三角形 ACD 的面积，即可求出四= +边形
29、的面积第 15 页，共 15 页此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键25. 先根据勾股定理求得 BO 的长，再写出点 B 的坐标；(1)先根据 的面积为 4，求得 CO 的长，再根据点 A、C 的坐标，运用待定系数(2) 法求得直线 的解析式2本题主要考查了两条直线的交点问题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法 注.意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，反之也成立26. 由旋转的性质得出 ， ， ， ，证出(1) =90 =，由 SAS 即可得出 ； 连接 GM，由正方形的性质和已知条件得出 ，得出 ，(2) = =得出 ，因此 ，由勾股定理得出=45 =90，再由 ，即可得出结论2=2+2=2+2 =本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键
