1、2018 年中考数学试题分类汇编：北师版数学八年级上册第 1 章勾股定理考点一：勾股定理1.（2018 滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ）A5 B6 C7 D8【分析】直接根据勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4，弦的平方为 32+42=25，弦长为 5故选：A2.（2018 模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母 A 所代表的正方形的面积为（ ）A4 B8 C16 D64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形 PQED 的面积和正方形 PRQF 的面积分别表示出 PR 的平方及 PQ 的平方，又三角形 PQR
2、为直角三角形，根据勾股定理求出QR 的平方，即为所求正方形的面积【解答】解：正方形 PQED 的面积等于 225，即 PQ2=225，正方形 PRGF 的面积为 289，PR 2=289，又PQR 为直角三角形，根据勾股定理得：PR 2=PQ2+QR2，QR 2=PR2PQ 2=289225=64，则正方形 QMNR 的面积为 64故选：D3.（2018 模拟）如图，小明将一张长为 20cm，宽为 15cm 的长方形纸（AEDE ）剪去了一角，量得 AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）A5cm B12cm C16cm D20cm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构
3、造出直角三角形解答【解答】解：延长 AB、DC 相交于 F，则 BFC 构成直角三角形，运用勾股定理得：BC 2=（153） 2+（204） 2=122+162=400，所以 BC=20则剪去的直角三角形的斜边长为 20cm故选：D 4.（2018 模拟）如图，在 ABC 中，B= C，AD 平分BAC ，AB=5，BC=6 ，则AD=（ ）A3 B4 C5 D6【分析】先判定ABC 为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求得 BD，在 RtABD 中利用勾股定理可求得 AD 的长【解答】解：B=C， AB=AC，AD 平分BAC，ADBC，BD=CD= BC=3，12在 Rt ABD 中，AB
4、=5 ，BD=3，AD=4 ，故选：B考点二：勾股定理得证明1.（2018 泸州） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A9 B6 C4 D3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为： ab= 8=4，4ab+ （ab） 2=25，12（a
5、b） 2=2516=9，ab=3，故选：D2.（2018 期中）如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为 a 和 b，斜边长为 c，请你用它验证勾股定理【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理【解答】解：S 小正方形 =（ba） 2=b22ab+a 2，另一方面 S 小正方形 =c24ab=c 22ab，即 b22ab+a 2=c22ab ，a 2+b2=c23.（2018 期中）如图：在 RtABC 和 RtBDE 中，C=90，D=90，AC=BD=a，BC=DE=b ，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理【分析】由图知，梯形的面积等于三个
6、直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理【解答】证明：C=90，D=90，AC=BD=a ，BC=DE=b，AB=BE=c，RtACBRtBDE，ABC= BED，BAC=EBD ，ABC+DBE=90，ABE=90，三个 Rt其面积分别为 ab， ab 和 c2121直角梯形的面积为 （a+b） （a+b） 由图形可知： （a+b） （a+b）= ab+ ab+ c2，1212整理得（a+b） 2=2ab+c2，a 2+b2+2ab=2ab+c2，a 2+b2=c24.（2018 模拟）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊
7、喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中DAB=90，求证：a 2+b2=c2证明：连结 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DF=EC=baS 四边形 ADCB=SACD +SABC = b2+ ab又S 四边形 ADCB=SADB +SDCB = c2+ a（ba） ，1 b2+ ab= c2+ a（ba） ，1a 2+b2=c2请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中DAB=90求证：a 2+b2=
8、c2【分析】首先连结 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF=ba，表示出 S 五边形ACBED，两者相等，整理即可得证【解答】证明：连结 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF=ba，S 五边形 ACBED=SACB +SABE +SADE = ab+ b2+ ab，1又S 五边形 ACBED=SACB +SABD +SBDE = ab+ c2+ a（ba ） ，1 ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a（ba） ，a 2+b2=c211考点三：勾股定理的逆定理1.（2018 南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）A3，4，5 B2， 3，4 C4，6
9、，7 D5，11，12【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形最长边所对的角为直角由此判定即可【解答】解：A、3 2+42=52，三条线段能组成直角三角形，故 A 选项正确；B、2 2+324 2，三条线段不能组成直角三角形，故 B 选项错误；C、4 2+627 2，三条线段不能组成直角三角形，故 C 选项错误；D、5 2+112 122，三条线段不能组成直角三角形，故 D 选项错误；故选：A2.（2018 模拟）如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点C 向上拉升 3cm 至 D 点，则橡皮筋被
10、拉长了（ ）A2cm B3cm C4cm D5cm【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BDAB 即为橡皮筋拉长的距离【解答】解：RtACD 中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD 2=AC2+CD2=25，CD=5cm；AD+BDAB=2ADAB=108=2cm；故橡皮筋被拉长了 2cm故选：A3.（2018 期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A1.5，2，3 B6，8 ，10 C5，12，13 D15，20，25【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断三角形是不是直角三角形，据此进行判断【解答】解：A、 （1.5
11、） 2+223 2，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、6 2+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、5 2+122=169=132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、15 2+202=252，能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：A4.（2018 期末）满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是（ ）Ab 2c 2=a2 Ba ：b：c=3：4：5CC=AB DA ：B：C=9 ：12：15【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可【解答】解：A.b 2c 2=a2，则 b2=a2+c2，ABC 是直角三角形；B.a：
12、b：c=3 ：4：5，设 a=3x，b=4x，c=5x，a 2+b2=c2，ABC 是直角三角形；C.C=AB，则B=A+C，B=90，ABC 是直角三角形；D.A：B：C=9 ：12：15，设A、B 、C 分别为 9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180，解得，x=5，则A 、B 、C 分别为 45，60，75，ABC不是直角三角形；故选：D5.（2018 期中）已知 ABC 的三边分别是 6，8，10，则ABC 的面积是（ ）A24 B30 C40 D48【分析】因为ABC 的三边分别是 6，8，10，根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，根据三角形面积公式可求出面积
13、【解答】解：6 2+82=102，ABC 是直角三角形， ABC 的面积= 68=24故选：A6.（2018 期中）已知 ABC 的三边长为 a、b、c，满足 a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三角形【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状【解答】解：a+b=10，ab=18，c=8，（a+b） 22ab=10036=64，c 2=64，a 2+b2=c2，此三角形是直角三角形故答案为：直角7.（2018 期末）观察以下几组勾股数，并寻找规律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；请你写出有以上规律的第组勾股数： 【分析】
14、勾股定理和了解数的规律变化是解题关键【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增 2，故第 5 组第一个数是 11，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为 x，则第三个数为 x+1，根据勾股定理得：11 2+x2=（x+1 ） 2，解得 x=60，则得第 5 组数是：11、60、61故答案为：11、60、618.（2018 期中）如图， ABC 中，D 是 BC 上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC 的面积【分析】根据 AB=10，BD=6，AD=8 ，利用勾股定理的逆定理求证ABD 是直角三角形，再利用勾股定理求出 CD 的长，然后利用三角形面积公式
15、即可得出答案【解答】解：BD 2+AD2=62+82=102=AB2，ABD 是直角三角形，ADBC ，在 Rt ACD 中，CD 2=AC2-AD2=225，CD=15，S ABC = BCAD= （BD+CD ）AD= 218=84，11因此ABC 的面积为 84答：ABC 的面积是 84考点四：勾股定理的应用1.（2018 期末）如图：在 ABC 中，CE 平分ACB，CF 平分ACD，且 EFBC 交 AC于 M，若 CM=5，则 CE2+CF2 等于（ ）A75 B100 C120 D125【分析】根据角平分线的定义推出ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=E
16、F2，进而可求出 CE2+CF2 的值【解答】解：CE 平分ACB，CF 平分ACD ，ACE=ACB，ACF= ACD，即ECF=（ACB+ ACD ）=90，EFC 为直角三角形，又EFBC， CE 平分ACB，CF 平分ACD，ECB=MEC=ECM， DCF=CFM=MCF，CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知 CE2+CF2=EF2=100故选：B2.（2018 模拟）一根高 9m 的旗杆在离地 4m 高处折断，折断处仍相连，此时在 3.9m 远处耍的身高为 1m 的小明（ ）A没有危险 B有危险 C可能有危险 D无法判断【分析】由勾股定理求出 BC=43.9，即可得出结
17、论【解答】解：如图所示：AB=94=5，AC=4 1=3，由勾股定理得：BC=43.9， 此时在 3.9m 远处耍的身高为 1m 的小明有危险，故选：B3.（2018 模拟）如图所示，在长方形纸片 ABCD 中，AB=32cm，把长方形纸片沿 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F，AF=25cm，则 AD 的长为（ ）A16cm B20cm C24cm D28cm【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明EAC=DCA，根据等角对等边证明 FC=AF，则 DF 即可求得，然后在直角 ADF 中利用勾股定理求解【解答】解：长方形 ABCD 中，ABCD，BAC= DC
18、A ，又BAC=EAC，EAC=DCA，FC=AF=25cm，又长方形 ABCD 中，DC=AB=32cm，DF=DCFC=3225=7cm，在直角ADF 中，AD=24 （ cm） 故选：C4.（2018 湘潭） 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“ 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，ACB=90 ，AC+AB=10 ， BC=3，求 AC 的长，如果设AC=x，则可列方程为 【分析】设 AC=x，可知 AB=10x，再根据勾股定理即可得出结论【解答】解：设 AC=x，AC+AB=10，A
19、B=10x在 RtABC 中，ACB=90 ，AC 2+BC2=AB2，即 x2+32=（10x） 2故答案为：x 2+32=（10x） 25.（2018 包头）如图，每个小正方形边长为 1，则ABC 边 AC 上的高 BD 的长为 【分析】根据网格，利用勾股定理求出 AC 的长，AB 的长，以及 AB 边上的高，利用三角形面积公式求出三角形 ABC 面积，而三角形 ABC 面积可以由 AC 与 BD 乘积的一半来求，利用面积法即可求出 BD 的长【解答】解：根据勾股定理得：AC=5，由网格得：S ABC = 24=4，且 SABC = ACBD= 5BD，1212 5BD=4，解得：BD=
20、1285故答案为： 856.（2018 黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计） 【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB的长度即为所求【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AB，则 AB 即为最短距离， AB2=AD2+BD2=400，AB=20（cm） 故答案为 207.（2018 期中）在我国古代数学著
21、作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池是边长为 2 丈（1 丈=10 尺） 的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 2 尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？”答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为 x 尺，根据勾股定理可得 x2+（ ）102=（x+1） 2，再解答即可【解答】解；设水深为 x 尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x 2+（ ） 2=（x+1 ）
22、 2，解得：x=12，10芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺） ，答：水池深 12 尺，芦苇长 13 尺故答案是：12 尺；13 尺8.（2018 期中）如图，在 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4，将ABC 折叠，使点B 恰好落在边 AC 上，与点 B重合，AE 为折痕，求 EB的长【分析】根据折叠得到 BE=EB，AB=AB=3 ，设 BE=EB=x，则 EC=4x，根据勾股定理求得 AC 的值，再由勾股定理可得方程 x2+22=（4x） 2，再解方程即可算出答案【解答】解：根据折叠可得 BE=EB，AB=AB=3 ，设 BE=EB=x，则 EC=4x，B=90，AB=3，BC=4 ，在 RtABC 中，由勾股定理得，AC=5，BC=53=2 ，在 Rt BEC 中，由勾股定理得，x 2+22=（4x） 2，解得 x=1.5
