1、2018-2019 学年度北师大版数学八年级上册第 1 章勾股定理单元测试卷考试范围：第 1 章勾股定理；考试时间：100 分钟；满分：120 分题号 一 二 三 总分得分第 卷（选择题）评卷人 得 分 一选择题（共 10 小题 30 分）1以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）A2 ，3 ，4 B6，8，10 C5，8，13 D12，13，142用四个边长均为 a、b、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）Ac 2=a2+b2 Bc 2=a2+2ab+b2Cc 2=a22ab+b2 Dc 2=（a+b） 23勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古
2、算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五” 的记载如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，BAC=90， AB=6，AC=8，点 D，E，F ，G ，H，I 都是矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为（ ）A360 B400 C440 D4844如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称 ICME7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA 2，OA 25 这些线段中有多少条线段的长度为正整数
3、（ ）A3 B4 C5 D65下列说法中正确的是（ ）A已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2+b2=c2B在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C在 RtABC 中，C=90，所以 a2+b2=c2D在 RtABC 中，B=90，所以 a2+b2=c26如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为 1，则点 A 到边BC 的距离为（ ）A B C D37满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（ ）Ab 2c2=a2 Ba：b：c=3：4：5C C= AB DA ： B：C=9：12：158某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽
4、上了树苗（如图）已知三边上的树苗数分别为50、14、48 ，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为 1 米，那么这块空地的形状为（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定9长方形门框 ABCD 中，AB=2m，AD=1.5m现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：长 1.4m，宽 1.2m；长 2.1m，宽 1.7m；长 2.7m，宽 2.1m；长3m，宽 2.6m其中不能从门框内通过的木板有（ ）A0 块 B1 块 C2 块 D3 块10如图铁路上 A，B 两点相距 40 千米，C，D 为两村庄， DAAB，CBAB，垂足分别为 A 和 B，DA=24 千米，CB=16
5、千米现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得 C，D 两村到煤栈的距离相等，那么煤栈 E 应距 A 点（ ）A20 千米 B16 千米 C12 千米 D无法确定第卷（非选择题）评卷人 得 分 二填空题（共 10 小题 30 分）11已知直角三角形的三边分别为 6、8、x ，则 x= 12如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D处，则重叠部分AFC 的面积为 13如图，在ABC 中， C=90，AC=2，点 D 在 BC 上，ADC=2B，AD= ，则 BC 的长为 14观察下列式子：当 n=2 时，a=22=4，b=2 21=3，c=2 2+1=5n=3
6、 时，a=23=6，b=3 21=8，c=3 2+1=10n=4 时，a=24=8，b=4 21=15，c=4 2+1=17根据上述发现的规律，用含 n（n 2 的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= 15三角形的三边长 a，b，c 满足 2ab=（a+b ） 2c2，则此三角形的形状是 三角形16已知一个三角形的三条边的长分别为 、 和 ，那么这个三角形的最大内角的大小为 度17如图，在四边形 ABCD 中，C=90，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=13cm求四边形 ABCD 的面积= cm218如图，在一次测绘活动中，某同学站在点 A 的位置观测停放于
7、B、C 两处的小船，测得船 B 在点 A 北偏东 75方向 150 米处，船 C 在点 A 南偏东 15方向120 米处，则船 B 与船 C 之间的距离为 米（精确到 0.1m）19上午 8 时，一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，10 时到达海岛 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测得BAC=60，点 C 在点 B 的正西方向，海岛 B 与灯塔 C 之间的距离是 海里20如图是一段楼梯，A=30，斜边 AC 是 4 米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯 米评卷人 得 分 三解答题（共 6 小题 60 分）21如图，你能用它验证勾股定理吗？（提示：以斜边为边长的正方形的面
8、积+四个三角形的面积=外正方形的面积）22如图，四边形 ABCD 中，B=90，AB=3 ，BC=4，CD=12，AD=13试判断ACD 的形状，并说明理由23问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题图 1，图 2都是 88 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点操作发现：小颖在图 1 中画出ABC，其顶点 A， B，C 都是格点，同时构造正方形 BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C，A ，她借助此图求出了ABC 的面积（1）在图 1 中，小颖所画的
9、ABC 的三边长分别是 AB= ，BC= ，AC= ；ABC 的面积为 解决问题：（2）已知ABC 中，AB= ，BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图2 的正方形网格中画出ABC，并直接写出ABC 的面积24在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一 C 处需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 300 米，与公路上另一停靠站 B 的距离为400 米，且 CACB，如图，为了安全起见，爆破点 C 周围半径 250 米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 AB 段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明25某研究性学习小组进行了探究活动如图，已知一架竹梯
10、AB 斜靠在墙角MON 处，竹梯 AB=13m，梯子底端离墙角的距离 BO=5m（1）求这个梯子顶端 A 距地面有多高；（2）如果梯子的顶端 A 下滑 4m 到点 C，那么梯子的底部 B 在水平方向上滑动的距离BD=4m 吗？为什么？（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角 O 的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？26如图，圆柱形容器高 12cm，底面周长 24cm，在杯口点 B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的 A 处，（1）求蚂蚁从 A 到 B 处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现 B 处的蜂蜜正
11、以每秒钟 1cm 沿杯内壁下滑，4 秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形【解答】解：A、2 2+32=134 2，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、6 2+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；C、 52+82=8913 2，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、12 2+132=31314 2，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：B2【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也
12、可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式【解答】解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为 c，里边的小四边形也为正方形，边长为 ba，则有 c2= ab4+（ba） 2，整理得：c 2=a2+b2故选：A3【分析】延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，可得四边形 AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形 KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：如图，延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，所以，四
13、边形 AOLP 是正方形，边长 AO=AB+AC=6+8=14，所以，KL=6 +14=20，LM=8+14=22，因此，矩形 KLMJ 的面积为 2022=440故选：C4【分析】OA 1=1，OA 2= = ，OA 3= = ，找到 OAn= 的规律即可计算 OA1 到 OA25 中长度为正整数的个数【解答】解：找到 OAn= 的规律，所以 OA1 到 OA25 的值分别为 ， ， ，故正整数为 =1， =2， =3， =4， =5故选：C5【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断 A、B 、C、D 选项【解答】解：在直角三角形中只
14、有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角A、不确定 c 是斜边，故本命题错误，即 A 选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即 B 选项错误；C、 C=90，所以其对边为斜边，故本命题正确，即 C 选项正确；D、B=90 ，所以斜边为 b，所以 a2+c2=b2，故本命题错误，即 D 选项错误；故选：C6【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长，然后得到三角形是等腰三角形，进而利用勾股定理求出 AD 的长即可【解答】解：根据勾股定理可知：AB= = ，AC= = ，BC= = ，则ABC 是等腰三角形，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，即 BD=CD= BC= ，A
15、D= = = ，即点 A 到 BC 的距离为 故选：C7【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可【解答】解：b 2c2=a2则 b2=a2+c2ABC 是直角三角形；a： b：c=3： 4：5，设 a=3x，b=4x，c=5x ，a2+b2=c2，ABC 是直角三角形；C=AB，则B= A +C，B=90，ABC 是直角三角形；A：B：C=9：12：15，设A、B、C 分别为 9x、12x、15x ，则 9x+12x+15x=180，解得，x=5，则A、B、C 分别为 45，60，75，ABC 不是直角三角形；故选：D8【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的
16、长为 13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可【解答】解：三边上的树苗数分别为 50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为 1 米，三边的长分别为 13 米、47 米、49 米，假设为直角三角形且直角三角形的最长边为 x，则：x 2=132+472=2378，49 2=24012378 ，该三角形为钝角三角形故选：B9【分析】求出长方形门框的对角线长，宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过【解答】解：门框的对角线长是： =2.5m宽小于或等于 2.5m 的有： 故选：B10【分析】根据题意利用勾股定理得出 AD2+AE2=BE2+BC2，进而求出即可
17、【解答】解：设 AE=xkm，则 BE=（40 x）km，DAAB，CBAB，C， D 两村到煤栈的距离相等，AD 2+AE2=BE2+BC2，故 242+x2=（40x） 2+162，解得：x=16 ，则煤栈 E 应距 A 点 16km故选：B二填空题（共 10 小题）11【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答【解答】解：分两种情况进行讨论：两直角边分别为 6，8，由勾股定理得 x= =10，一直角边为 6，一斜边为 8，由勾股定理得 x= =2 ；故答案为：10 或 2 12【分析】因为 BC 为 AF 边上的高，要求AFC 的面积，求得 AF 即可
18、，求证AFDCFB，得 BF=DF，设 DF=x，则在 RtAFD中，根据勾股定理求x，AF=AB BF【解答】解：易证AFDCFB，DF=BF，设 DF=x，则 AF=8x，在 RtAFD 中，（ 8x） 2=x2+42，解之得：x=3，AF=ABFB=83=5，S AFC = AFBC=10故答案为：1013【分析】根据ADC=2 B，ADC=B+BAD 判断出 DB=DA，根据勾股定理求出 DC 的长，从而求出 BC 的长【解答】解：ADC=2B，ADC=B+BAD，B= DAB，DB=DA= ，在 RtADC 中，DC= = =1，BC= +1故答案为： +114【分析】由 n=2 时
19、，a=22=4，b=2 21=3，c=2 2+1=5；n=3 时，a=23=6，b=3 21=8，c=3 2+1=10；n=4 时，a=2 4=8，b=4 21=15，c=4 2+1=17得出 a=2n，b=n 21，c=n 2+1，满足勾股数【解答】解：当 n=2 时，a=2 2=4，b=2 21=3，c=2 2+1=5n=3 时，a=23=6，b=3 21=8，c=3 2+1=10n=4 时，a=24=8，b=4 21=15，c=4 2+1=17勾股数 a=2n，b=n 21，c=n 2+1故答案为：2n，n 21，n 2+115【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题【解答
20、】解：2ab=（a+ b） 2c2，2ab=a 2+2ab+b2c2，a 2+b2=c2，三角形的三边长 a，b， c 满足 2ab=（a +b） 2c2，此三角形是直角三角形，故答案为：直角16【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，进而可得答案【解答】解：（ ） 2+（ ） 2=（ ） 2，三角形为直角三角形，这个三角形的最大内角度数为 90，故答案为：9017【分析】连接 BD，根据勾股定理求出 BD，根据勾股定理的逆定理求出CBD是直角三角形，分别求出ABD 和CBD 的面积，即可得出答案【解答】解：连结 BD，在ABD 中，A=9
21、0，BC=3cm，DC=4cm，BD= =5（cm），SBCD = BCDC= 34=6（cm 2），在ABD 中，AD=13cm，AB=12cm ， BD=5cmBD 2+AB2=AD2，ABD 是直角三角形，S ABD = ABBD= 125=30（cm 2），四边形 ABCD 的面积=S ABD +SBCD =6+30=36（cm 2）故答案为：3618【分析】根据已知条件得到BAC=90，AB=150 米， AC=120 米，由勾股定理即可得到结论【解答】解：根据题意得：BAC=90，AB=150 米， AC=120 米，在 RtABC 中，BC= 192.2 米，故答案为：192.2
22、19【分析】根据方位角可知船与海岛、灯塔的方向正好构成了直角然后根据路程= 速度 时间，再根据勾股定理，即可求得海岛 B 与灯塔 C 之间的距离【解答】解：因为BAC=60，点 C 在点 B 的正西方向，所以ABC 是直角三角形，AB=152=30 海里，BAC=60，AC=60 海里，BC= =30 （海里）故答案为：3020【分析】利用直角三角形中 30角对的直角边等于斜边的一半求出 BC 的长，再根据勾股定理求出 AB 的长，进而可得出结论【解答】解：ABC 是直角三角形，A=30，斜边 AC 是 4 米，BC= AC=2 米，AB= = =2 （m ），如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要
23、地毯为 AB+BC=（2 ）米故答案为：2 +2三解答题（共 6 小题）21【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积 ；化简得 a2+b2=c2，即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和22【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长，在ACD 中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状【解答】解：ACD 是直角三角形理由是：B=90，AB=3，BC=4， AC 2=AB2+BC2=9+16=25，AC=5，又AC 2+CD2=25+144=169，A
24、D 2=169，AC 2+CD2=AD2，ACD 是直角三角形23【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算【解答】解：（1）AB= =5，BC= = ，AC= = ，ABC 的面积为：4 4 34 14 31= ，故答案为：5； ； ； ；（2）ABC 的面积：7 2 31 42 71=524【分析】如图，本题需要判断点 C 到 AB 的距离是否小于 250 米，如果小于则有危险，大于则没有危险因此过 C 作 CDAB 于 D，然后根据勾股定理在直角三角形 ABC 中即可求出 AB 的长度，然后利用三角形的公式即可求出 CD，然后和 250 米比较大小即可判断需要暂时封锁【解答
25、】解：如图，过 C 作 CDAB 于 D，BC=400 米， AC=300 米，ACB=90 ，根据勾股定理得 AB=500 米， ABCD= BCAC，CD=240 米240 米250 米，故有危险，因此 AB 段公路需要暂时封锁25【分析】（1）在 RtAOB 中利用勾股定理求得 AO 的长即可；（2）在梯子长度不变的情况下，求出 DO 的长后减去 BO 的长求得 BD 即可作出判断；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题【解答】解：（1）AO DO，AO= ，= ，=12m，梯子顶端距地面 12m 高；（2）滑动不等于 4m，AC=4m，OC=AOAC=8m，OD= ，= ，BD=ODOB= ，滑动不等于 4m（3）AB 上的中点到墙角 O 的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半26【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论【解答】解：（1）如图所示，圆柱形玻璃容器，高 12cm，底面周长为 24cm，AD=12cm，AB= = =12 （cm）答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是 12 cm；（2）AD=12cm，蚂蚁所走的路程= =20，蚂蚁的平均速度=204=5（cm/s）
