1、 几何图形综合题1. 如图，抛物线 (a0)与 y 轴交于点 C(0，4)，与 x 轴交ycxa2于点 A、B ，点 A 坐标为(4，0)(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为 N，在 x 轴上找一点 K，使 CKKN 最小，并求出点K 的坐标；(3)已知 D 是 OA 的中点，点 P 在第一象限的抛物线上，过点 P 作 x 轴的平行线，交直线 AC 于点 F，连接 OF，DF.当 OFDF 时，求点 P 的坐标第 1 题图解：(1)抛物线 yax 2ax c 经过点 A(4，0)，C(0，4)， 解得,40816ca,41ca抛物线的解析式为 y x x 4；12(2)y x x 4
2、(x1) ，12 12 92N(1， )，92如解图，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C(0，4)，连接 CN 交 x 轴于点 K，则 K 点即为使 CKKN 最小的 K 点位置第 1 题解图设直线 CN 的解析式为 ykxb(k0)，将点 C(0，4)，N (1， )代入，得92解得,294bk417直线 CN 的解析式为 y x4，172令 y0，即 x40，解得 x ，172 817点 K 的坐标为( ，0)；817(3)如解图，过 F 作 FMx 轴于 M，D 是 OA 的中点，第 1 题解图D(2，0)，OFDF ，OM MD，M(1，0)，点 F 的横坐标是 1.设直线 A
3、C 的解析式为 ymxn，将点 A(4，0)，C(0，4)代入，得直线 AC 的解析式为 yx4，点 F 的坐标为(1，3)，设 P(t， t4)，则12 t43，解得 t1 或 t1 (舍去)，12 3 3点 P 的坐标为(1 ，3)32.如图，抛物线 与 x 轴交于点 A 和点 B (1，0)，与 y 轴交于cbaxy2点 C(0，3)，其对称轴 l 为 x1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点 P 在第二象限内的抛物线上，动点 N 在对称轴 l 上当 PANA，且 PANA 时，求此时点 P 的坐标；当四边形 PABC 的面积最大时，求四边形 PABC 面积的最大值及此
4、时点P 的坐标第 2 题图解：(1)抛物线 yax bxc 与 x 轴交于点 B(1，0)，与 y 轴交于点 C(0，3)，其对称轴 l 为直2线 x1，抛物线的解析式为 yx 2x 3(x1) 4，2顶点坐标为(1，4)；(2)令 yx 2x 30，解得 x 3，x 1，12点 A(3，0)，如解图，作 PDx 轴于点 D，对称轴 l 与 x 轴交于点 Q，连接 AC、OP，第 2 题解图点 P 在 y x 2x3 上，设点 P(x， x 2x3)，PANA，且 PANA，PADAPDPAD NAQ90，APDNAQ，又PDAAQN90，PADANQ(AAS)，PDAQ ，即x 2x32，解
5、得 x 1(舍去)，x 1，12 22P( 1，2)；2ABC 的面积为定值，APC 面积最大时，四边形 PABC 面积最大，S 33 ，S |x| x，AOC12 92 OCP 32 32S 3|y | x 3x ，OAP12 p32 92S S S SC AP OC A x 3x x32 92 32 92 (x ) ，32 32 278当 x 时，S 取得最大值，最大值为 ，32 APC 278此时 P( ， )，32 154S S S 43 ，PABC四 边 形 APC12 278 758四边形 PABC 面积的最大值为 ，此时点 P 的坐标为( ， )758 32 1543.在直角坐标
6、系 xOy 中，A(0，2)、B(1，0)，将ABO 经过旋转、平移变化后得到如图所示的BCD.(1)求经过 A，B ，C 三点的抛物线的解析式；(2)连接 AC，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点，若直线 PC 将ABC 的面积分成 13 两部分，求此时点 P 的坐标；(3)现将ABO 、BCD 分别向下、向左以 12 的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO 与BCD 重叠部分面积的最大值第 3 题图解：(1)A(0，2)、B(1，0)，将ABO 经过旋转、平移变化得到BCD，BDOA 2，CDOB1，BDCAOB90，C ，(1， 1)设经过 A，B ，C 三点的抛物线的解析
7、式为 ya bxc ，2x则 ，解得 ，,210cba213cba经过 A、B 、C 三点的抛物线的解析式为 y x2；32 12(2)如解图，设直线 PC 与 AB 交于点 E，直线 PC 将ABC 的面积分成 13 两部分，第 3 题解图 或 3，BEA13过点 E 作 EF OB 于点 F，则 EFOA，BEF BAO， ，BOFAE当 时， ，13 234 1EF ，BF ，32 34点 E 的坐标为( ， )14 32设直线 PC 的解析式为 ymxn，由 E，C 两点坐标可求得其解析式为 y x ，25 75 x x2 x ，32 12 25 75x ，x 1(舍去)， 125点
8、P 的坐标为( ， )，25 3925当 3 时，同理可得点 P 的坐标为( ， )；BEA67 2349(3)设ABO 平移的距离为 t， 与 重叠部分的面积为 S，1OBA12DC可由已知求出直线 A B 的解析式为 y2x 2t， 与 x 轴的交点坐标为( ，0)1 1BA2t直线 的解析式为 y xt ， 与 y 轴交点坐标为(0，t ).21C12 12 C12如解图所示，当 0t 时， 与 重叠部分为四边形35 1OBA12D第 3 题解图设 与 x 轴交于点 M， 与 y 轴交于点 N， 与 交于点 Q，连接 OQ，1BA21BC1BA2C由 ，得 ，txy2354tyx点 Q
9、的坐标为( ， )，4ttSS SMO QN 34)21(3521ttt t t ，1312 14 0，1312S = ；最 大 值 abc422552如解图所示，当 t 时， 与 重叠部分为直角三角形.35 45 1OBA12DC第 3 题解图设 与 x 轴交于点 H, 与 交于点 G，1BA1BA1DC则 G(12t，45t)，H 12t ， G45t ，1D4t1S H G (45t ) (45t) ，12 1214 2当 t 时，S 的最大值为 ，35 45 14综上所述，在此运动过程中ABO 与BCD 重叠部分面积的最大值为 .25524.如图，抛物线 的图象与 x 轴分别交于 A，
10、B 两点，与 y 轴交cbxay2于点 C，其中点 A(1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式；(2)求MCB 的面积；(3)在抛物线上是否存在点 P，使PAB 的面积等于MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图解：(1)A(1，0)，C(0， 5)，D(1，8)三点在抛物线 y 上，cbx2a 解得 ，,850cba,541a抛物线的解析式为 y 4x5；2(2)如解图，过点 M 作 MN y 轴交 BC 于点 N，第 4 题解图S S S MNOB.MCB N MB12y 4x 52(x
11、5)(x1)(x2) 9，2M(2，9)，B(5，0)，由 B，C 两点的坐标易求得直线 BC 的解析式为：yx5，当 x2 时，y253，则 N(2，3)，则 MN936，则 S 6515；MCB12(3)在抛物线上存在点 P，使PAB 的面积等于MCB 的面积A(1，0)，B(5，0)，AB6，S S ，PAB MC 6| |15，12 py| |5，即 5.pp当 5 时， 4x55，py2解得 0， 4；1x2当 5 时， 4x55，py解得 2 ， 2 .3x14 14故在抛物线上存在点 (0，5)， (4，5)， (2 ，5)， (2 ，1P23P14 4P145)，使PAB 的面
12、积等于MCB 的面积5.如图，已知抛物线 yax bx4(a0)的对称轴为直线 x3，抛物线2与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，已知 B 点的坐标为(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点 M 为线段 BC 上方抛物线上的一点，点 N 为线段 BC 上的一点，若MNy 轴，求 MN 的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由第 5 题图解：(1)根据题意得， 3，ab2即 b6a，则抛物线的解析式为 yax 6ax 4，将 B(8，0)代入得， 064a48a4，2解得 a ，b ，
13、14 32抛物线的解析式为 y x x4；14 232(2)设直线 BC 的解析式为 ykxd，由抛物线解析式可知：当 x0 时，y4，即点 C(0，4)，将 B(8，0)，C(0，4)代入得,408dk解得 ,421dk直线 BC 的解析式为 y x4，12设点 M 的横坐标为 x(0x8)，则点 M 的纵坐标为 x x4，点 N 的纵坐标为 x4，14 232 12点 M 在抛物线上，点 N 在线段 BC 上，MNy 轴，MN x x4( x4)14 232 12 x x4 x414 232 12 x 2x14 (x4) 4，14当 x4 时，MN 的值最大，最大值为 4；(3)存在如解图
14、，过点 C 作 CD对称轴于点 D，连接 AC.令 x x40，14 232解得 x 2，x 8，12A(2，0)，又C(0，4)，由勾股定理得，AC 2 ，45第 5 题解图抛物线对称轴为直线 x3，则 CD3，D(3，4)当 ACCQ 时，DQ ，2CDQ23)5(11当点 Q 在点 D 的上方时，点 Q 到 x 轴的距离为 4 ，11此时，点 Q (3，4 )，111当点 Q 在点 D 的下方时，点 Q 到 x 轴的距离为 4 ，11此时，点 Q (3，4 )；211当 AQCQ 时，点 Q 为对称轴与 x 轴的交点，AQ5，CQ 5，243此时，点 Q (3，0)；3当 ACAQ 时，
15、AC2 ，点 A 到对称轴的距离为 5，2 5，5 5不可能在对称轴上存在 Q 点使 ACAQ，综上所述，当点 Q 的坐标为 (3，4 )或(3，4 )或(3，0)时，ACQ 为等腰三角形11 116.如图，一次函数 y x4 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C.经过点23B、C 的抛物线 也经过点 A( 2，0)cba2(1)求抛物线的解析式；(2)点 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MNBC，交 AC 于点 N，连接 CM，当CMN 的面积最大时，求点 M 的坐标；(3)点 D(4，k)在抛物线上，点 F 为抛物线上一动点，在 y 轴上是否存在点 E，使以 A、D、E
16、、 F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点 E，F 的坐标；若不存在，请说明理由第 6 题图解：(1)由 y x4 可知 B(6，0)，C(0，4)，23设抛物线的解析式为 ya(x 2)(x 6)，将点 C 的坐标代入，求得 a ，13抛物线的解析式为 y x4；13 243(2)设点 M 的坐标为(m，0)，过点 N 作 NHx 轴于点 H，如解图，第 6 题解图点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(6，0)，AB8，AMm2，MNBC，AMNABC， ABMCONH ，824mNH ，2S S S AMCO AMNHCMN A MN12 12 (m2)(4
17、 )12 2 m m314 2 (m2) 4，14 2当 m2 时，S 有最大值为 4，CMN此时，点 M 的坐标为(2，0) ；(3)点 D(4，k)在抛物线y x x 4 上，13 243当 x4 时，y 4，D(4，4)，设点 F 的坐标为(m，n)，点 E 的坐标为(0，t)，由题意得：若 AF 为平行四边形的边，如解图，则有：第 6 题解图,AEFDxxyy即 ,24-mtnn m m4，13 243 ,2-t解得：m2，n ，t .163 43 (0， )， (2， )；1E43 1F163若 AF 为平行四边形的对角线，如解图，则有：第 6 题解图,AEDFxxyy即 ,24mt
18、nn m m4，13 243 ,2t解得 m6，n0，t4， (0，4)， (6，0)，2E2F综上所述，存在 (0， )， (2， )或 (0，4)， (6，0)使得以 A、D、E、F 为顶点的143 1163 2E2F四边形为平行四边形7.如图，抛物线 y x bxc 经过 A( 1，0)，B(3，0)两点，且与 y2轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD.(1)求经过 A，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；(2)点 P 是线段 BD 上一点，当 PEPC 时，求点 P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，
19、G 为抛物线上一动点，M为 x 轴上一动点， N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标第 7 题图解：(1)抛物线 yx bx c 经过 A(1，0)，B(3 ，0)两点，2 解得,039-1cb,3b经过 A，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为 yx 2x3；(2)如解图，连接 PC、PE.第 7 题解图抛物线对称轴为直线x 1，ab2）（ -当 x1 时，y 1234，点 D 的坐标为(1，4)，设直线 BD 的解析式为：ymxn(m0)，将 B(3，0)和 D(1，4)分别代入，得 解得 ，nm43062则 y2m6，设点 P 坐
20、标为(m，2m6)，C(0，3)，E(1，0)，由勾股定理可得：PC m 3(2m6) ，2 2PE (m1) (2m6) ，2 2又PCPE，m (32m6) (m1) (2m6) ，2 2解得 m2，则-2m+62262，点 P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点 M 坐标为( a，0)，则点 G 坐标为(a， a 2a3)如解图，以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，必有 FMMG ，第 7 题解图|2a|a 2a3|，2a(a 2a3)，解得 a ，1 2122aa 2a3，解得 a ，3 132M 点的坐标为( ，0) ，( ，0)，( ，0)，( ，0)1 212 1 2
21、12 3 132 3 1328.如图，经过原点 O 的抛物线 yax bx (a0)与 x 轴交于另一个点A( ， 0)，在第一象限内与直线 yx 交于点 B (2，t )32(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B，O，C 为顶点的三角形的面积为 2，求点 C 的坐标；(3)如图，若点 M 在这条抛物线上，且MBOABO ，在(2)的条件下，是否存在点 P，使得POCMOB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 8 题图解：(1)把 B(2，t)代入 yx 得 t2，B(2，2)，把 A( ，0)，B(2，2)代入 y 得：32 bxa2，
22、2409ba解得 ，3抛物线的表达式为 y 3x；2(2)设点 C 坐标为(x ，2x 3x)，如解图，过点 C 作 CQy 轴于点 Q，过点 B 作 BFy 轴于点 F，第 8 题解图则 S S S S ，BOC QFB四 边 形 OF CQ即 22 x(2x 3x )2 ，2)3()(xx12 12解得 x1.把 x1 代入 y2x 3x，得 y231，C(1，1)；(3)如解图，连接 OM，AB，设 MB 交 y 轴于点 N，第 8 题解图B(2，2)，AOBNOB45，在AOB 和NOB 中，NBOAAOBNOB(ASA)，ONOA ，32N(0， )，32设直线 BN 表达式为 yk
23、x ，32把 B 点坐标代入可得 22k ，32解得 k ，14直线 BN 的表达式为 y x ，14 32联立直线 BN 和抛物线表达式可得，xy3241解得 或 ，y32458M( ， )，38 4532C(1，1)，COAAOB45，且 B(2，2)，OB2 ，OC ，2 2POCMOB， 2，POCBOM，OCBPM当点 P 在第一象限时，如解图，过 M 作 MGy 轴于点 G，过 P 作 PHx 轴于点 H，第 8 题解图COABOG45， POCBOM ，MOG POH ，且PHO MGO ，MOG POH ， 2，OHGPMM( ， )，38 4532MG ，OG ，38 453
24、2PH MG ，OH OG ，12 316 12 4564P( ， )；4564 316当点 P 在第三象限时，如解图，过 M 作 MGy 轴于点 G，过 P 作 PHy 轴于点 H，第 8 题解图同理可求得 PH MG ，12 316OH OG ，12 4564P( ， )；316 4564综上，存在满足条件的点 P，其坐标为( ， )或( ， )4564 316 316 45649.如图，直线 yx 3 与 x 轴，y 轴分别相交于点 B、C，经过 B、C 两点的抛物线 yax bxc 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P，且对称2轴为直线 x2.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接
25、PB、PC ，求PBC 的面积；(3)连接 AC，在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以点 P、B、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 9 题图解：(1)yx 3 与 x 轴、 y 轴相交于 B、C 两点，C(0，3)，B(3，0)，抛物线的对称轴为：x2，可设二次函数的解析式为：ya(x2) k (a0)，2把 B(3，0)、C(0，3)两点代入，得 ，340解得， ，1ak抛物线的解析式为：y(x2) 1，即 yx 4x3.22(2)yx 4x 3(x2) 1，22P(2，1)，又B(3，0)、C(0，3)，PC ，PB ，24521-32）
26、（BC ，1832又PB BC 21820，PC 20，2 2PB BC PC ，2PBC 是直角三角形S PBBC 3.PBC12 12 3(3)设存在点 Q(m，0)，使得以点 P、B、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，易证ABCABP45， Q 点在 B 点左边，则 m3，于是 AB2，BC ，BQ3m ，BP ，22当 时，QBPABC，BAPC则 ，解得，m ，3273Q( ，0)；73当 时，PBQABC，BPAC则 ，解得，m0 ，23Q(0，0)，综上所述，存在点 Q，使得以点 P、B、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似Q 点的坐标为 Q( ，0)73或 Q(0，0)10.如图
27、，已知抛物线与 x 轴交于 A(1，0)，B(4，0)，与 y 轴交于C(0， 2)(1)求抛物线的解析式；(2)H 是 C 关于 x 轴的对称点，P 是抛物线上的一点，当PBH 与AOC相似时，求符合条件的 P 点的坐标(求出两点即可)；(3)过点 C 作 CDAB，CD 交抛物线于点 D，点 M 是线段 CD 上的一动点，作直线 MN 与线段 AC 交于点 N，与 x 轴交于点 E，且BME BDC，当 CN 的值最大时，求点 E 的坐标第 10 题图解：(1)根据题意设抛物线的解析式为 ya(x1)(x 4)( a0)，将 C(0，2)代入得：24a，解得 a ，12抛物线的解析式为 y
28、 (x1)(x 4)，即 y x x2；12 12 32(2)C(0，2)，H 是 C 关于 x 轴的对称点，H(0，2)，又A(1，0)，B(4，0)，OA1，OCOH2，ACAH ，OB 4，BH ，AB 5，52 ，ABCHO1AOCAHB，P (1，0)，即 P 点与 A 点重合；如解图所示作 C 点关于抛物线对称轴的对称点 D，连接1HD、BD ，则 D(3，2)，BDACAH ，CD3 ，5根据勾股定理得：HD 2CDH42 ，AOCDBH，ABOCD51P (3，2)，即 P 点与 D 点重合. 22第 10 题解图(3)CDAB，OEMCMN ，BMDEBM，又BME BDC，CMN=OEM180BMEBMD，DBM180BMD BDM ，CMNDBM，根据抛物线的对称性可知：BDMMCN，MNCBMD， ，BDCMN设 CMn，则 M 点坐标为(n ，2)，又B(4，0)，C(0，2)， D(3，2)，则 CN (0n3) 5209)3(5352 nn当 n ，即 M 为 CD 中点时， CN 的值最大，32M( ，2)，32 ，B414OEMCMN DBM，BMEBDC，BME MDB， ，BMEDBE ，241432 416OEBE-OB 4 ，416 176E( ，0). 176
