1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（十四）17已知在 ABC 中， a， b， c分别为内角 A， B， C的对边，且3cosincosbainos0（1）求角 的大小；（2）若 3a， 12B，求 ABC 的面积【解析】 （1）由 cosincosbaincos0A及正弦定理得，sin(si)ACA3iB，即 i)sinco，又 sin(i0AB，所以 ta3A，又 (0,)，所以 23（2）由（1）知 A，又 12B，易求得 4C，在 BC 中，由正弦定理得 3sini12b，所以 62b所以 A 的面积为 siSabC6233418如图，在直三棱柱 1AB中， 90BA
2、， 2AC，点 M为 1AC的中点，点 N为 上一动点（1）是否存在一点 ，使得线段 MN 平面 1？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由（2）若点 N为 1AB的中点且 CMN，求二面角 MCNA的正弦值【解析】 （1）存在点 N，且 为 1AB的中点证明如下：如图，连接 1AB， 1C，点 M， 分别为 1C， AB的中点，所以 MN为 1 的一条中位线， N ，又 平面 1B， 1平面 1B，所以 M 平面 1BC（2）设 1Aa，则 21CMa，224aN28，22054CN，由 M，得 22CMN，解得 2a由题意以点 A为坐标原点， AB为 x轴， C为 y轴， 1A为 z
3、轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得 (0,)， (,20)， 2,N，(0,12)M，故 2,0AN，(,2)C， 1,， (0,12)CM设 (,)xyzm为平面 AN的一个法向量，则0,ACN得2,0xz令 1x，得平面 的一个法向量 (1,02)m，同理可得平面 MNC的一个法向量为 3,n，故二面角 A的余弦值为 02cos,15故二面角 CN的正弦值为2119某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过 30站的地铁票价如下表：乘坐站数 x01x120x203x票价（元） 69现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘
4、坐地铁都不超过 30站甲、乙乘坐不超过 10站的概率分别为 14， 3；甲、乙乘坐超过2站的概率分别为 12， 3（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 X，求 的分布列和数学期望【解析】 （1）由题意知甲乘坐超过 10站且不超过 20站的概率为142，乙乘坐超过 10站且不超过 20站的概率为 13，设“甲、乙两人付费相同 ”为事件 A，则 1()43P2，所以甲、乙两人付费相同的概率是 13（2）由题意可知 X的所有可能取值为： 6， 9， 12， 5， 81(6)432P，(9)X16，1(2)43PX143，(15)2，1(8)36PX因此 的分布列
5、如下： 69121518P1216346所以 X的数学期望 ()912EX15158620在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆21(0)xyab的离心率为 2， A， F分别为椭圆的上顶点和右焦点， AOF 的面积为 2，直线与椭圆交于另一个点 B，线段 A的中点为 P（1）求直线 OP的斜率；（2）设平行于 的直线 l与椭圆交于不同的两点 C， D，且与直线AF交于点 Q，求证：存在常数 ，使得 QAB【解析】 （1）因为椭圆的离心率为 2，所以2ab，即2ab， 22cab，所以 (0,)A， (,)Fc，所以 21c，所以 1c，所以椭圆的方程为21xy直线 AF的方程为 1yx，联立2
6、1,xy消去 y得 2340x，所以 43x或 0，所以 1,3B，从而得线段 AB的中点 21,3P所以直线 OP的斜率为0123（2）由（1）知，直线 AF的方程为 1yx，直线 OP的斜率为 12，设直线 l的方程为 1(0)2yxt联立 ,1yxt得2,31.ty所以点 Q 的坐标为 21,3t所以 2,3ttQA， 2,3ttB所以 28(1)9Bt联立2,1,xyt消去 y得 2230xt，由已知得 24(3)0t，又 t，得 6,0,2t设 1(,)Cxy， 2(,)Dxy，则 12xt， 21yxt，1243tx，2143tx所以 11,ttQCy112,3ttxx，22,3t
7、tDxx，故 123ttQCxx 12123ttxx12125()46tx5()9t4546ttt()928()9t所以 54QCDAB所以存在常数 54，使得 21已知函数 e()xf， ()ln1gx（1）求函数 ()fx的单调区间；（2）证明： 3()fg【解析】 （1）由题易知 2(1)exfx，当 (,0)(,x或 时， ()0f，当 (,)x时， ()0fx，所以 f的单调递减区间为 ,1， ，单调递增区间为 1,（2） g()x的定义域为 (0,)，要证 3()xfgx，即证 3elnx由（1）可知 ()f在 ,1上递减，在 (1,)上递增，所以 ()efx设 3ln1()xh， 0，因为 423ln()xhx，当23(0,e)x时， ()hx，当23(e,)时， ()0hx，所以 h在23,上单调递增，在23,上单调递减，所以23e()x，而2e3，所以 3()xfgx
