1、第一章 1.1 正弦定理和余弦定理,1.1.2 余弦定理(二),1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形 状判断等问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形,思考,能在余弦定理b2a2c22accos B中，已知三个量ACb，ABc，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可,答案,梳理 已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：,(1)当A为钝角时，则B必为锐角
2、，三角形的解唯一； (2)当A为直角且ab时，三角形的解唯一；,(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆， 三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： 当ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一,知识点二 判断三角形的形状,思考1,三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？,不需要如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2b2c2来判断cos C的正负而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说,答案,思考2,ABC中
3、，sin 2Asin 2B.则A，B一定相等吗？,A，B(0，)， 2A,2B(0,2)， 2A2B或2A2B，即AB或AB .,答案,梳理 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)在转化条件时要注意等价,知识点三 证明三角形中的恒等式,思考,前面我们用正弦定理化简过acos Bbcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？,答案,梳理 证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异,题型探究,例1 已知在ABC中，a8，b7，B60，求c.,类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形,由
4、余弦定理b2a2c22accos B， 得7282c228ccos 60， 整理得c28c150，解得c3或c5.,解答,引申探究,解答,例1条件不变，用正弦定理求c.,sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B,相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个,反思与感悟,跟踪训练1 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A ，a ，b1，则c等于,c22c， c2或c1(舍),答案,解析,类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式,例2 在ABC中，有 (1)abcos Cccos B； (2)bccos A
5、acos C； (3)cacos Bbcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.,证明,方法一 (1)由正弦定理，得 b2Rsin B，c2Rsin C， bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C) 2Rsin(BC) 2Rsin Aa. 即abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,方法二 (1)由余弦定理，得,abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,反思与感悟,证明
6、三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系.,跟踪训练2 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证： .,证明,等式成立.,等式成立.,例3 在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试判断ABC的形状.,解答,类型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状,由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc， 即b2c2a2bc，,0A，,又sin A2sin Bcos C. 由正弦、余弦定理，,b2c2，b
7、c，ABC为等边三角形.,引申探究 将本例中的条件(abc)(bca)3bc改为(b2c2a2)2b3cc3ba2bc，其余条件不变，试判断ABC的形状.,解答,由(b2c2a2)2b3cc3ba2bc，得 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)， (b2c2a2)(b2c2a2bc)0， b2c2a20或b2c2a2bc0， a2b2c2或b2c2a2bc， 由a2b2c2，得A90，,又0A180，A60，由例3知，bc， ABC为等边三角形或等腰直角三角形.,(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断. (2)在余
8、弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2c2a2 2bccos A，b2c2(bc)22bc等等.,反思与感悟,跟踪训练3 在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状.,解答,方法一 根据余弦定理，得b2a2c22accos B. B60，2bac，,整理得(ac)20，ac. 又2bac， 2b2c，即bc. ABC是等边三角形.,方法二 根据正弦定理， 2bac可转化为2sin Bsin Asin C. 又B60，AC120， C120A， 2sin 60sin Asin(120A)，A(0，120)， 整理得sin(A30)1，A30(30，150)， A3090， A60，C60
9、. ABC是等边三角形.,当堂训练,1.在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于 A.60 B.45或135 C.120 D.30,答案,解析,1,2,3,b2a2c22accos Ba2c2ac，,0B180， B120.,2.在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形,1,2,3,答案,解析,2cos Bsin Asin C，,ab. 故ABC为等腰三角形.,1,2,3,3.在ABC中，若B30，AB2 ，AC2，则满足条件的三角形有几个？,解答,设BCa，ACb，ABc， 由余弦定理得b2a2c
10、22accos B，,即a26a80，解得a2或a4.,当a2时，三边长为2,2,2 ，可组成三角形； 当a4时，三边长为4,2,2 ，也可组成三角形. 满足条件的三角形有两个.,规律与方法,1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单. 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.,3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一. 4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.,本课结束,
