1、章末复习课,第三章 概 率,学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率. 2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率. 3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.频率与概率 频率是概率的 ，是随机的，随着试验的不同而 ；概率是多数次的试验中 的稳定值，是一个 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率. 2.求较复杂概率的常用方法 (1)将所求事件转化为彼此 的事件的和； (2)先求其 事件的概率，然后再应用公式P(A)1P( )求解.,近似值,变化,频率,常数,互斥,对
2、立,3.古典概型概率的计算 关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A) 求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏. 4.几何概型事件概率的计算 关键是求得事件A所占 和 的几何测度，然后代入公式求解.,区域,整个区域,题型探究,例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：,类型一 频率与概率,(1)计算表中次品的频率；,解答,表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.,(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？,解答,当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附
3、近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.,(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？,解答,设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进货2 041个U盘.,概率是个常数.但除了几何概型，概率并不易知，故可用频率来估计.,反思与感悟,跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：,(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？,解答,由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.,(2)假设该射击运动
4、员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？,解答,击中靶心的次数大约为3000.9270.,(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？,解答,由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.,(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？,解答,不一定.,例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题. (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？,类型二
5、互斥事件与对立事件,解答,把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种； “甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种. 因此基本事件
6、的总数为666220.,(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？,解答,在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.,反思与感悟,跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券. (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2次中至少有1张是中奖债券的概率；,解答,把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2
7、,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).,(2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2次中至少有1张是中奖债券的概率.,解答,无放回地从债券中任取2次，所有可能的结果组成的基本事件空间(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3). 用D表示“无放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”， 表示“无放回地从债券中任取2次，取出的2张至少有1张是中奖债券”，则D(1,2)，(2,1)，,例3 某产品的三个质量指标分别
8、为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级.若S4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：,类型三 古典概型与几何概型,计算10件产品的综合指标S，如下表：,(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；,解答,在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共15种.,(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， 用产品编号列出所有可能的结果；,解答,在
9、该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种.,设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.,解答,古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限.,反思与感悟,跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为,答案,解析,设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中 有22(x
10、2)2( )2， 解得x1或x5(舍去)，阴影部分面积为1， 飞镖落在阴影部分的概率为,记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6，根据古典概型概率公式得,例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？,类型四 列举法与数形结合,解答,事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达.,反思与感悟,跟踪训练4 设M1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，任取
11、x，yM，xy.求xy是3的倍数的概率.,解答,利用平面直角坐标系列举，如图所示. 由此可知，基本事件总数n1234 5678945.而xy是3的倍数的情况 有m12443115(种).故所求事件 的概率,当堂训练,1.下列事件中，随机事件的个数为 在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； 在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； 从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； 在标准大气压下，水在4 时结冰. A.1 B.2 C.3 D.4,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米
12、短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件； 在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件； 从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件； 在标准大气压下，水在4 时结冰是不可能事件.故选C.,2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是 A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.必然事件,根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件
13、，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.,答案,解析,2,3,4,5,1,古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.符合两个特征； 对于和，基本事件的个数有无限多个； 对于，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.,2,3,4,5,1,3.下列试验属于古典概型的有 从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；在公交车站候车不超过10分钟的概率；同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案,解析,2,3,4,5
14、,1,共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是,4.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是,答案,解析,2,3,4,5,1,三位正整数有100999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为,5.任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是,答案,解析,规律与方法,1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A1，A2，A3，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？ (3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.,3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.,本课结束,
