高考数学命题热点名师解密专题:复数的解题策略(理)

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1、专题 31 复数的解题策略一 【学习目标】1理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件,并会应用2了解复数的代数形式的表示方法,能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义,会简单应用二知识点与方法总结1复数的有关概念(1)复数的概念形如 abi(a,bR)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部,若 b0,则 abi 为虚数,若a=0,则 abi 为纯虚数,i 为虚数单位(2)复数相等:复数 abi c di a =c ,b=d (a,b,c,dR)(3)共轭复数:abi 与 cdi 共轭a =c ,b=-d (a,b,c,dR)(4)复数的模

2、向量 的模 r 叫做复数 zabi(a,bR)的模,记作|z|或|abi|,即|z| abi| OZ 2复数的四则运算设 z1abi,z 2c di(a,b,c,dR),则(1)加法:z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i;(2)减法:z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i;(3)乘法:z 1z2(abi)(c di)(acbd)( adbc )i;(4)除法: z1z2 a bic di (a bi)(c di)(c di)(c di) i(cdi0)(ac bd) (bc ad)ic2 d2 ac bdc2 d2 bc adc2 d23两条性质(1)i4n1

3、,i 4n 1i,i 4n2 1,i 4n3 i ,i ni n1 i n2 i n3 0(其中 nN *);(2)(1i)22i, i, i.1 i1 i 1 i1 i4.方法规律总结(1).设 zabi(a,bR),利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.(2).实数的共轭复数是它本身,两个纯虚数的积是实数.(3).复数问题几何化,利用复数、复数的模、复数运算的几何意义,转化条件和结论,有效利用数和形的结合,取得事半功倍的效果.三典例分析(一)复数的概念例 1若复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上,则实数 ( )A B2 C D【答案】D【解析】复数在复平面内

4、对应的点在虚轴上,则 ,故选练习 1若复数 z(36i) (1+9i) ,则( )A复数 z 的实部为 21B复数 z 的 虚部为 33C复数 z 的共轭复数为 5721iD在复平面内,复数 z 所对应的点位于第二象限【答案】C练习 2若复数 ( 为虚数单位) ,则复数 在坐标平面内对应点的坐标为( )A B C D【答案】B【解析】 z ,则复数 z 在复平面内对应点的坐标是:(1,-1) 故选: B(二)复数的几何意义例 2已知复数 在复平面内对应的点分别为 ,则 ( )A B C D【答案】D【解析】复数 在复平面内对应的点分别为(1,1) , (0,1) , 1+ i, i 故选: D

5、练习 1复数 在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】因为 所以复数 z 在 复平面所对应的点是(1,3)练习 2设复数 满足 ,其中 为虚数单位,则复数 对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D【解析】由(1+i) 2z2+i,得 2iz2+i, ,复数 z 对应的点的坐标为( ,1) ,位于第四象限故选:D练习 3已知 ,且 ,则实数 的值为( )A 0 B1 C D【答案】C【解析】 , 3,得 ,则 ,a= ,故选: C ,建立等式,建立等式,得到 ,解得 ,故错误。故选 B。练习 4复数 ( 是虚数单

6、位)的共轭复数 表示的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】因为 ,所以 表示的点在第二象限,故 选 B练习 5复数 z1=1-2i,|z2|=3,则|z 2-z1|的最大值是_【答案】【解 析】因为 ,所以其对应点的坐标为 ,设 对应点的坐标为 ,由 得 ,即所以 可看出,点 与圆 上任意 一点的距离,所以其最大值为.故答案为(六)复数综合例 6欧拉公式 ( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,根据欧拉公式可知, 表示的复数在复平面中位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象

7、限【答案】B【解析】因为 ,所以对应点 ,在第二象限,选 B.练习 1给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集, C 为复数集):“若 a, bR,则 a b0 a b”类比推出“若 a, cC, a c0 a c”;“若 a, b, c, dR,则复数 a bi c dia c, b d”类比推出“若 a, b, c, dQ,则a b c d a c, b d”;“若 a, bR,则 a b0 a b”类比推出“若 a, bC,则 a b0 a b”“若 xR,则| x|11 x1”类比推出“若 zC,则| z|11 z1”其中类比结论正确的个数是 ()A 0 B1 C2 D

8、3【答案】C【解析】在复数集 中,若两个复数满足 ,则它们的实部和虚部均相等,则 , 相等故正确;在有理数集 中,由 得,则 ,易得: 且 则 正确;在复数范围内, 不能推出 ,比如 , ,显然有 成立,但 , 不能比较大小,故错误;“若 ,则 ”类比推出“ 若 , 表示复数模小于 1,不能 ,比如故错误,综上:正确.故选:C.练习 2在复平面内,复数 所对应的点位于第四象限,则 n 的最小值为A 1 B2 C3 D4【答案】C【解析】当 时, ,其对应的点位于第一象限;当 时, ,其对应的点位于坐标原点;当 时, ,其对应的点位于第四象限,满足条件;所以 的最小值为 3,故选 C.练习 3当

9、实数 为 何值时,复数 分别是(1)虚数;(2)纯虚数;(3)实数.【答案】 (1)m-2 且 m -3; (2)m=3; (3)m=-2 或 m=-3.【解析】复数 是:(1)虚数:得到 0,解得 m-2 且 m -3; (2)纯虚数: 得到 0 并且 0 解得 m=3(3)实数: =0 解得 m=-2 或 m=-3故答案为:m-2 且 m -3; m=3; m=-2 或 m=-3.练习 4设 .(1)求证:1 20;(2)计算:(1 2)(1 2)【答案】 (1)证明见解析。 (2)4.【解析】(1)证明: i, 2( i)2 2( )( i)( i)2 i i, 1 21 i i0.(2

10、)由 1 20 知,(1)(1 2)0, 310, 31.(1 2)(1 2)(2 2)(2)4 34.(七)复数根问题例 1已知复数 zabi(a, bR)是方程 z234i 的一个根,则 z 等于( )A 12i B12i C12i 或12i D2i 或2i【答案】C【解析】由题意得 , , ,解得 或 ,z12i 或 z12i.故选 C.练习 1已知复数 .(1)求复数 的模;(2)若复数 是方程 的一个根,求实数 , 的值.【答案】 (1) ;(2)4,10练习 2已知 1i 是实系数方程 x2axb0 的一个根(1)求 a,b 的值;(2)试判断 1i 是否是方程的根【答案】 (1)

11、a,b 的值分别为2,2;(2)1i 是方程的一个根【解析】(1)1i 是方程 x2ax b0 的根,(1i) 2a(1i)b0,即 (ab)( a2)i0, a,b 的值分别为2,2. (2)由(1)知,实系数方程为 x22x20,把 1i 代入方程,左边(1i) 2 2(1i)2 2i22i20,显然方程成立,1i 也是方程的一个根 练习 3对于 n 个复数 z1,z 2,z n,如果存在 n 个不全为零的实数 k1,k 2,k n,使得k1z1k 2z2k nzn0,就称 z1,z 2,z n 线性相关若要说明复数 z112i,z 21i,z 32 线性相关,则可取k 1,k 2,k 3_(只要写出满足条件的一组值即可)【答案】 (或2,4,3等)

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