1、专题 31 复数的解题策略一 【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用二知识点与方法总结1复数的有关概念(1)复数的概念形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部，若 b0，则 abi 为虚数，若a=0，则 abi 为纯虚数，i 为虚数单位(2)复数相等：复数 abi c di a =c ,b=d (a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭a =c ,b=-d (a，b，c，dR)(4)复数的模
2、向量 的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z| abi| OZ 2复数的四则运算设 z1abi，z 2c di(a，b，c，dR)，则(1)加法：z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i；(2)减法：z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i；(3)乘法：z 1z2(abi)(c di)(acbd)( adbc )i；(4)除法： z1z2 a bic di （a bi）（c di）（c di）（c di） i(cdi0)（ac bd） （bc ad）ic2 d2 ac bdc2 d2 bc adc2 d23两条性质(1)i4n1
3、，i 4n 1i，i 4n2 1，i 4n3 i ，i ni n1 i n2 i n3 0(其中 nN *)；(2)(1i)22i， i， i.1 i1 i 1 i1 i4.方法规律总结（1）.设 zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.三典例分析（一）复数的概念例 1若复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数 （ ）A B2 C D【答案】D【解析】复数在复平面内
4、对应的点在虚轴上，则 ，故选练习 1若复数 z（36i） （1+9i） ，则（ ）A复数 z 的实部为 21B复数 z 的 虚部为 33C复数 z 的共轭复数为 5721iD在复平面内，复数 z 所对应的点位于第二象限【答案】C练习 2若复数 （ 为虚数单位） ，则复数 在坐标平面内对应点的坐标为（ ）A B C D【答案】B【解析】 z ，则复数 z 在复平面内对应点的坐标是：（1，-1） 故选： B（二）复数的几何意义例 2已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】复数 在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0，1） ， 1+ i， i 故选： D
5、练习 1复数 在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】因为 所以复数 z 在 复平面所对应的点是（1,3）练习 2设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D【解析】由（1+i） 2z2+i，得 2iz2+i， ，复数 z 对应的点的坐标为（ ，1） ，位于第四象限故选：D练习 3已知 ，且 ，则实数 的值为（ ）A 0 B1 C D【答案】C【解析】 ， 3,得 ，则 ，a= ，故选： C ，建立等式,建立等式，得到 ，解得 ，故错误。故选 B。练习 4复数 （ 是虚数单
6、位）的共轭复数 表示的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】因为 ,所以 表示的点在第二象限，故 选 B练习 5复数 z1=1-2i,|z2|=3,则|z 2-z1|的最大值是_【答案】【解 析】因为 ，所以其对应点的坐标为 ，设 对应点的坐标为 ，由 得 ，即所以 可看出，点 与圆 上任意 一点的距离，所以其最大值为.故答案为（六）复数综合例 6欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象
7、限【答案】B【解析】因为 ，所以对应点 ，在第二象限，选 B.练习 1给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集， C 为复数集)：“若 a， bR，则 a b0 a b”类比推出“若 a， cC， a c0 a c”；“若 a， b， c， dR，则复数 a bi c dia c， b d”类比推出“若 a， b， c， dQ，则a b c d a c， b d”；“若 a， bR，则 a b0 a b”类比推出“若 a， bC，则 a b0 a b”“若 xR，则| x|11 x1”类比推出“若 zC，则| z|11 z1”其中类比结论正确的个数是 （）A 0 B1 C2 D
8、3【答案】C【解析】在复数集 中，若两个复数满足 ，则它们的实部和虚部均相等，则 ， 相等故正确；在有理数集 中，由 得，则 ，易得： 且 则 正确；在复数范围内， 不能推出 ，比如 ， ，显然有 成立，但 ， 不能比较大小，故错误；“若 ，则 ”类比推出“ 若 ， 表示复数模小于 1，不能 ，比如故错误，综上：正确.故选：C.练习 2在复平面内，复数 所对应的点位于第四象限，则 n 的最小值为A 1 B2 C3 D4【答案】C【解析】当 时， ，其对应的点位于第一象限；当 时， ，其对应的点位于坐标原点；当 时， ，其对应的点位于第四象限，满足条件；所以 的最小值为 3，故选 C.练习 3当
9、实数 为 何值时，复数 分别是（1）虚数；（2）纯虚数；（3）实数.【答案】 （1）m-2 且 m -3; （2）m=3； （3）m=-2 或 m=-3.【解析】复数 是：（1）虚数：得到 0，解得 m-2 且 m -3; （2）纯虚数： 得到 0 并且 0 解得 m=3（3）实数： =0 解得 m=-2 或 m=-3故答案为：m-2 且 m -3; m=3； m=-2 或 m=-3.练习 4设 .(1)求证：1 20；(2)计算：(1 2)(1 2)【答案】 （1）证明见解析。 （2）4.【解析】(1)证明： i， 2( i)2 2( )( i)( i)2 i i， 1 21 i i0.(2
10、)由 1 20 知，(1)(1 2)0， 310， 31.(1 2)(1 2)(2 2)(2)4 34.（七）复数根问题例 1已知复数 zabi(a， bR)是方程 z234i 的一个根，则 z 等于( )A 12i B12i C12i 或12i D2i 或2i【答案】C【解析】由题意得 ， ， ，解得 或 ，z12i 或 z12i.故选 C.练习 1已知复数 .（1）求复数 的模；（2）若复数 是方程 的一个根，求实数 ， 的值.【答案】 （1） ；（2）4，10练习 2已知 1i 是实系数方程 x2axb0 的一个根(1)求 a，b 的值；(2)试判断 1i 是否是方程的根【答案】 （1）
11、a，b 的值分别为2，2；（2）1i 是方程的一个根【解析】(1)1i 是方程 x2ax b0 的根，(1i) 2a(1i)b0，即 (ab)( a2)i0， a，b 的值分别为2，2. (2)由(1)知，实系数方程为 x22x20，把 1i 代入方程，左边(1i) 2 2(1i)2 2i22i20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根 练习 3对于 n 个复数 z1，z 2，z n，如果存在 n 个不全为零的实数 k1，k 2，k n，使得k1z1k 2z2k nzn0，就称 z1，z 2，z n 线性相关若要说明复数 z112i，z 21i，z 32 线性相关，则可取k 1，k 2，k 3_(只要写出满足条件的一组值即可)【答案】 (或2，4，3等)