1、专题分类突破七 反比例函数中的面积问题类型 1 利用“k ”的几何意义解决有关图形的面积问题【例 1】 如图，正方形 ABOC 的边长为 2，反比例函数 y 的图象经过点 A，则 k 的值是( kxD )A2 B2 C4 D4变式 如图所示，点 A 在函数 y (x0)的图象上，点 B 在函数 y (x0) 的图象上，且2x 4xABx 轴，BCx 轴于点 C，则四边形 ABCO 的面积为( C )A1 B2 C3 D4变式图变式答图【解析】 如图，延长 BA 交 y 轴于点 D，则四边形 OCBD 为矩形点 A 在双曲线 y 上，点 B 在双曲线 y 上，2x 4xS OAD 1，S 矩形
2、OCBD4，四边形 ABCO 的面积S 矩形 OCBDS OAD 413.类型 2 利用“k ”的代数意义解决有关图形的面积问题【例 2】 如图所示，在直角坐标系中，有菱形 OABC，A 点的坐标是(10，0) ，双曲线y (x0)经过点 C，且 OBAC160，则 k 的值为_48_ kx例 2 图 例 2 答图【解析】 四边形 OABC 是菱形，且 OBAC160，菱形 OABC 的面积为 80，即 OACD80.OAOC10，CD8.在 Rt OCD 中，OC 10，CD 8，根据勾股定理得：OD6，即 C(6，8)，则 k 的值为 48.变式 2018温州如图所示，点 A，B 在反比例
3、函数 y (x0)的图象上，点 C，D 在反比例1x函数 y (k0)的图象上，AC BD y 轴，已知点 A，B 的横坐标分别为 1，2，OAC 与kxABD 的面积之和为 ，求 k 的值32解：把 x1 代入 y ，得 y1，A(1 ，1)，把 x2 代入 y 得：y ，B .1x 1x 12 (2， 12)ACBDy 轴，C (1，k) ，D ，(2， k2)ACk1， BD ，k2 12S OAC (k1)1，12SABD 1.12(k2 12)又OAC 与ABD 的面积之和为 ，32 (k 1)1 1 ，解，12 12(k2 12) 32得 k3.类型 3 利用反比例函数的中心对称性
4、解决有关图形的面积问题【例 3】 如图所示，A，B 是函数 y 的图象上关于原点对称的任意两点， BCx 轴，2xACy 轴，如果 ABC 的面积记为 S，那么( A )AS4 BS2C2S4 DS4【解析】 设点 A 的坐标为(x，y)，则B(x，y)，xy 2.AC2y，BC2x .ABC 的面积2x2y22xy224.变式 如图，反比例函数 y 的图象与正比例函数 yx 的图象交于 A，C 两点，ABx 轴，1xCDx 轴，垂足分别为点 B，D .求四边形 ADCB 的面积解：联立两函数表达式可得 y 1x，y x， )解得 或x 1，y 1， ) x 1，y 1.)A(1，1) ，C(
5、11)ABx 轴，CDx 轴，B(1 ，0)，D(1，0)；BD2，ABCD 1.ABBD ，CDBD ，ABCD ，四边形 ABCD 为平行四边形，S 四边形 ABCDAB BD12 2.1如图所示，反比例函数 y 在第二象限的图象上有一点 A，过点 A 作 ABx 轴于点kxB，且 SAOB 2，则 k 的值为( A )A4 B2 C 2 D4第 1 题图 第 2 题图2如图所示，点 A 是反比例函数 y (x0)图象上任意一点，ABy 轴于点 B，点 C 是 x2x轴上的动点，则ABC 的面积为( A )A1 B2C4 D不能确定3如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 与 y 轴平行，顶
6、点 A 的坐标为(1 ，2)，点 B 和点 D 在反比例函数 y (x0)的图象上，则矩形 ABCD 的面积为_8_6x第 3 题图 第 4 题图4如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与 x 轴平行，点 P(2a，a) 是反比例函数 y 的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积2x是_4_【解析】 把 P(2a，a) 代入 y 得 2aa2，解得 a1 或1，2x点 P 在第一象限，a1，P 点坐标为(2，1) ，正方形的面积4416，图中阴影部分的面积 S 正方形 4.145如图所示，四边形 OABC 是矩形，四边形 ADEF 是正方形，点 A，D
7、在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB 上，点 B，E 在反比例函数 y (k 为常数，k0)的图kx象上，正方形 ADEF 的面积为 4，且 BF2AF，则 k 值为_6_【解析】 正方形 ADEF 的面积为 4，正方形 ADEF 的边长为 2，BF2AF4，ABAF BF246.设 B 点坐标为(t，6) ，则 E 点坐标为(t2，2)，点 B，E 在反比例函数 y 的图象上，kxk6t2( t2)，解得 t1，k6.第 5 题图 第 6 题图6如图所示，平行于 x 轴的直线 AB 与函数 y (k10，x0)，y (k20，x0)的图k1x k2x像分别交于
8、 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点若ABC 的面积为4，则 k1k 2 的值为_8_72018衢州如图，点 A，B 是反比例函数 y (x0) 图象上的两点，过点 A，B 分别作kxACx 轴于点 C，BDx 轴于点 D，连结 OA，BC ，已知点 C(2，0) ，BD2，S BCD 3，求AOC 的面积解：BDCD，BD2，S BCD BDCD3，即 CD3.12C(2，0)，即 OC2，ODOC CD235，B(5，2) ，代入反比例函数表达式得：k 10，即 y ，则 SAOC 5. 10x8如图所示，平面直角坐标系中，点 C(3，0)，函数 y (k0，x0)的图象经过 OABCkx的顶点 A(m，n) 和边 BC 的中点 D.(1)求 m 的值；(2)若OAD 的面积等于 6，求 k 的值解：(1)点 C(3，0)， OABC 的顶点 A(m，n)，B(m3，n)，D .(m2 3， n2)函数 y (k0，x 0)的图象经过 OABC 的顶点 A(m，n) 和边 BC 的中点 D，kxmnk， k，n2(m2 3)m2.(2)点 D 是平行四边形边 BC 的中点，S 平行四边形 OABC2S OAD 12.S 平行四边形 OABC3n12，n4，由(1)知，m2 ，kmn8.
