1、*2.5 一元二次方程的根与系数的关系,第二章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点）,学习目标,导入新课,复习引入,1.一元二次方程的求根公式是什么？,想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？,2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？,对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac 0.方程有两个实数根
2、.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.,（2）2x2 - 3x - 2 = 0.,解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.= b2 - 4ac = （- 3）2 4 2 (-2) = 25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+ =得：k=-7.
3、 答：方程的另一个根是 ，k=-7.,已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1 + x2=1+x2=6，即：x2=5 . 由于x1x2=15=得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15.,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：根据根与系数的关系可知：,设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1x2= ,(3) , (4) .,4,1,14,12,例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x
4、+ k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.,解：由方程有两个实数根，得= 4（k - 1）2 - 4k2 0 即 -8k + 4 0.由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,解得 k1= 0 , k2 = 4 .经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.,总结常见的求值:,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,
5、两根之积的形式,再整体代入.,1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.,解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1. = b2 - 4ac = 32 - 4 1 (-1) = 13 0 有实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .(2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1. = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 1 2 = 8 0 有实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = 2 ,
6、x1 x2 = .,当堂练习,2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.解得 m = 16,设另一个根为x1,则：1 x1 = x1 =,3.设x1,x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2),解:根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）,4. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1
7、x2)，则x1-x2=1, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,拓展提升,由根与系数的关系，得,5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足x1-x2= 1 求m的值.,解：(1)方程有实数根,m的取值范围为m0,(2)方程有实数根x1,x2, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,解得m=8.,经检验m=8是原方程的解,课堂小结,根与系数的关系 （韦达定理）,内 容,如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q.,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么,应 用,常见变形,
