1、2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1（5分）若函数f（x）sinxcosx，则f（x）（）Asin2xBsin2xCcos2xDcos2x2（5分）已知全集UR，Ax|3x1，Bx|0x2，则图中阴影部分表示的集合为（）Ax|3x0Bx|3x0Cx|3x2Dx|0x13（5分）若p：实数a使得“x0R，x02+2x0+a=0”为真命题，q：实数a使得“x1，+），x2a0”为真命题，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务调查数据表明，科创
2、小微企业的贷款实际还款比例P（x）关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为P(x)=e-0.5+kx1+e-0.5+kx已知当贷款小微企业的年收入为10万元时，其实际还款比例为50%，若银行期待实际还款比例为60%，则贷款小微企业的年收入约为（）（参考数据：ln20.693，ln31.099）A14万元B16万元C18万元D20万元5（5分）函数f（x）ln|x1|ln|x+1|的部分图象大致为（）ABCD6（5分）已知定义在R上的奇函数f(x)=4-2x+2，x0g(x)，x0，则f(g(log245)的值为（）A2B2C4D47（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x），yf
3、（x+1）是偶函数，若f（x）在（0，1）上单调递增，af（ln2），b=f(-e)，c=f(52)，则（）AbacBcabCabcDbca8（5分）已知函数f（x）（x+1）ex，若函数F（x）f2（x）mf（x）+m1有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A(-1e2，0)B(-1e2，1)C(1-1e2，1)D(1-1e2，1)(1，+)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知alog212，blog318，则（）AabB（a2）（b2）1Ca+b7Dab9（多选）1
4、0（5分）已知函数f(x)=x21-x，则（）Af（x）有极大值4Bf（x）在（，0）上单调递增Cf（x）的图象关于点（1，2）中心对称D对x1，x2（1，+），都有f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2（多选）11（5分）对于函数f（x），若在其定义域内存在x0使得f（x0）x0，则称x0为函数f（x）的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（）Af(x)=2x2+14Bf（x）ex3xCf（x）ex12lnxDf(x)=lnx-2x（多选）12（5分）关于曲线f（x）lnx和g(x)=ax(a0)的公切线，下列说法正确的有（）A无论a取何值，两曲线都有公切线B若两曲线恰有两条公切线
5、，则a=-1eC若a1，则两曲线只有一条公切线D若-1e2a0，则两曲线有三条公切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f（x） f（x1x2）f（x1）+f（x2）；f（x）为增函数14（5分）若函数f（x）x2x+alnx在（1，+）上单调递增，则实数a的取值范围为 15（5分）已知函数f(x)=ex+a，x0ln(x+3a)，x0，若方程f（x）1有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 16（5分）若f（x）是区间a，b上的单调函数，满足f（a）0，f（b）0，且f（x）0（f（x）为函数f（x）的导数），则可用牛顿切线法求f（x）
6、0在区间a，b上的根的近似值：取初始值x0b，依次求出yf（x）图象在点（xk1，f（xk1）处的切线与x轴交点的横坐标xk（k1，2，3，），当xk与的误差估计值|f(xk)|m（m为|f（x）|（xa，b）的最小值）在要求范围内时，可将相应的xk作为的近似值用上述方法求方程x3+2x10在区间0，34上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为 ，相应的xk值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知集合Ax|a3x2a+1，Bx|x2+3x100（1）当a1时，求AB；（2）若ABB，求实数a的取值范围18（1
7、2分）已知函数f（x）ax3+bx2+2x，f（x）0的解集为（，1）（2，+）（1）求a，b的值；（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，g（x）f（x），求不等式g（2x3）+g（x）0的解集19（12分）若函数f（x）aex+bx1在x0处取得极小值0（1）求f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）3x+m恒成立，求实数m的取值范围20（12分）已知函数f（x）axlnx（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：当0a1时，x（0，+），使得f（x）3aa2ln221（12分）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调
8、查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系y=90+2x-3x2+900，x0，4090x-x2-1980，x(40，100（1）若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？（2）如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由22（12分）已知函数f(x)=xlnx+12x2-x（1）求函数f（x）的零点个数；（2）若g（x）（x1）exaf（x）有两个极值点，求实数a的取值范围2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）
9、若函数f（x）sinxcosx，则f（x）（）Asin2xBsin2xCcos2xDcos2x【解答】解：f（x）sinxcosx，则f（x）（sinx）cosx+sinx（cosx）cos2xsin2xcos2x故选：C2（5分）已知全集UR，Ax|3x1，Bx|0x2，则图中阴影部分表示的集合为（）Ax|3x0Bx|3x0Cx|3x2Dx|0x1【解答】解：根据韦恩图，阴影部分表达的是集合A中不属于集合B的元素组成的集合，又Ax|3x1，Bx|0x2，故阴影部分表示的集合为x|3x0故选：A3（5分）若p：实数a使得“x0R，x02+2x0+a=0”为真命题，q：实数a使得“x1，+），x
10、2a0”为真命题，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：对于p：x0R，x02+2x0+a=0，所以44a0，即a1对于q：x1，+），x2a0，因为函数yx2a在1，+）上单调递增，所以当x1时，（x2a）min1a，则1a0，即a1所以p是q的必要不充分条件故选：B4（5分）某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例P（x）关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为P(x)=e-0.5+kx1+e-0.5+kx已知当贷款小微企业的年收入为10万元时，其实际还款比例为50%，若银行期待实际还款比例为6
11、0%，则贷款小微企业的年收入约为（）（参考数据：ln20.693，ln31.099）A14万元B16万元C18万元D20万元【解答】解：由题意可知P(10)=e-0.5+10k1+e-0.5+10k=50%=12，e0.5+10k1，得k0.05，P(x)=e-0.5+0.05x1+e-0.5+0.05x令P(x)=e-0.5+0.05x1+e-0.5+0.05x=60%=35，得5e0.5+0.05x3（1+e0.5+0.05x），得e-0.5+0.05x=32，取对数得-0.5+0.05x=ln32得x=ln3-ln2+0.50.0518故选：C5（5分）函数f（x）ln|x1|ln|x+
12、1|的部分图象大致为（）ABCD【解答】解：由|x-1|0|x+1|0，得x1，所以函数f（x）的定义域为（，1）（1，1）（1，+），关于原点对称，又f（x）ln|x1|ln|x+1|ln|x+1|ln|x1|f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项；当x=12时，函数f(x)=ln12-ln32=ln13ln1=0，当x=-12时，函数f(x)=ln32-ln12=ln3ln1=0，故排除B选项故选：A6（5分）已知定义在R上的奇函数f(x)=4-2x+2，x0g(x)，x0，则f(g(log245)的值为（）A2B2C4D4【解答】解：由于log2450，所以
13、g(log245)=f(log245)，由于f（x）为奇函数，所以f(log245)=-f(-log245)=-f(log254)，f(log254)=4-2log254+2=4-42log254=4-454=-1，所以g(log245)=f(log245)=-f(log254)=1，f(g(log245)=f(1)=4-23=-4，故选：C7（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x），yf（x+1）是偶函数，若f（x）在（0，1）上单调递增，af（ln2），b=f(-e)，c=f(52)，则（）AbacBcabCabcDbca【解答】解：因为在R上的函数f（x）满足f（x+2）
14、f（x），所以f（x）的周期为2，则b=f(-e)=f(2-e)，c=f(52)=f(12)，又因为2-e-12=32-e=94-e=2.25-e0，1ln2lne=12，所以02-e12ln21，又因为f（x）在（0，1）上单调递增，于是f(2-e)f(12)f(ln2)，所以bca故选：D8（5分）已知函数f（x）（x+1）ex，若函数F（x）f2（x）mf（x）+m1有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A(-1e2，0)B(-1e2，1)C(1-1e2，1)D(1-1e2，1)(1，+)【解答】解：函数f（x）（x+1）ex的定义域为R，求导得f（x）（x+2）ex，当x2时，f（
15、x）0，当x2时，f（x）0，因此函数f（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，f(x)min=f(-2)=-1e2，且x1，恒有f（x）0，由F（x）0，得f（x）1f（x）m+10，即f（x）1或f（x）m1，由f（x）1，得x0，于是函数F（x）有3个不同零点，当且仅当方程f（x）m1有2个不同的解，即直线ym1与yf（x）图象有2个公共点，在同一坐标系内作出直线ym1与yf（x）的图象，如图，观察图象知，当-1e2m-10，即1-1e2m1时，直线ym1与yf（x）的图象有2个公共点，所以实数m的取值范围为(1-1e2，1)故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2
16、0分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知alog212，blog318，则（）AabB（a2）（b2）1Ca+b7Dab9【解答】解：对于A，因为alog212log283，blog318log3273，所以ab，故A错误；对于B，因为alog212log23+log24log23+2，即a2log23，blog318log32+log39log32+2，即b2log32，所以（a2）（b2）log23log321，故B正确；对于C，因为alog212log2164，由A选项知，b3，所以a+b7，故C正确；对于D，由
17、B选项知，alog23+2，blog32+2，因为log23log32，且log23log210，log32log310，所以ab=(log23+2)(log32+2)=5+2(log23+log32)5+4log23log32=9，即ab9，故D正确故选：BCD（多选）10（5分）已知函数f(x)=x21-x，则（）Af（x）有极大值4Bf（x）在（，0）上单调递增Cf（x）的图象关于点（1，2）中心对称D对x1，x2（1，+），都有f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2【解答】解：对于A：f（x）=x21-x的定义域为x|x1，f（x）=2x(1-x)-(-1)x2(1-x)2=-x2
18、+2x(1-x)2，令f（x）0得x0或2，所以在（，0）上f（x）0，f（x）单调递减，在（0，1）上f（x）0，f（x）单调递增，在（1，2）上f（x）0，f（x）单调递增，在（2，+）上f（x）0，f（x）单调递减，所以当x2时，f（x）极大值f（2）4，故A正确；对于B：由上可知f（x）在（，0）上单调递减，故B错误；对于C：f（1x）+f（1+x）=(1-x)21-(1-x)+(1+x)21-(1+x)=1-2x+x2x-1+2x+x2x=-4xx=-4，所以f（x）关于点（1，2）对称，故C正确；对于D：由（1）知f（x）=-x2+2x(1-x)2，所以f（x）=(-2x+2)(1
19、-x)2-2(1-x)(-1)(-x2+2x)(1-x)4=-2x+2(1-x)4，当x1时，f（x）0，所以f（x）在（1，+）上向下凸，所以对x1，x2（1，+），都有f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2，故D正确，故选：ACD（多选）11（5分）对于函数f（x），若在其定义域内存在x0使得f（x0）x0，则称x0为函数f（x）的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（）Af(x)=2x2+14Bf（x）ex3xCf（x）ex12lnxDf(x)=lnx-2x【解答】解：A：f（x）定义域为R，f(x)=2x2+14=x，则2x2-x+14=0，由于=1-42140，故方程无实数
20、根，故A错误，B：f（x）定义域为R，f（x）ex3xx，记g（x）ex4x，则g（x）的图象是连续不断的曲线，g（0）10，g（1）e40，根据零点存在性定理可知g（x）在（0，1）存在零点，故B正确，C：f（x）定义域为（0，+），f（x）ex12lnxx，由于f（1）e001，所以x1是f（x）的一个不动点，故C正确，D：f（x）的定义域为（0，+），f(x)=lnx-2x=x，令F(x)=lnx-2x-x，则F(x)=1x+2x2-1=-x2+x+2x2=-(x-2)(x+1)x2，故当x2时，f（x）0，F（x）单调递减，当0x2时，f（x）0，F（x）单调递增，故当x2时，F（x）
21、取极大值也是最大值，故F（x）F（2）ln230，故f(x)=lnx-2x=x在（0，+）无实数根，故D错误故选：BC（多选）12（5分）关于曲线f（x）lnx和g(x)=ax(a0)的公切线，下列说法正确的有（）A无论a取何值，两曲线都有公切线B若两曲线恰有两条公切线，则a=-1eC若a1，则两曲线只有一条公切线D若-1e2a0，则两曲线有三条公切线【解答】解：不妨设曲线f（x）lnx和g(x)=ax(a0)的公切线分别与两曲线相切于（m，lnm）（m0），(n，an)(n0)，因为f(x)=1x，g(x)=-ax2，所以f(m)=1m，g(n)=-an2，此时公切线的方程为y-lnm=1m
22、(x-m)，即y=1mx+lnm-1，也可以为y-an=-an2(x-n)，即y=-an2x+2an，所以1m=-an2lnm-1=2an，整理得ln(-n2a)-1=2an，所以lnn2-2an-ln(-a)-1=0(a0)，当a0时，a0，此时上述式子无意义，则两曲线没有公切线，故选项A错误；不妨设F(n)=lnn2-2an-ln(-a)-1(n0)，此时F(n)=2lnn-2an-ln(-a)-1(n0)，可得F(n)=2n+2an2=2(n+a)n2，当0na时，F（n）0；当na时，F（n）0，所以函数F（n）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，则F（n）minF（a）2
23、ln（a）+2ln（a）1ln（a）+1，当F（a）ln（a）+10，即-1ea0时，F（n）0有两解，此时方程lnn2-2an-ln(-a)-1=0在n0时有两解，当F（a）ln（a）+10，即a=-1e时，F（n）0只有一解，此时方程lnn2-2an-ln(-a)-1=0在n0时只有一解，当F（a）ln（a）+10，即a-1e时，F（n）0无解，此时方程lnn2-2an-ln(-a)-1=0在n0时无解，不妨设F(n)=lnn2-2an-ln(-a)-1(n0)，此时F(n)=2ln(-n)-2an-ln(-a)-1(n0)，得到F(n)=2n+2an2=2(n+a)n20，所以函数F（n
24、）在（，0）上单调递减，当n时，2ln（n）+，-2an0，所以F（n）+，当n0时，2ln（n），-2an-，所以F（n），易知函数F（n）在（，0）上一定存在n0使得F（n0）0，即方程lnn2-2an-ln(-a)-1=0在n0时只有一解，综上所述，当a=-1e时，有两条公切线，故选项B正确；当a-1e时，有一条公切线，又-1-1e，所以当a1时，只有一条公切线，故选项C正确；当-1ea0时，有三条公切线，因为-1e-1e2，所以当-1e2a0时，有三条公切线，故选项D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f（x）log2
25、xf（x1x2）f（x1）+f（x2）；f（x）为增函数【解答】解：取f（x）log2x，该函数的定义域为（0，+），对任意的x1、x2（0，+），f（x1x2）log2（x1x2）log2x1+log2x2f（x1）+f（x2），即f（x）log2x满足；又因为函数f（x）log2x为定义域（0，+）上的增函数，即f（x）log2x满足故函数f（x）log2x满足条件故答案为：log2x（形如f（x）logax（a1）都可以，答案不唯一）14（5分）若函数f（x）x2x+alnx在（1，+）上单调递增，则实数a的取值范围为 1，+）【解答】解：因为f（x）x2x+alnx，x1，所以f(x)
26、=2x-1+ax=2x2-x+ax，又函数f（x）在（1，+）上单调递增，所以f(x)=2x2-x+ax0在x（1，+）上恒成立，即a2x2+x在x（1，+）上恒成立，令g（x）2x2+x，对称轴为直线x=14，所以函数g（x）在（1，+）上单调递减，所以g（x）g（1）1，所以a1，即实数a的取值范围为1，+）故答案为：1，+）15（5分）已知函数f(x)=ex+a，x0ln(x+3a)，x0，若方程f（x）1有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 0，e3)【解答】解：当x0时，0ex1，则af（x）1+a，若a0，当x0时，f（x）ln（x+3a）ln3a，因为方程f（x）1有两个不
27、相等的实数根，如图，所以a0a11+aln3a1，即0ae3若a0，当x0时，f（x）ln（x+3a），此时方程f（x）1有1个解，如图，当x0时，方程f（x）1有1个解需满足a0a11+a，即a0综上所述，实数a的取值范围为0，e3)故答案为：0，e3)16（5分）若f（x）是区间a，b上的单调函数，满足f（a）0，f（b）0，且f（x）0（f（x）为函数f（x）的导数），则可用牛顿切线法求f（x）0在区间a，b上的根的近似值：取初始值x0b，依次求出yf（x）图象在点（xk1，f（xk1）处的切线与x轴交点的横坐标xk（k1，2，3，），当xk与的误差估计值|f(xk)|m（m为|f（x）
28、|（xa，b）的最小值）在要求范围内时，可将相应的xk作为的近似值用上述方法求方程x3+2x10在区间0，34上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为 2，相应的xk值为 511【解答】解：设f（x）x3+2x1，则f（x）3x2+2，f（x）6x，当x(0，34)，f(x)=6x0，故可用牛顿切线法求f（x）0在区间a，b上的根的近似值由于|f（x）|3x2+2在x0，34单调递增，所以|f（x）|2，所以|f（x）|的最小值为2，即m2，yf（x）图象在点（xk1，f（xk1）处的切线方程为：y=(3xk-12+2)(x-xk-1)+xk-13+2xk-1-1
29、，化简得y=(3xk-12+2)x-(2kk-13+1)，令y0，则xk=2xk-13+13xk-12+2，由于x0=b=34，所以x1=2x03+13x02+2=2(34)3+13(34)2+2=12，x2=2x13+13x12+2=2(12)3+13(12)2+2=511，所以f(x1)=f(12)=(12)3+212-1=18，|f(x1)|2=1161100，f(x2)=f(511)=(511)3+2(511)-1=(511)3-111=4113，|f(x2)|2=211321031100，故x2作为的近似值，故答案为：2；511四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证
30、明过程或演算步骤17（10分）已知集合Ax|a3x2a+1，Bx|x2+3x100（1）当a1时，求AB；（2）若ABB，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，Ax|2x3，而Bx|x2+3x100x|5x2，所以ABx|2x2（2）因为ABB，所以AB，当A时，a32a+1，即a4，此时满足AB；当A时，要使AB成立，则需满足a-32a+1a-3-52a+12，解得-2a12综上所述，实数a的取值范围是a|a4或-2a1218（12分）已知函数f（x）ax3+bx2+2x，f（x）0的解集为（，1）（2，+）（1）求a，b的值；（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，g（x
31、）f（x），求不等式g（2x3）+g（x）0的解集【解答】解：（1）因为f（x）ax3+bx2+2x，所以f（x）3ax2+2bx+2，又f（x）0的解集为（，1）（2，+），所以1和2是方程3ax2+2bx+20的两个根，且a0，所以1+2=-2b3a12=23a，解得a=13，b=-32（2）由（1）知，f(x)=13x3-32x2+2x，由题意，当x0时，g(x)=f(x)=13x3-32x2+2x，则g（x）x23x+20，所以函数g（x）在（，0上单调递增，又g（x）是定义在R上的奇函数，g（0）0，所以函数g（x）在0，+）上单调递增，所以函数g（x）在R上单调递增由g（2x3）+
32、g（x）0，得g（2x3）g（x）g（x），所以2x3x，即x1，所以不等式g（2x3）+g（x）0的解集为（1，+）19（12分）若函数f（x）aex+bx1在x0处取得极小值0（1）求f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）3x+m恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）aex+bx1，则f（x）aex+b，因为函数f（x）在x0处取得极小值0，则f(0)=a-1=0f(0)=a+b=0，解得a=1b=-1，此时f（x）exx1，则f（x）ex1，由f（x）0可得x0，由f（x）0可得x0，所以函数f（x）的减区间为（，0），增区间为
33、（0，+），所以函数f（x）在x0处取得极小值f（0）0，合乎题意，则f（1）e2，f（1）e1，因此f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为y（e2）（e1）（x1），即y（e1）x1（2）由f（x）+f（2x）3x+m可得mf（x）+f（2x）3x，设g（x）f（x）+f（2x）3xex+e2x6x2，则mg（x）min，因为g（x）2e2x+ex6（ex+2）（2ex3），由g（x）0可得xln32，由g（x）0可得xln32，所以，函数f（x）的减区间为(-，ln32)，增区间为(ln32，+)，所以g(x)min=g(ln32)=32+94-6ln32-2=74-6ln32，故
34、实数m的取值范围为(-，74-6ln32)20（12分）已知函数f（x）axlnx（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：当0a1时，x（0，+），使得f（x）3aa2ln2【解答】解：（1）因为f（x）axlnx（x0），则f(x)=a-1x-=ax-1x，当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，当x(0，1a)时，f（x）0，f（x）单调递减，x(1a，+)时，f（x）0，f（x）单调递增；综上，当a0时，函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，f（x）在(0，1a)上单调递减，在(1a，+)上单调递增（2）证明：由（1）可知，当0a1时，f（x）在x
35、=1a处取得最小值1+lna，若x（0，+），使得f（x）3aa2ln2，只需1+lna3aa2ln2，即a23a+1+lna+ln20恒成立即可，令g（a）a23a+1+lna+ln2（0a1），则g(a)=2a-3+1a=(2a-1)(a-1)a，当a(0，12)时，g（a）0，g（a）单调递增，当a(12，1)时，g（a）0，g（a）单调递减，故当a=12时，g(a)max=g(12)=14-32+1+ln12+ln2=-140，所以x（0，+），使得f（x）3aa2ln221（12分）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（
36、万元）近似满足如下关系y=90+2x-3x2+900，x0，4090x-x2-1980，x(40，100（1）若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？（2）如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由【解答】解：（1）当x0，40时，y=90+2x-3x2+900，则y=2-3122xx2+900=2-3xx2+900，令y0，则2-3xx2+900=0，化简得x2720，解得x=125或x=-125（舍去），当x0，125时，y0，则y=90+2x-3x2+900在0，125上递增，当x125，40时，y0，则y=90+2x-3x2+900在125，40上递减，所以
37、当x=125时，y=90+2x-3x2+900取得最大值90+245-3720+900=90-305，因为90-30530，所以目标不能实现；（2）由（1）可知，当x0，40时，公司年增加最大利润为90-305万元，当x（40，100时，y90xx21980（x45）2+45，所以当x45时，y90xx21980取得最大值45，因为90-30545，所以投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元22（12分）已知函数f(x)=xlnx+12x2-x（1）求函数f（x）的零点个数；（2）若g（x）（x1）exaf（x）有两个极值点，求实数a的取值范围【解答】解：（1）函数f(x)=xlnx+1
38、2x2-x的定义域为（0，+），f（x）lnx+x，显然f（x）在（0，+）上单调递增，又f(1e)=ln1e+1e=-1+1e0，f（1）ln1+110，所以存在x0(1e，1)，使得f（x0）0，即lnx0+x00，当0xx0时f（x）0，函数f（x）在（0，x0）上单调递减，当xx0时f（x）0，函数f（x）在（x0，+）上单调递增，且f(x0)=x0lnx0+12x02-x0=-12x02-x00，且x0时f（x）0且f（x）0，f（2）2ln20，f(1)=-120所以f（x）在（1，2）上有唯一的零点（2）因为g(x)=(x-1)ex-af(x)=(x-1)ex-a(xlnx+12
39、x2-x)，定义域为（0，+），则g（x）xexa（lnx+x）xexaln（xex），因为g（x）（x1）exaf（x）有两个极值点，所以g（x）有两个变号零点，令txex0，m（x）xex，x（0，+），则m（x）（x+1）ex0，所以m（x）xex在（0，+）上单调递增，要使以g（x）有两个变号零点，只需h（t）talnt，t（0，+）有两个变号零点，h(t)=1-at=t-at，当a0时h（t）0在（0，+）上恒成立，h（t）单调递增，不满足题意，当a0时，当0ta，h（t）0，即h（t）单调递减，当ta，h（t）0，即h（t）单调递增，所以h（t）在ta处取得极小值即最小值，h（t）minh（a）aalna，要使h（t）有两个变号零点，则h（t）minh（a）aalna0，即lna1，解得ae，此时h（1）10，h（ea）eaa20，所以h（t）在（1，a）和（a，ea）上各有一个变号零点，满足题意，综上所述，实数a的取值范围为（e，+）第19页（共19页）
