1、2022-2023学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）1（5分）集合A=xN|log12x-1，集合BxZ|x24，则AB（）A2B0，1，2C1，2D2（5分）复数z的实部与虚部互为相反数，且满足z+a=1+5i1-i，aR，则复数z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）函数f(x)=sinxlnx-1x+1的大致图象为（）ABCD4（5分）(x+ax)(x-2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A40B20C20D405（5分）冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两
2、个班的人数相等某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数f(x)=12e-(x-)222的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且P（|X|）0.6827，P（|X|2）0.9545，P（|X|3）0.9973关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（）A4班的平均分比5班的平均分高B相对于5班，4班学生的数学成绩更分散C4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%D5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等6（5分）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携
3、带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射击5次，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两轮射击中没有被罚时，事件B为其在第4轮射击中被罚时2分钟，那么P（A|B）（）A12B14C13D387（5分）我们知道：yf（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是yf（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：yf（x）的图象关于（a，b）成中心对称图形的充要条件是yf（x+a）b为奇函数若f（x）x33x2的对称中心为（m，n），则f（202
4、3）+f（2021）+f （3）+f（1）+f（3）+f（5）+f（2019）+f（2021）（）A8088B4044C4044D20228（5分）设a=9109，bln1.09，ce0.091，则下列关系正确的是（）AabcBbacCcabDcba二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且a11，3an+1Sn，则下列命题正确的是（）Aa2=13Ban=(43)n-1CSn=(43)n-1DS5S7S62（多选）10（5分）已知圆 C：（
5、x2）2+（y3）21，点M（4，2），点P在圆C上，O为原点，则下列命题正确的是（）AM在圆上B线段MP长度的最大值为5+1C当直线MP与圆C相切时，|MP|2DMOMP的最大值为5+6（多选）11（5分）已知f（x）x3ax+b，a，b为实数，则满足函数f（x）有且仅有一个零点的条件是（）Aa1，b2Ba0，b2Ca3，b1Da3，b3（多选）12（5分）已知三棱锥ABCD，BCAD=2，其余棱长均为5，则下列命题正确的是（）A该几何体外接球的表面积为6B直线AB和CD所成的角的余弦值是45C若点M在线段CD上，则AM+BM最小值为3DA到平面BCD的距离是43三、填空题（本大题共4小题，
6、每题5分，共20分）13（5分）已知平面向量a，b，|a|=1，b=（1，1），a（a-b），则|a+2b|的值是 14（5分）如图所示，AC为平面四边形ABCD的对角线，设CD1，sinACD2sinCAD，ABC为等边三角形，则四边形ABCD的面积的最大值为 15（5分）已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆上的两点M（xM，yM），N（xN，yN）分别在第一，第二象限内，若OAN与OBM的面积相等，且xM2+xN2=3b2，则椭圆C的离心率为 16（5分）函数yx为数学家高斯创造的取整函数，x表示不超过x的最大整数，如0.900，lg9
7、91，已知数列an满足a33，且ann（an+1an），若bnlgan，则数列bn的前2023项和为 四解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中E为线段DD1的中点（1）求证：平面A1BD平面ACC1A1；（2）求A1到平面AB1E的距离18（12分）设公差不为零的等差数列an，a310，a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）已知bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Sn，求使得2Snn3-1成立的最小正整数n19（12分）ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a
8、，b，c且a2（1）若B+C=56，b=3c，求ABC内切圆的半径长；（2）已知A2C，sinB2sinC，求ABC的面积20（12分）三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为A类青蟹（1）现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹用表
9、示其中A类青蟹的只数，请写出的分布列，并求的数学期望E（）；（2）另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目N，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有x只，若x5，试给出蟹池中青蟹数目N的估计值（以使P（x5）取得最大值的N为估计值）21（12分）已知函数f（x）xlnx+（2k）x+2k3，kz（1）当k2时，求曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线方程；（2）若x2，总有f（x）0，求k的最大值22（12分）已知抛物线 C：x22py（p0），斜率为1的直线l交C于不同于原点的S，T两点，点M（2，3）为线段ST的中点（1）求抛物线C
10、的方程；（2）直线ykx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P求证：PAB为直角三角形记PAB的面积为S，求S的最小值，并指出S最小时对应的点P的坐标2022-2023学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1（5分）集合A=xN|log12x-1，集合BxZ|x24，则AB（）A2B0，1，2C1，2D【解答】解：A=xN|log12x-1=x|0x2，BxZ|x24xZ|2x22，1，0，1，2，则AB1
11、，2故选：C2（5分）复数z的实部与虚部互为相反数，且满足z+a=1+5i1-i，aR，则复数z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z+a=1+5i1-i=(1+5i)(1+i)(1-i)(1+i)=-2+3i，故z2a+3i，复数z的实部与虚部互为相反数，2a+30，解得a1，故z3+3i，复数z在复平面上对应的点（3，3）位于第二象限故选：B3（5分）函数f(x)=sinxlnx-1x+1的大致图象为（）ABCD【解答】解：f（x）sinxln-x-1-x+1=-sinxlnx+1x-1=sinxlnx-1x+1=f（x），则函数f（x）是偶函数，
12、图象关于y轴对称，排除A，C，f（3）sin3ln120，排除B，故选：D4（5分）(x+ax)(x-2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A40B20C20D40【解答】解：令x1，可得(x+ax)(x-2x)5的展开式中各项系数的和为（1+a）（1）2，解得a1，则展开式即（x+1x）(x-2x)5，而(x-2x)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r（2）rx52r，故（x+1x）(x-2x)5的展开式中常数项为C53（2）3+C52（2）240故选：A5（5分）冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，
13、其正态密度函数f(x)=12e-(x-)222的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且P（|X|）0.6827，P（|X|2）0.9545，P（|X|3）0.9973关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（）A4班的平均分比5班的平均分高B相对于5班，4班学生的数学成绩更分散C4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%D5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等【解答】解：对于A，4班的平均分为98分，5班的平均分为100分，则4班的平均分比5班的平均分低，故A错误，对于B，5班的图象比4班的图象更“矮胖”，则相对于4班，5班学生的数学成绩更分散，故B错误
14、，对于C，4班f(x)=12e-(x-)222的最大值为152，则5，则P（X108）=121-P(|X-|2)=0.022754.55%，故C错误，对于D，5班f(x)=12e-(x-)222的最大值为162，则6，则P（X112）=121-P(|X-|2)=0.02275，两个班的人数相等，5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等故选：D6（5分）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射击5次，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总
15、用时最少者获胜已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两轮射击中没有被罚时，事件B为其在第4轮射击中被罚时2分钟，那么P（A|B）（）A12B14C13D38【解答】解：由题意得P（B）=C31C51C52C203，P（AB）=C51C52C203，P（A|B）=P(AB)P(B)=C51C52C203C31C51C52C203，所以C正确故选：C7（5分）我们知道：yf（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是yf（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：yf（x）的图象关于（a，b）成中心对称图形的充要条
16、件是yf（x+a）b为奇函数若f（x）x33x2的对称中心为（m，n），则f（2023）+f（2021）+f （3）+f（1）+f（3）+f（5）+f（2019）+f（2021）（）A8088B4044C4044D2022【解答】解：根据题意，令g（x）f（x+1）+2，则g（x）（x+1）33（x+1）2+2x33x，所以g（x）x3+3xg（x），则g（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于（1，2）对称，即f（x）+f（2x）4，f（2023）+f（2021）+f （3）+f（1）+f（3）+f（5）+f（2019）+f（2021）f（2023）+f（2021）+f（2021）+f（201
17、9）+f（3）+f（1）1011（4）4044故选：C8（5分）设a=9109，bln1.09，ce0.091，则下列关系正确的是（）AabcBbacCcabDcba【解答】解：令f（x）ex1x，（x0），f（x）ex1，当x0时，f（x）0，f（x）在 （0，+）上单调递增，当x0时，f（x）f（0）0，即ex1x，e0.0910.09，令g（x）ln（1+x）x，（x0），g（x）=-x1+x0，g（x）在（0，+）单调递增，当x0 时，g（x）G（0）0，cln（1+x）x，ln1.03g（0）0，（x0），ln（1+x）x，ln1.090.09，cb，令h（x）ln（1+x）-x1+
18、x，（x0），h（x）=11+x-1(1+x)2=x(1+x)2，当x0时，h（x）0，h（x）在 （0，+）单调递增，当x0时，h（x）h（0）0，即ln（1+x）x1+x，ln1.090.091+0.09=9109，ba， 综上，cba故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且a11，3an+1Sn，则下列命题正确的是（）Aa2=13Ban=(43)n-1CSn=(43)n-1DS5S7S62【解答】解：由a11，3an+1Sn
19、，可得3a2S1a11，a2=13，选项A正确；当n2时，有3anSn1，可得3an+13anSnSn1an，即an+1an=43，又因为a2a1=1343，an=1，n=113(43)n-2，故选项B错误；Sn1+131-(43)n-11-43=(43)n-1，故选项C正确；S5S7=(43)4(43)6=(43)10，S62=（43）52（43）10，即S5S7=S62，故选项D错误故选：AC（多选）10（5分）已知圆 C：（x2）2+（y3）21，点M（4，2），点P在圆C上，O为原点，则下列命题正确的是（）AM在圆上B线段MP长度的最大值为5+1C当直线MP与圆C相切时，|MP|2DM
20、OMP的最大值为5+6【解答】解：（42）2+（23）251，点M（4，2）在圆 C：（x2）2+（y3）21外，故A错误；由圆 C：（x2）2+（y3）21，可得圆心C（2，3），半径r1，|MC|=(4-2)2+(2-3)2=5，线段MP长度的最大值为5+1，故B正确；当直线MP与圆C相切时，|MP|=|MC|2-r2=5-1=2，故C正确；设P（x，y），则MO=（4，2），MP=（x4，y2），MOMP=-4（x4）2（y2）4x2y+20，设z4x2y，直线2xy+z0与圆C有公共点，|8+6+z|16+41，解得|14+z|25，25-14z25-14，MOMP的最大值为25+20
21、1425+6故D错误；故选：BC（多选）11（5分）已知f（x）x3ax+b，a，b为实数，则满足函数f（x）有且仅有一个零点的条件是（）Aa1，b2Ba0，b2Ca3，b1Da3，b3【解答】解：对于选项A：当a1，b2时，f（x）x3+x+2，函数定义域为R，可得f（x）3x2+10在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增，当x时，f（x）；当x+时，f（x）+，且f（x）的图象连续不断，所以f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，则此时f（x）有且只有一个零点，故选项A正确；对于选项B：当a0，b2时，f（x）x3+2，函数定义域为R，可得f（x）3x20在R上恒成立，当且仅当x0时，等号
22、成立，所以函数f（x）在R上单调递增，当x时，f（x）；当x+时，f（x）+，且f（x）的图象连续不断，所以f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，则此时f（x）有且只有一个零点，故选项B正确；对于选项C：当a3，b1时，f（x）x33x1，函数定义域为R，可得f（x）3x233（x1）（x+1），当x1时，f（x）0，f（x）单调递增；当1x1时，f（x）0，f（x）单调递减；当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，所以函数f（x）在x1处取得极大值，极大值f（1）1，在x1处取得极小值，极小值f（1）3，当x时，f（x）；当x+时，f（x）+，且f（x）的图象连续不断，所以f（x）的图象与x
23、轴有两个交点，则函数f（x）有且仅有两个零点，故选项C错误；对于选项D：当a3，b3时，f（x）x33x+3，函数定义域为R，可得f（x）3x233（x1）（x+1），当x1时，f（x）0，f（x）单调递增；当1x1时，f（x）0，f（x）单调递减；当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，所以函数f（x）在x1处取得极大值，极大值f（1）5，在x1处取得极小值，极小值f（1）1，当x时，f（x）；当x+时，f（x）+，且f（x）的图象连续不断，所以f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，则此时f（x）有且只有一个零点，故选项D正确故选：ABD（多选）12（5分）已知三棱锥ABCD，BCAD=2，
24、其余棱长均为5，则下列命题正确的是（）A该几何体外接球的表面积为6B直线AB和CD所成的角的余弦值是45C若点M在线段CD上，则AM+BM最小值为3DA到平面BCD的距离是43【解答】解：对于A，如图，三棱锥ABCD放入长方体ANCHEDFB中，三棱锥ABCD各棱长为其面的对角线，由题意可得AH2+AN2=AC2=5AE2+AN2=AD2=2AH2+AE2=AB2=5，解得AH=2AE=AN=1，所以长方体ANCHEDFB的对角线长为AH2+AN2+AE2=6，因为三棱锥ABCD与长方体ANCHEDFB有相同的外接球，长方体ANCHEDFB的对角线长为外接球的直径，所以外接球的表面积为4r24
25、64=6，故A正确；对于B，如图，连接NF，交CD与O点，因为ABNF，所以COF（或其补角）为直线AB和CD所成的角，因为CD=5，AB=5，AECF1，在COF中，由余弦定理可得cosCOF=CO2+FO2-CF22COFO=54+54-125252=35，故B错误；对于C，以CD为轴旋转ACD至ACD与BCD在同一个平面内，因为BCAD，BDCA，所以四边形BCAD为平行四边形，连接BA交CD于M，即M为CD中点时，AM+BM最小，在BCD中，由余弦定理得cosBCD=BC2+CD2-BD22BCCD=2+5-5225=1010，在BCM中，由余弦定理得BM2BC2+CM22BCCMco
26、sBCD=54+222521010=94，所以AM+BM的最小值为322=3，故C正确；对于D，由A选项可知，长方体ANCHEDFB的体积为2112，VHACBVFBCDVNACDVEABD=13122=13，所以VABCD2-43=23，由C选项cosBCD=1010，可得sinBCD=31010，所以SBCD=12BCCDsinBCD=122531010=32，所以A到平面BCD的距离为231332=43，故D正确故选：ACD三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13（5分）已知平面向量a，b，|a|=1，b=（1，1），a（a-b），则|a+2b|的值是 13【解答】解：a（a
27、-b），a（a-b）0，a2-ab=0，ab=1，b=（1，1），b2=2，|a+2b|=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=13故答案为：1314（5分）如图所示，AC为平面四边形ABCD的对角线，设CD1，sinACD2sinCAD，ABC为等边三角形，则四边形ABCD的面积的最大值为 543+2【解答】解：在ACD中，由正弦定理得：ADsinACD=CDsinCAD，AD=CDsinACDsinCAD=2CD2，由余弦定理得：AC2AD2+CD22ADCDcosD54cosD，四边形ABCD的面积SSABC+SACD=34AC2+12ADCDsinD=34(5-4cosD)+sinD=
28、534+sinD-3cosD =534+2sin(D-3)，D（0，），D-3(-3，23)，当D-3=2时，S有最大值534+2故答案为：534+215（5分）已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆上的两点M（xM，yM），N（xN，yN）分别在第一，第二象限内，若OAN与OBM的面积相等，且xM2+xN2=3b2，则椭圆C的离心率为 63【解答】解：由OAN与OBM的面积相等可得：12ayN=12bxM，xM2a2=yN2b2，又xM2+xN2=3b2，3b2-xN2a2=yN2b2，3b2a2=xN2a2+yN2b2=1，b2a2=13
29、，a23b23（a2c2），e=ca=63故答案为：6316（5分）函数yx为数学家高斯创造的取整函数，x表示不超过x的最大整数，如0.900，lg991，已知数列an满足a33，且ann（an+1an），若bnlgan，则数列bn的前2023项和为 4962【解答】解：ann（an+1an），（1+n）annan+1，即an+1n+1=ann，ann为常数数列，ann=a33=1，ann，记bn的前n项和为Tn，当1n9时，0lgan1时，bnlgan0；当10n99时，1lgan2时，bn1；当100n999时，2lgan3时，bn2；当1000n2023时，3lgan4时，bn3；T20
30、23lga1+lga2+lga2023901+9002+102434962故答案为：4962四解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中E为线段DD1的中点（1）求证：平面A1BD平面ACC1A1；（2）求A1到平面AB1E的距离【解答】（1）证明：ABCDA1B1C1D1是正方体，AA1平面ABCD，AA1BD又BDAC，AA1AC，BD平面ACC1A1，BD平面A1BD，平面A1BD平面ACC1A1，（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），
31、B1（1，0，1），E（1，1，12），A1（0，0，1），AB1=（1，0，1），AE=（1，1，12），AA1=（0，0，1），设平面AB1E的一个法向量为n=（x，y，z），nAB1=x+z=0nAE=x+y+12z=0，令z2，则x2，y1，平面AB1E的一个法向量为n=（2，1，2），设求A1到平面AB1E的距离为d，则d=|AA1n|n|=222+12+22=23，即点A1到平面AB1E的距离为2318（12分）设公差不为零的等差数列an，a310，a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）已知bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Sn，求使得2Snn3-1成
32、立的最小正整数n【解答】解：（1）设等差数列公差为d，得a3=-10a22=a1a5，a1+2d=-10d=2a1，a1=-2d=-4，an4n+2；（2）bn=1anan+1=1(-4n+2)(-4n-2)=1(4n-2)(4n+2)=14(14n-2-14n+2)，Sn=14(12-16+16-110+14n-2-14n+2)=14(12-14n+2)=n8n+4，2Snn3-14n2-13n-60n13+2658，由13+2658(3，4) 且 nN*，得最小正整数为419（12分）ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a2（1）若B+C=56，b=3c，求ABC内切圆的
33、半径长；（2）已知A2C，sinB2sinC，求ABC的面积【解答】解：（1）因为B+C=56，b=3c，由正弦定理可得bsinB=csinC，即bc=sinBsin(56-B)，可得3sin（56B）sinB，整理可得tanB=-3，而B（0，），可得B=23，C=6，A=6，由正弦定理可得asinA=bsinB，a2，所以b=21232=23，c2，设ABC的内切圆的半径r，所以SABC=12bcsinA=12（a+b+c）r，即23212=（2+2+23）r，解得r23-3，所以ABC内切圆的半径长23-3；（2）因为A2C，sinB2sinC，可得sin（A+C）2sinC，即sin3
34、C2sinC，可得2sinCcos2C+cos2CsinC2sinC，因为sinC0，可得2cos2C+2cos2C12解得cosC32，可得C=6或C=56，因为A2C，所以A=3，C=6，B=2，由正弦可得asinA=csinC，即232=c12，解得c=233，所以SABC=12ac=122233=23320（12分）三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙
35、、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为A类青蟹（1）现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹用表示其中A类青蟹的只数，请写出的分布列，并求的数学期望E（）；（2）另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目N，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有x只，若x5，试给出蟹池中青蟹数目N的估计值（以使P（x5）取得最大值的N为估计值）【解答】解：（1）由题意可知，的取值为0，1，2，P(=0)=C432C502=129175，P(=1)=C71C431
36、C502=43175，P(=2)=C72C502=3175， 故的分布列为：012P129195 43175 3175 E()=143175+23175=725；（2）设f（N）P（x5）=C505CN-5015CN20，f(N+1)f(N)=(N-49)(N-19)(N-64)(N+1)=N2-68N+931N2-63N-64，（N268N+931）（N263N64）5N+995，所以N199时，f（N+1）f（N），N199时，f（N+1）f（N），N199时，f（N+1）f（N），所以当N199或200时，P（x5）最大，估计蟹池中青蟹数目为199或200只21（12分）已知函数f（x）
37、xlnx+（2k）x+2k3，kz（1）当k2时，求曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线方程；（2）若x2，总有f（x）0，求k的最大值【解答】解：（1）已知函数f（x）xlnx+（2k）x+2k3，kZ，当k2时，f（x）xlnx+1，函数定义域为（0，+），可得f（x）lnx+1，所以f（e）2，又f（e）e+1，则曲线f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为y（e+1）2（xe），即y2xe+1；（2）若x2，总有f（x）0，即当x2时，xlnx+（2k）x+2k30恒成立，此时kxlnx+2x-3x-2对于x2恒成立，不妨设g(x)=xlnx+2x-3x-2，函数定义域为（2，+），
38、可得g(x)=-2lnx+x-3(x-2)2，不妨设t（x）2lnx+x3，函数定义域为（2，+），可得t(x)=1-2x=x-2x0，所以t（x）单调递增，因为t（6）0，t（7）0，所以存在x0（6，7）使得t（x0）0，即2lnx0x03，当2xx0时，g（x）0，g（x）单调递减；当xx0时，g（x）0，g（x）单调递增，所以g（x）ming（x0）=x0lnx0+2x0-3x0-2=x02+x0-62x0-4=12x02+x0-6x0-2=12（x03）（92，5），又kZ，故k的最大值为422（12分）已知抛物线 C：x22py（p0），斜率为1的直线l交C于不同于原点的S，T两点
39、，点M（2，3）为线段ST的中点（1）求抛物线C的方程；（2）直线ykx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P求证：PAB为直角三角形记PAB的面积为S，求S的最小值，并指出S最小时对应的点P的坐标【解答】解：（1）设直线l的方程为yx+t，代入抛物线C：x22py（p0），可得x22px2pt0，设S（x1，y1），T（x2，y2），则x1+x22p，点M（2，3）为线段PT的中点，可得2p4，即p2，则抛物线的方程为x24y；（2）设A(x1，x124)，B(x2，x224)，由x24y，可得y=14x2，则y=12x，所以A，B两
40、点处的切线斜率分别为k1=12x1，k2=12x2，由y=kx+1x2=4y，得x4kx40，所以x1+x24k，x1x24，所以k1k2=14x1x2=-1，所以PAPB，即PAB为直角三角形，由（1）知lPA：y=12x1x2-14x12，即：y=12x1x2-y1，同理lPB：y=12x2x-y2，由直线PA，PB都过点P（x0，y0），即y0=12x0x1-y1y0=12x0x2-y2，则点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标都满足方程12x0x-y=y0，即直线AB的方程为：12x0x-y=y0，又由直线AB过点F（0，1），y01，联立12x0x-y=-1x2=4y，得x22x0x40，所以|AB|=1+x024|x1-x2|=1+x024(x1+x2)2-4x1x2=1+x024(2x0)2+16，点P（x0，1）到直线AB的距离d=|12x02+2|1+x024，所以SAPB=12|AB|d=121+x024(2x0)2+16|12x02+2|1+x024=12(x02+4)3，所以SAPB1243=4，当且仅当x00时，SAPB有最小值4，此时P（0，1）第21页（共21页）
