1、湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高二下期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.设全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2.复数对应的点位于直线上，则的值为（ ）A.4B.C.2D.3.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.下列说法正确的是（ ）A.数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的80百分位数为7B.样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强C.随机变量，则方差D.随机变量，则当变化时，为定值5.已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.与的夹角为D.6.气候变暖、干旱给蝗灾
2、的发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用函数来拟合（其中，为常数），设，得到一组数据如下表：202325273022.4334.6由上表可得线性回归方程：，则（ ）A.B.C.3D.7.若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.已知，其中为自然对数的底数，则（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在三棱锥中，已知平面，根据下列各组中测得的数据，能计算出长度的是（
3、 ）A.，B.，C.，D.，10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则（ ）A.B.C.D.当时，取到最大值11.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法中就有论述.在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是“肩上”两个数之和，例如第4行的6为第3行中的两个3的和.下列命题中正确的是（ ）A.B.第2022行中，第1011个数最大C.记“杨辉三角”第行第个数为，则D.第34行中，第15个数与第16个数的比为12.已知抛物线：的焦点为，动直线与曲线交于，两点，下列说法正确的是（ ）A.抛物线的准线方程为
4、B.若点为，则周长的最小值为11C.若点为，则的最小值为D.设为坐标原点，作于点，则点到的准线的距离的最大值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知，则_.14.将3名男同学和2名女同学全部分配到，4个岗位参加志愿者工作，每个岗位至少有一人参加工作，则男同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为_.（用数字作答）15.设等比数列满足，则的最大值为_.16.8支手枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的手枪射击时，中靶的概率是0.8，用未校准的手枪射击的，中靶的概率是0.3，该射手从这8支手枪中任选一支进行射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为_.（结果用
5、分数表示）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知的内角，所对的边分别为，且满足.（1）求的值；（2）若的面积，求的值.18.（12分）设数列的前项和为，已知，.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，求数列的前项和.19.（12分）如图，在四棱锥中，底面，直线与平面所成的角为.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20.（12分）甲、乙两人进行猜灯谜游戏，每次猜同一个灯谜，若一人猜对另一人猜错，则猜对的人得1分，猜错的人得分，若两人都猜对或都猜错，则为平局，两人均记0分，已知游戏中，每次甲猜对的概率都为，每次乙猜对的概率都为，且甲、乙猜对
6、与否互不影响，每次猜灯谜的结果也互不影响.（1）求在1次游戏中，甲的得分的分布列和期望；（2）求在3次游戏中至少有一局为乙赢的条件下甲得分之和为正的概率.21.（12分）已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2.（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线与双曲线交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及这个常数；若不存在，请说明理由.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）函数有两个不同的极值点，证明：.参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 6、B 7、C 8、A二、多项选择题：本题共4小题，
7、每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9、ABD 10、ACD 11、ACD 12、BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、14、21615、6416、四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【解】（1）因为，由正弦定理得.因为，所以，5分（2）由余弦定理得，所以化简得：，所以10分18.【解】（1）证明：由，.得-得，即所以所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列6分（2）【方法一】分组求和由（1）可知，所以数列的前项和为设数列的前项和为两式相减得，所以
8、所以12分【方法二】直接用错位相减法【方法三】裂项相消法所以19.【解】（1）证明：作于点，于点则，所以，利用余弦定理可求得所以，所以，且底面所以，所以平面所以6分（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图坐标系因为平面，所以与平面所成的角就是所以，为等腰直角三角形，所以8分，设平面的法向量，则解得，平面的法向量10分即：二面角的余弦值为12分20.【解】（1）易知，可能的取值为1，0，3分的分面列如下表：106分（2）设事件：至少有一局为乙赢，事件：甲的得分之和为正某一局为乙赢的概率，则8分甲的得分之和要为正，包括以下几种情况：甲三局都赢；甲赢两局平一局；甲赢两局输一局；甲赢一局平两局要使
9、事件，同时发生，就是情况，所以10分所以12分21.【解】（1）渐近线的斜率为2，所以，一条渐近线方程可写成焦点到渐近线的距离，所以所以双曲线的方程为3分（2）设，直线的方程为联立方程得，6分设点为，则，代入上式得：10分要使上式为定值，应满足，即，此常数为综上：存在定点，使得为常数.12分22.【解】（1）（i）当时，则在为增函数（ii）当时，令得当时，当时，所以在为减函数，在为增函数综上：当时，在为增函数当时，在为减函数，在为增函数4分（2），则，要证，只要证，即证6分，所以所以只要证，只要证8分设，则只要证，所以只要证设，则，所以为减函数，所以，所以为增函数所以，所以成立，所以原式得证.12分【注】对不等式的证明也可设函数来证明
