1、浙江省杭州市2022学年高二下期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1直线的一个方向向量是（ ）ABCD2若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）ABCD3“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（ ）ABCD4“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）A充分不必要条件B必
2、要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者。甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目。若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ）A6种B12种C18种D24种6，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程决定系数小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数根据统计学知识，下列方程中，最有
3、可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）ABCD7设，是半径为1的球的球面上的四个点设，则不可能等于（ ）A3BC4D8设椭圆的左右焦点分别为，是椭圆上不与顶点重合的一点，记是的内心直线交轴于点，且，则椭圆的离心率为（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9若函数导函数的部分图象如图所示，则（ ）A是的一个极大值点B是的一个极小值点C是的一个极大值点D是的一个极小值点10抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1，2，3，4，5，6），抛掷两次设事件：“两次向上的点数之和大于7”，事件：“两
4、次向上的点数之积大于20”，事件：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A事件与事件互斥BCD事件与事件相互独立11设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，则下列说法中正确的是（ ）A双曲线离心率的最小值为4B离心率最小时双曲线的渐近线方程为C若直线同时与两条渐近线交于点，则D若，点处的切线与两条渐近线交于点，则为定值12已知曲线，及直线，下列说法中正确的是（ ）A曲线在处的切线与曲线在处的切线平行B若直线与曲线仅有一个公共点，则C曲线与有且仅有一个公共点D若直线与曲线交于点，与曲线交于点，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中的系数为_14曲率是衡量曲线弯曲程度的重要
5、指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为_15已知数列满足，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为_16设函数，则使得成立的的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分10分）如图，在四面体中，（1）求证：，四点共面（2）若，设是和的交点，是空间任意一点，用，表示18（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，2为公比的等比数列，求数列的前项和19（本题满分12分）如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，（1）证明：平面平面（2）求平面
6、与平面的夹角的正弦值20（本题满分12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？
7、（精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁20100偏好其他60合计60（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上David坐地铁的概率为，易知，试证明为等比数列；设第次David选择共享单车的概率为，比较与的大小附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82821（本题满分12分）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，（1）求抛物线的标准方程（2）已知点，直线，分别与抛
8、物线交于点，求证：直线过定点；求与面积之和的最小值22（本题满分12分）设函数，若曲线在处的切线方程为（1）求实数，的值（2）证明：函数有两个零点（3）记是函数的导数，为的两个零点，证明：参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 12345678ACBBCCAB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9AB 10AC 11BCD 12ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13 140 1563 16四、解答题17（1）因为，所以，因此，四点共面（2）由
9、（1）知，因此，则，所以，18（1）设差数列的公差为，则由，可得解得因此（2）由，得，又由是以为首项，2为公比的等比数列，得，因此，所以19（1）证明：取中点，连接，则，为等边三角形，平面，平面，平面，平面平面（2）方法一：如图，以，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，平面的的法向量，平面的的法向量，故平面与平面的夹角的正弦值为方法二：由题可知平面与平面的夹角二面角的正弦值与平面与平面的夹角相等平面，过作于点，连接，即为平面与平面的夹角的平面角，故平面与平面的夹角的正弦值为20（1）出行方式国际大都市中小型城市合计首选地铁8020100首选其他6040100合计14060200零假设为：
10、城市规模与出行偏好地铁无关经计算，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010（2）证明：第段行程上David坐地铁的概率为，则当时，第段行程上David坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为则，从而，又，所以是首项为，公比为的等比数列解：由可知，则，又，故21（1）由题意，当直线垂直于轴时，代入抛物线方程得，则，所以，抛物线（2）（i）设，直线，与抛物线联立，得：，因此，设直线，与抛物线联立，得：，因此，则同理可得：所以，因此直线，由对称性知，定点在轴上，令得所以直线过定点（ii）因为，所以当且仅当时取到最小值22（1），由题意知，解得（2）即，函数有两个零点即函数有两个零点，当时，单调递减；当时，单调递增又，故使得，使得，命题得证（3）由（1）（2）知 且要证明，即证明，即证明令，则，因此单调递减，则因此，即，即，又，且在上单调递增，因此，即命题得证
