1、2022年四川省成都市锦江区八年级下期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，共32分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么4的度数为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在中，于点D，则AD的长为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 135. 已知关于x方程的解为，则k的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 66. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利根据图中信息判断该公司在赢利时的销
2、售量为（ ）A. 小于4件B. 大于4件C. 等于4件D. 不小于4件7. 如图，在中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在的方格纸中，小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，在图中格点上找一点C，使得的面积为，满足条件的点C有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本题共10小题，共40分）9 计算：_10. 使分式值为0，这时x=_11. 如图，在中，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，若长为，则长为_12. 如图，将周长为沿射线方向平移后得到，则四边形的周长为_13.
3、 如图，在中，按以下步骤作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在BAC内交于点O；作射线AO，交BC于点D若点D到AB的距离为，则BC的长为_14. 已知，则的值为_15. 如图，在中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OEAC交AD于点E，连接EC若的周长为5，则的周长为_16. 已知，（，且n为正整数）若，则a的值为_17. 如图，将的方格纸放置在平面直角坐标系xOy中，使得格点A的坐标为，格点B的坐标为已知点，若顺次连接A，B得到的折线段恰好平分该方格纸的面积，则m，n应满足的数量关系为_18. 已知直线与直线，
4、若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，中是y轴关于x轴的“90顺合点”的是_；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，位于直线右侧的一点P是关于的“60顺合点”，连接PC，PD点B在上，连接BP，若且，则_三、解答题（本题共8小题，共78分）19 （1）解不等式组：；（2）化简：20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，（1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；（2）将绕点O旋转180，画出旋转后的；（3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为_21. 在一次数学综合与实践活
5、动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片是边长为a的正方形；卡片是长为b，宽为a的长方形；卡片是边长为b的正方形（1）卡片，卡片，卡片的面积之和为_；（2）小明制作了2张卡片，3张卡片，1张卡片，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为_；（3）小刚将自己制作的2张卡片和1张卡片送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长22. 如图，在中，点D，E分别在BC，AB边上，AE=AC，ADCE，连接DE（1）求证：DEC=DCE；（2）若AC=BC，BE=CE求B的度数；试探究AB-AC与BC-DE的数
6、量关系，并说明理由23. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点（1）求证：四边形为平行四边形；（2）如图，连接，若，求的面积；（3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，恰好有，垂足为若，求的长24. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件用
7、含a的式子表示b；经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A，交y轴于点B以AB为边作，点D在x轴正半轴，且（1）求点C，D的坐标；（2）点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围26. 已知为等边三角形，其边长为点是边上一动点
8、，连接（1）如图，点在边上且，连接交于点求证：；求的度数；（2）如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接交于点设，求与的函数关系式；（3）如图，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，在点运动过程中，当的周长为时，求的长2022年四川省成都市锦江区八年级下期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，共32分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是
9、中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义2. 下列因式分解正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的方法依次分析各项即可【详解】解：A. ，故本选项错误； B. ，故本选项错误；C. ，故本选项错误； D. ，故本选项正确故选：D【点睛】本题考查提公因式法和公式法分解因式，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止3. 如图，已知，那么4的度数为（ ）A. B. C. D. 【答
10、案】B【解析】【分析】根据四边形的外角和等于360即可求解【详解】解：，4=120故选B【点睛】本题考查了多边形的外角和公式，熟练掌握多边形是外角和公式是解题的关键4. 如图，在中，于点D，则AD的长为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形底边上的垂线是中线，计算出BD，再根据勾股定理计算出AD【详解】解：在中，,点D是BC的中点,在中, ,故选：C【点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的相关知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键5. 已知关于x的方程的解为，则k的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】先化简方程，在解
11、方程，得到含参数解，再利用求出的值【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查一元一次方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键6. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ）A. 小于4件B. 大于4件C. 等于4件D. 不小于4件【答案】B【解析】【分析】根据图像即可求解【详解】解：由图可知，当销售收入大于销售成本时，即的图像在的上方，则的部分的图像在的上方，故选：B【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，审清题意，理解函数图像的信息是解题的关键7.
12、 如图，在中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质与判定证明逐项分析判断即可求解【详解】解：四边形是平行四边形，；，又，四边形是平行四边形故A正确；四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形故B正确四边形是平行四边形，四边形是平行四边形故D正确C选项中由，不能得出，故C不能判断四边形是平行四边形故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键8. 如图，在的方格纸中，小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，
13、在图中格点上找一点C，使得的面积为，满足条件的点C有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】D【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后利用三角形面积求出底AB边上的高h，最后利用作平行线与格点的交点即可得出结论【详解】解：AB的长为，当ABC的面积为时，AB边上的高为：，过点平行AB的格点都合适，如图所示：符合条件格点有5个，故D正确故选：D【点睛】本题考查格点作图，平行线的性质，三角形面积，掌握平行线的性质平行线间的距离处处相等，利用三角形面积求出平行线间的距离是解题关键二、填空题（本题共10小题，共40分）9 计算：_【答案】4043【解析】【分析】利用平方差公式进行
14、简便运算即可【详解】解：=4043故答案为：4043【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序10. 使分式的值为0，这时x=_【答案】1【解析】【详解】由题意得0，所以x2-1=0且x+10，解之得x=1，故答案为：111. 如图，在中，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，若长为，则长为_【答案】【解析】【分析】先根据三角形中位线定理求出，再根据三角形中位线定理求出【详解】解：点，分别是，的中点，是的中位线，同理，故答案为：【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键12. 如图，将周长为的沿射线方向平移后得到，则四边形的周长为_【
15、答案】【解析】【分析】根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案【详解】解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到，；又，四边形的周长故答案为：【点睛】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等得到，是解题的关键13. 如图，在中，按以下步骤作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在BAC内交于点O；作射线AO，交BC于点D若点D到AB的距离为，则BC的长为_【答案】#【解析】【分析】过点D 作DHAB于H，根据点D到AB的距离为，由作图可知
16、AD为CAB的平分线，得到CD=DH= ，在RtDHB中，设BH=x,则BD=2x，由勾股定理可知， 列方程求出x的值，所以BD=2BH=2根据BC=CD+BD即可求解；【详解】过点D 作DHAB于H，则DHB=90，C=90，B=60，HDB=30，点D到AB的距离为，即DH=，由作图可知AD为CAB的平分线，CD=DH=，在RtDHB中，DB=2HB，设BH=x，则BD=2x，由勾股定理可知，解得：x=1，所以BD=2BH=2，BC=CD+BD=2+，故答案：2+.【点睛】本题考查了作图-基本作图，作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线，也考查了角平分线的性质，直角三角形30所对的边的
17、性质，勾股定理解直角三角形，熟悉以上性质是解题的关键14. 已知，则的值为_【答案】9【解析】【分析】将先因式分解，后整体代入即可【详解】解：，故答案为：9【点睛】本题考查因式分解的应用、求代数式的值，用整体代入求解是解题的关键15. 如图，在中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OEAC交AD于点E，连接EC若的周长为5，则的周长为_【答案】10【解析】【分析】由平行四边形对角线互相平分和OEAC可知OE为AC边的垂直平分线，推出，可知的周长等于，由此可解【详解】解：在中，对角线AC，BD交于点O，又OEAC，OE为AC边的垂直平分线，的周长，的周长，故答案为：10【点睛】本题考查平行四边形
18、的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出OE为AC边的垂直平分线是解题的关键16. 已知，（，且n为正整数）若，则a的值为_【答案】13【解析】【分析】分别用a表示出再根据列出方程，求出a的值并检验即可【详解】解：，；， 解得，经检验，是方程的解，故答案为：13【点睛】本题主要考查了分式的运算以及解分式方程，用a表示出是解答本题的关键17. 如图，将的方格纸放置在平面直角坐标系xOy中，使得格点A的坐标为，格点B的坐标为已知点，若顺次连接A，B得到的折线段恰好平分该方格纸的面积，则m，n应满足的数量关系为_【答案】【解析】【分析】连接与 ，且与相交于，根据条件可知与、 与、与关于点对称，即
19、可得到答案【详解】如图，连接与 ，且与相交于，要使连接A，B得到的折线段恰好平分该方格纸的面积，则 与、 与、与关于点对称， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查点的坐标，理解题意是解决问题的关键18. 已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，中是y轴关于x轴的“90顺合点”的是_；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，位于直线右侧的一点P是关于的“60顺合点”，连接PC，PD点B在上，连接BP，若且，则_【答案】 . . #【解析】【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转得到x轴，
20、判断符合要求的点即可；由可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点处，得到、都为等边三角形，得到，进而得到结论【详解】：根据定义，绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”，将y轴绕点顺时针旋转90得到x轴，故y轴关于x轴的“90顺合点”为点，点B绕点P旋转后落在点C上，则BP=PC，又，点P在CD的垂直平分线上，又点A在上，则点A的对应点在上，、都为等边三角形，设，则，故答案为：；【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“顺合点”是解题关键三、解答题（本题共8小题，共78分）19. （1）解不
21、等式组：；（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分别解一元一次不等式，再求交集即可；（2）先将括号内式子通分，再将分式除法转换为分式乘法，最后约分化简【详解】（1）解：由得：，解得：，由得：，解得：，原不等式组的解集为：（2）解：原式【点睛】本题考查解一元一次不等式组及分式的约分化简，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤、分式的运算法则并正确计算是解题的关键20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点分别是，（1）平移，使得点A的对应点的坐标为，画出平移后的；（2）将绕点O旋转180，画出旋转后的；（3）若与关于点P成中心对称，则点P坐标为_【答案】（1）见解析 （2）
22、见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据A1坐标可知将向右平移6个单位，再上上平移2个单位即可得到；（2）根据旋转的性质画出旋转后对应的即可；（3）先根据图形得出A1和A2的坐标，再根据对称中心的性质即可求出对称中心P的坐标【小问1详解】如图所示：即为所求，【小问2详解】如图所示：即为所求，【小问3详解】已知A1的坐标(1,3)，根据图形可知A2的坐标为：(5,-1)，则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：，点P的坐标故答案是：（3，1）【点睛】本题考查了图形的平移和旋转以及求图形对称中心坐标的知识，掌握中心对称图形的性质是解答本题的关键21. 在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示
23、的三种卡片，其中卡片是边长为a的正方形；卡片是长为b，宽为a的长方形；卡片是边长为b的正方形（1）卡片，卡片，卡片的面积之和为_；（2）小明制作了2张卡片，3张卡片，1张卡片，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为_；（3）小刚将自己制作的2张卡片和1张卡片送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长【答案】（1） （2） （3）6【解析】【分析】（1）将三个卡片的面积相加即可；（2）把所有卡片的面积相加，再利用长方形面积公式求出所拼长方形面积即可求解；（3）把（2）中的卡片与小刚给的两张卡片的面积加起来，再
24、代入a，b的值即可求解【小问1详解】解：卡片的面积=，卡片的面积=，卡片的面积=， 卡片，卡片，卡片的面积和为，故答案为：【小问2详解】解：所有卡片的面积和为：，根据长方形面积公式求出所拼长方形面积为：，故答案为：【小问3详解】解：正方形M的面积为当，时，正方形M的面积为，正方形M的边长为6【点睛】本题主要考查：利用面积相等建立等量关系，关键是能够分割图形，了解各个部分组成，便可表示各个类型的数量善用整体代入法，表示出相应部分面积，利用整体代入法求解22. 如图，中，点D，E分别在BC，AB边上，AE=AC，ADCE，连接DE（1）求证：DEC=DCE；（2）若AC=BC，BE=CE求B的度数
25、；试探究AB-AC与BC-DE的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析 （2）26；，理由见解析【解析】【分析】（1）根据，可以得出DE=DC，从而证得DEC=DCE；（2）设，分别找出在中各个角与的关系，再利用三角形内角和等于180建立方程，解方程即可求得的值；先根据得到，再证明，从而得到，即可推算出【小问1详解】证明：，EF=CF，DE=DC，DEC=DCE；【小问2详解】解：如下图所示，设AD、EC交于点F，AB=AC，ADCE，设，AC=BC，又BE=CE，在中，答：由：在外，在中，【点睛】本题考查三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形、等腰三角形的相关知识23. 如图
26、，在中，的平分线交于点，的平分线交于点（1）求证：四边形为平行四边形；（2）如图，连接，若，求的面积；（3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，恰好有，垂足为若，求的长【答案】（1）见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图，过点A作于点，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案；（3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得
27、出，再利用等腰三角形性质可得出答案【小问1详解】证明：四边形是平行四边形， ，平分，同理可得：， ，即，四边形为平行四边形；【小问2详解】如图，过点作于点，则，四边形是矩形，由（1）得：，设，则，在中，解得：，的面积为；【小问3详解】如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，由（1）知， 四边形是平行四边形，由（1）知，四边形是菱形，又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，由（1）知四边形为平行四边形，又，、是等腰直角三角形，垂直平分，即，又，即是等腰直角三角形，由勾股定理得，是等腰直角三角形，又，又是等腰直角三角形，故BE的长为【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质
28、，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键24. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件用含a的式子表示b；经过市场调研，小
29、明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润【答案】（1）普通帐篷为150元/件，防晒帐篷为300元/件 （2）；小明采购防晒帐篷16件，普通帐篷18件，此时获得最大利润为1820元【解析】【分析】（1）设普通帐篷为x元/件，则防晒帐篷为2x元/件，根据4500元购买的防晒帐篷-5件=用1500元购买的普通帐篷数，列出方程，解方程即可；（2）根据防晒帐篷采购a件+普通帐篷采购b件=7500元，列出关于a、b的关系式即可；设利润为w
30、元，根据利润=售价-进价，用a表示出w，并根据不等关系列出关于a的不等式，求出a的取值范围，根据一次函数的性质，结合a的取值范围，求出结果即可【小问1详解】解：设普通帐篷为x元/件，则防晒帐篷为2x元/件，由题知：，解得：，经检验：时方程左边=右边，原分式方程的解为，防晒帐篷（元/件），答：普通帐篷为150元/件，防晒帐篷为300元/件【小问2详解】，；设利润为w元，w随a的增大而增大，又a为整数，时，最大利润（元），方案为：防晒帐篷16件，普通帐篷18件答：小明采购防晒帐篷16件，普通帐篷18件，此时获得最大利润为1820元【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意找出等
31、量关系，列出方程，是解题的关键，注意分式方程的解要进行检验25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A，交y轴于点B以AB为边作，点D在x轴正半轴，且（1）求点C，D的坐标；（2）点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围【答案】（1）， （2）， （3）【解析】【分析】（1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点B，先求出点A和点B的坐标，再结合求出，得到点D的坐标，最后利用平行四边形的性质求出点C的坐标；（2）根据，求出直线CD的解析式，设，分两种情况：
32、点P在x轴正半轴和x轴负半轴来求解；（3）先将两条直线组成方程组得到，分两种情况进行求解【小问1详解】解：直线交x轴于点A，交y轴于点B，令，则，令，则，又，在中，；【小问2详解】解：，设直线CD的解析式为，则，解得，设，情况一：如图所示：，；情况二：如图所示：，；【小问3详解】解：由直线与直线得，当时，方程组无解，两直线平行，此时总有，当时， ，直线经过，当时，对于x的每一个值，都有，即是，若时，即，则，；若，则，【点睛】本题考查了一次函数综合知识，涉及待定系数法、一次函数与一次不等式的关系，等腰直角三形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键26. 已知为等边三角形，其边长为点是边上一动点
33、，连接（1）如图，点在边上且，连接交于点求证：；求的度数；（2）如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接交于点设，求与的函数关系式；（3）如图，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，在点运动过程中，当的周长为时，求的长【答案】（1）见解析； （2） （3）或【解析】【分析】（1）根据证明三角形全等即可；利用全等三角形的性质求解即可；（2）如图，在上截取，连接，证明四边形是平行四边形，推出，可得结论；（3）如图，延长至，使，连接，证明，推出，由的周长为，推出，推出，过点作，则，推出，根据勾股定理得，构建方程求出，即可解决问题【小问1详解】证明：是等边三角形，；解：由知，；【小问2详解】如图，在上截取，连接， 同（1）的方法知，由旋转知，由（1）知，四边形是平行四边形，等边的边长为，即；【小问3详解】如图，延长至，使，连接 为等边三角形，是等边三角形，的周长为，过点作，则，根据勾股定理得，解得或，当时，过点作于点，则，当时，【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题
