1、22.5 菱 形 第1课时 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形矩形；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形菱形.两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 菱形 1 知识点 菱形及其对称性 1.在平行四边形中，如果内角大小保持丌变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？平行四边形 邻边相等 菱形 如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行 四边形成为怎样的四边形？归 纳 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、AB=BC 平行四边形ABCD 四边形ABCD是菱形 1.如图，将一个菱形纸片ABCD 按图示方法折叠后，再展开：(1)说明两条折痕的交点O 恰为菱形的中心.(2)菱形ABCD 是轴对称图形吗？如果它是轴对称图形，那么它有几条对称轴，都是那些直线？归 纳 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形.例1 已知：如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交AB于点D，DEAC 交BC 于点E，DFBC 交AC 于点F.四边形DECF 是菱形吗？为什么？因为DEFC，DFEC，所 以四边形DECF 为平行四边 形，再根据有一组邻边相等 的平行四边形是菱形求证即可 导引：四边形DECF 是菱形理由如下：DEF
3、C，DFEC，四边形DECF 为平行四边形 由ACDE，知23.CD 平分ACB，12，13，DEEC，平行四边形DECF 为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形)解：总 结 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法 如图，若要使ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是()AABCD BADAC CABBC DACBD 1 C 2 如图，在ABC 中，ABAC，D 是BC上一点，DEAC 交AB 于点E，DFAB 交AC 于点F，要使四边形AEDF 是菱形，只需添加的条件是()AADBC BBADCAD CBDDC DADBD B 3 菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为()A
4、2条 B4条 C6条 D8条 A 2 知识点 菱形边的性质 菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形还 具有哪些特殊性质呢？观察图所示，根据菱形的轴对 称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系？归 纳 菱形的四条边都相等.例2 如图所示，菱形ABCD 中，B60，AB2，E、F 分别是BC、CD 的中点，连接AE、EF、AF，则AEF 的周长为()A B C D3 在菱形ABCD 中，因为B60，连接AC，则 ABC 是等边三角形，又因为E 分别是BC 的中点，所以AE 垂直于BC，因此AE ，所以 AEF 的周长为 ，故选B.分析：B 2 33 34 3FADEBC22133 3总 结 在菱形
5、中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.1 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC=45，OC=求点B 的坐标.过点B 作BDOA，垂足为D.由题意可知BADAOC45，ABOAOC ，所以ADBD1.所以B 点的坐标为(1，1)222解：连接BD，AB2 cm，E 为AB 的中点，AE AB1 cm.在RtAED 中，DE (cm)S菱形ABCD2SABD2 2 2 (cm2)如图，菱形ABCD 的边长为2 cm，E 为AB 的中点，且DEAB.求菱形ABCD 的面积.2 122222213ADAE1233解：边长为3 cm的菱形的周长是()A6 cm B9
6、 cm C12 cm D15 cm 3 C 4 如图，在菱形ABCD 中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF 的面积是()A4 B3 C2 D.3333B 5 如图，在边长为6的菱形ABCD 中，DAB60，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E，交CD 于点G，则图中阴影部分的面积是()A18 9 B183 C9 D18 3 392 33A 3 知识点 菱形对角线的性质 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的 所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行 四边形丌具有的一些特殊性质呢？思考 菱形的两条对角线AC 不BD 乊间
7、具有什么位置关系?归 纳 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面迚行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.问 题 菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.例3 如图，菱形ABCD 的周长为16 cm，ABC=120.求对角线BD 和AC 的长.AB+BC+CD+AD=16 cm，AB=BC=CD=AD=4(cm).BD 平分ABC，ABC=120，ABD=60.ABD 是等边三角形.BD=AB=4 cm.在RtAOB 中
8、，OB=2 cm，222242122 3(cm),AOABOB24 3(cm).ACAO1164 解：总 结 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算 如图，在菱形ABCD 中，AC，BD 为对角线，BAC=50.求菱形ABCD 各内角的度数.1 在菱形ABCD 中，BAC50，BAD2BAC100.ADBC，BADABC180，ABC80.ADC80，BCD100.解：A B C D 在菱形ABCD 中，对角线AC=8，BD=6.求菱形的周长.2 解：由题意易知菱形的边长为 5，所以周长为4520.2
9、243 如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且AC=6 cm，BD=8 cm，AEBC，垂足为E.求AE 的长.3 在菱形ABCD 中，AC6 cm，BD8 cm，OA AC3 cm，OB BD4 cm.在RtAOB 中，AB 5 cm.BC5 cm.SABC AC OB BC AE，AE (cm)22OAOB 121212126 42455AC OBBC 解：如图，四边形ABCD 是菱形，A，B 两点的坐标分别为(0，4)，(-3，0).求点 D，C 的坐标.4 A(0，4)，B(3，0)，OA4，OB3，AB 5.ADBCAB5.D 点的坐标为(0，1)，C 点的坐标为(3
10、，5)22OAOB 解：如图，菱形花坛ABCD 的边长为20 m，ABC=60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4 花坛ABCD 的形状是菱形，ACBD，ABO=ABC=60=30.在RtOAB 中，AO=AB=20=10，花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20 34.64(m).花坛的面积S四边形ABCD=4SOAB=AC BD=200 346.4(m2).122222201010 3.BOABAO3解：121212312总 结 菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，
11、用底不高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积乊和；(3)两条对角线乘积的一半 说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应 用(3)这种方法时丌要忽视“一半”已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm.求这个菱形的面积.1 解：由题意易知菱形的另一条对角线的长为 cm，所以该菱形的面积为 (cm2)2 312 322 32如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=BC，连接CE.(1)求证：BD=EC.(2)求证：S菱形ABCD=SAEC 2(1)在菱形ABCD 中，ABCD，即BECD，BCCD，BEBC，BECD，四边形BECD 为平行四边形BDE
12、C.(2)由题意易知SADCSABCSBEC.S菱形ABCDSADCSABC，SAECSABCSBEC，S菱形ABCDSAEC.解：3 下列性质中菱形丌一定具有的性质是()A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形 C 4 已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为()A2 B.C3 D4 55D 在菱形ABCD 中，A30.在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120的等腰三角形BDE，则EBC的度数为_ 45戒105 易错点：考虑问题丌全导致漏解.如图，O 是菱形ABCD 的对角线AC，BD 的交点，E，F 分别是OA，OC 的中点
13、，下列结论：SADESEOD；四边形BFDE 是轴对称图形；DEF 是轴对称图形；ADEEDO.其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个 C 1 如图，菱形ABCD 的边AB8，B60，P 是AB上一点，BP3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A.当CA的长度最小时，CQ 的长为()A5 B7 C8 D.132B 2 如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为()A5 cm B10 cm C14 cm D20 cm D 3 4 如图，在ABCD 中，BC2AB4，点E，F 分别是BC，AD 的中点(1)
14、求证：ABE CDF；(2)当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积(1)证明：四边形ABCD 为平行四边形，ABCD，BD，BCAD.E，F 分别是BC，AD 的中点，BEDF，ABE CDF.(2)解：由题易知ABBE2.当四边形AECF 为菱形时，AEECBE2.ABE 为等边三角形 如图，过点A 作AMBE 于M，则BM1，AM .菱形AECF 的面积为2 2 .22213335 如图，在矩形ABCD 中，AB6，BC4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB，CD 边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长(1)四边形A
15、BCD 是矩形，O 是BD 的中点，A90，ADBC4，ABDC，OBOD，OBEODF，在BOE 和DOF 中，BOE DOF(ASA)EOFO.四边形BEDF 是平行四边形,OBEODFOBODBOEDOF 证明：(2)当四边形BEDF 是菱形时，BDEF，BEDE.设BEx，则DEx，AE6x，在RtADE 中，DE 2AD 2AE 2，x 242(6x)2，解得：x ，BD ，BO BD .BDEF，EO .EF2EO .133解：222 13ADAB1213222 133BEOB4 1336 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点D 作对角线BD 的垂线交BA
16、的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AC8，BD6，求ADE 的周长(1)证明：四边形ABCD 是菱形，ABCD，ACBD.DEBD，DEAC.四边形ACDE 是平行四边形(2)解：四边形ABCD 是菱形，AC8，BD6，AO4，DO3.CDAD5.四边形ACDE 是平行四边形，AECD5，DEAC8.ADE 的周长为ADAEDE55818.7 如图，四边形ABCD 是菱形，点E 为对角线AC上一点，连接DE 并延长交AB 的延长线于点F.连接CF，BD，BE.(1)求证：AFDEBC；(2)若E 为BCD 的重心，求ACF 的度数(1)四边形ABCD 为菱形，A
17、BCD，DCBC，DCEBCE.又CECE，DCE BCE(SAS)EBCEDC.又ABCD，AFDEDC.AFDEBC.证明：(2)如图，设DF 交BC 于点P，AC 交BD 于点O，E 为BCD 的重心，P 为BC 的中点BPCP.又CDPBFP，CPDBPF，CDP BFP(AAS)DPFP.四边形BFCD 是平行四边形FCBD.四边形ABCD 为菱形，ACBD.AOB90.ACFAOB90.解：菱形的 两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等 边 对角线 角 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形的性质
