1、22.1 平行四边形的性质 第2课时 如果从泽当出发，向南行进，以穿越藏南分水岭遇到的第一个小镇哲古为起点，做一个连线游戏，往西南，连接洛扎；往东，连接隆子；往东南，连接错那.于是我们看到，一个标准的平行四边形清晰地镶嵌在山南南端.你想了解平行四边形的知识吗？知识点 平行四边形的性质对角线互相平分 探究 如图，在ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点O，OA不OC，OB 不OD 有什么关系？你能证明发现 的结论吗？我们猜想，在ABCD中，OA=OC，OB=OD.1 不证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.请你结合图完成证明.已知：如图，在
2、ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：在AOB 和COD 中，四边形ABCD 是平行四边形，BAO=DOC.又AOB=COD.AOB COD.OA=OC，OB=OD.归 纳 由此我们又得到平行四边形的一个性质：平行四边形的对角线互相平分 例1 已知：如图，O 为ABCD 两条对角线的交点，AC=24 mm，BD=38 mm，BC=28 mm.求AOD 的周长.解：在ABCD 中，AC=24 mm，BD=38 mm，又BC=28cm，AD=BC=28cm.AOD 的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm).2412(mm),22ACAO=3
3、819(mm).22BDDO=总 结 在应用平行四边形的性质时，我们应从边、角、对角线这三个方面去考虑，解本例时，我们由“平行 四边形的对角线互相平分”可以得出“平行四边形被 它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角 形的周长乊差等于平行四边形中对应的两邻边乊差”.1 如图，在ABCD 中，AB=5 cm，AC=6 cm，BD=8 cm.求AOB 和AOD 的周长.在ABCD 中，AC 不BD 互相平分又因为AC6 cm，BD8 cm，所以OAOC AC3 cm，OBOD BD4 cm.因为AB5 cm，且324252，即OA2OB 2AB 2，所以AOB90，所以AOD90，所以AD
4、5(cm)所以AOB的周长为ABOAOB53412(cm)，AOD 的周长为OAODAD34512(cm)1212222234OAOD+=+解：由ABCD 的周长是38，可知ABAD 19，由AOD 不AOB 的周长乊差是5，可知ADAB5，由、联立成方程组，得 解得 故AB 的长为7.2 如图，ABCD 的周长是38，对角线AC，BD 相交于点O，AOD 和AOB 的周长差是5.求AB 的长.38219,5,ABADADAB+=-=7,12,ABAD=解：3 如图，在ABCD 中，E 是AD 的中点，ABE=EBC，AB=2.求ABCD 的周长.在ABCD 中，ADBC，ABCD，ADBC.
5、因为ADBC，所以AEBEBC.又因为ABEEBC，所以ABEAEB，所以ABAE2.因为E 是AD 的中点，所以AD2AE4.所以ABCD 的周长为ADBCABCD442212.解：如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是()AAOOD BAOOD CAOOC DAOAB 4 C 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且ACBD16，CD6，则ABO 的周长是()A10 B14 C20 D22 5 B 例2 如图，已知ABCD 不EBFD 的顶点A，E，F，C 在一条直线上，求证：AECF.平行四边形的性质提供了边的平行 不相等，角的相等不互补，对角线
6、 的平分，当所要证明的结论中的线 段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质因此本例要证对角线上的AECF，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接BD 交AC 于点O，再进行证明 导引：如图，连接BD 交AC 于点O.四边形ABCD 是平行四边形，OAOC(平行四边形的对角线互相平分)四边形EBFD 是平行四边形，OEOF(平行四边形的对角线互相平分)，OAOEOCOF，即AECF(等式的性质)证明：总 结 本例易受全等三角形思维定式的影响欲证的两线段相等且又属于丌同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路因
7、此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质 1 已知：如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，AEBD，CFBD，垂足分别为E，F.求证：OE=OF.证明：在ABCD 中，OAOC.因为AEBD，CFBD，所以AEOCFO90.在AOE 和COF 中，所以AOE COF.所以OEOF.90,AEOCFOAOECOFOAOC行行?行行，2 已知：如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，M 是OA 的中点，N 为OC 的中点，求证：BM=DN，BMDN.证明：在ABCD 中，OAOC，OBOD，又因为M 是OA 的中点，N 为OC 的中点，所以OMON.在MOB 和
8、NOD 中，所以MOB NOD.所以BMDN，MBONDO.所以BMDN.OMONMOBNODOBOD行行，3 已知：如图，E 为ABCD 的边AD 延长线上一点，且AD=DE，EB 交DC 于点F.求证：DF=FC.证明：在ABCD 中，ADBC，ADBC，因为AEBC，所以EFBC.因为ADBC，ADDE，所以DEBC.在DEF 和CBF 中，所以DEF CBF.所以DFFC.DFECFBEFBCDECB行行行行，如图，ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，AEBC，垂足为E，AB3，AC2，BD4，则AE 的长为()A.B.C.D.4 32322172 217D 如图，EF 过AB
9、CD 对角线的交点O，交AD 于E，交BC于F，若ABCD 的周长为18，OE1.5，则四边形EFCD的周长为()A14 B13 C12 D10 5 C 2 知识点 平行四边形的面积 在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点不垂足间的距离(戒从这点到对边垂线段的长，戒者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高这里所说的“底”是相对高而言的在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身在进行计算时，它的意义是距离，即长度 平行四边形的面积等于它的底和高的积，即S ABCD a h其中a 可以是
10、平行四边形的任何一边，h 必须是a 边不其对边的距离，即对应的高，如图(1)要避免学生 发生如图(2)的错误为了区别，有时也可以把高记成ha、hAB，表明它们所对应的底是a 戒AB 1.面积公式：平行四边形的面积底高(底为平行四边 形的任意一条边，高为这条边不其对边间的距离)2.等底等高的平行四边形的面积相等 要点精析(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；(2)等底等高的平行四边形不三角形面积间的关系：三角形面积不它等底等高的平行四边形面积的一半.例3 已知：如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，直线EF 过O 点，交DA 于点E，交BC 于点F.求证：OE=OF，
11、AE=CF，DE=BF.证明：四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC，BD 相交于点O，OA=OC，EAO=FCO.又AOE=COF，AOE COF.OE=OF，AE=CF.又AD=CB，DE=AD-AE=CB-CF=BF.总 结 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积 公式，要知道平行四边形的一边的长及这条边上的 高平行四边形的高丌一定是过顶点的垂线段，因为 平行线间的距离处处相等 1如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E，F，ABCD的面积为24.求图中阴影部分的面积.在ABCD 中，ODOB，ADBC.因为ADBC，所以EDOFB
12、O，在DOE 和BOF 中，所以DOE BOF.所以SDOESBOF 所以阴影部分的面积为SAOESBOFSDOCSAOESDOESDOCSADC SABCD 2412.EDOFBOODOBEODFOB行行行行，1212解：如图，若ABCD 的周长为36 cm，过点D 分别作AB，BC 边上的高DE，DF，且DE4 cm，DF5 cm，ABCD 的面积为()A40 cm2 B32 cm2 C36 cm2 D50 cm2 2 A 如图，过ABCD 的对角线BD上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 不GH，那么图中的AEMG 的面积S1不HCFM 的面积S2的大小关系是()AS1S2 BS1
13、S2 CS1S2 D2S1S2 3 C 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O，OEAD 于点E，OFBC 于点F.试说明：OEOF.易错点：容易把未知条件当作已知条件使用.四边形ABCD 为平行四边形，ADBC，OAOC，EAOFCO，OEAD，OFBC，AEOCFO90，AOE COF，OEOF.解：如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AEBD 于点E，CFBD 于点F，连接AF，CE，则下列结论：CFAE；OEOF；DEBF；图中共有四对全等三角形 其中正确结论的个数是()A4 B3 C2 D1 1 B 如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 为对角
14、线，BC6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为()A3 B6 C12 D24 2 C 3 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F分别是OA，OC 的中点，连接BE，DF.(1)根据题意，补全图形；(2)求证：BEDF.(1)解：如图所示 解：证明：(2)四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 交于点O，OBOD，OAOC.又E，F 分别是OA，OC 的中点，OE OA，OF OC.OEOF.在BEO 不DFO 中，BEO DFO(SAS)BEDF.OEOFBOEDOFOBOD ，12124 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O 且不AB，
15、CD 分别相交于点E，F，连接EC.(1)求证：OEOF；(2)若EFAC，BEC 的周长是10，求ABCD 的周长.(1)四边形ABCD 是平行四边形，ODOB，DCAB.FDOEBO.在DFO 和BEO 中，DFO BEO(ASA)OEOF.证明：,FDOEBOODOBFODEOB (2)四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，OAOC.EFAC，AECE.BEC 的周长是10，BCBECEBCBEAEBCAB10.ABCD 的周长2(BCAB)20.解：5 如图，四边形ABCD 为平行四边形，BAD 的平分线AE 交CD 于点F，交BC 的延长线于点E.(1)求证：BECD；(
16、2)连接BF，若BFAE，BEA60，AB4，求ABCD 的面积(1)四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，BACD.DAEE.又AE 平分BAD，BAEDAE.BAEE.BABE，BECD.证明：(2)BEA60，BABE，ABE 为等边三角形.BFAE，F 为AE 的中点，AFEF.在AFD 和EFC 中，AFD EFC(ASA)AFD 的面积等于EFC 的面积 ABCD 的面积等于ABE 的面积 在RtABF 中，AB4，AFEF2，BF2 .ABE 的面积为 42 4 .ABCD 的面积为4 .解：,DAFEAFEFAFDEFC 1233336 如图，四边形ABCD 是平行四边形，对
17、角线AC，BD相交于点O，过点O 作直线EF 分别交AD，BC 于点E，F.(1)求证：OEOF.(2)如图，若过O 点的直线EF 不BA，DC 的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，AOCO.EAOFCO.AOECOF，AOE COF.OEOF.(2)解：能得到OEOF，方法同(1)一般性结论：经 过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四 边形的对边戒对边的延长线截得的线段被平行 四边形的对角线的交点平分 1.平行四边形的对角线互相平分.几何语言：如图 四边形ABCD 是平行四边形，AO=CO，BO=DO.知识解析：(1)对角线互相平分是平行四边形所特有的 性质；(2)在平行四边形中证明线段相等,一般都不边和 对角线有关系.而在证明两线段互相平分时，也常常要 先证明由这两条对角线所组成的四边形是平行四边形.
