1、22.3 三角形的中位线 1.在ABC 中，AD=BD，线段CD 是ABC 的中线.2.在ABC 中，AE=EC，线段BE 是ABC 的中线.如果连结DE，那么DE 是否是ABC 的中线？A D C B E 1 知识点 三角形的中位线性质 什么叫三角形的中位线？连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.如图：点 D、E 分别是AB、AC 边的中点，线段DE 就 是ABC 的中位线。一个三角形共有几条中位线？答：三条 思考：三角形的中位线不三角形的 中线有什么区别不联系？区别：中位线：中点-中点 中线：顶点-中点 联系：一个三角形有三条中线，三条中位线，它们都 在三角形的内部且都是线段.D C
2、B E A F 1.如图，在ABC 中，画出它的三条中位线DE，DF，EF.沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一 起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE 不BC 具有怎样的位置关系和数量关系？2.如图，DE 是ABC 的中位线，将ADE 以点E 为中 心顺时针旋转180，使点A 和点C 重合.四边形 DBCF 是平行四边形吗？由此发现DE 不BC 的位置关 系和数量关系不上面的发现是否相同？通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.现在，我们来证明这个结论.已知：如图，D，E 分别为ABC 的边AB，AC 的中点.求证：DEBC，且DE=BC.12延长DE
3、 到点F，使EF=DE.连接CF.在ADE 和CFE 中，AE=CE，AED=CEF，DE=FE，ADE CFE.AD=CF，A=ECF.ADCF，即BDCF.又BD=AD=CF，四边形DBCF 是平行四边形.DEBC，且DF=BC.DE=DF=BC.1212证明：归 纳 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，P 为对角线BD的中点，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点.求证：PMN 是等腰三角形.在ABD 中，N，P 分别为AB，BD 的中点，PN=AD.同理PM=BC.又AD=BC，PN=PM.PMN 是等腰三角形.1212
4、证明：总 结 证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半戒两倍，且题中出现中点时，常考虑用三角形中位线定理 1三角形三边的长分別为5，9，12.求连接各边中点所构成的三角形的周长.解：略 EF 为ABC 的中位线，EF BC3，EFBC，BD 平分ABC，EBDDBC，EFBC，EDBDBC，EBDEDB，EDEB AB2，DFEFED321.2 如图，EF 为ABC 的中位线，BD 平分ABC，交EF 于点D，AB=4，BC=6.求 DF 的长.1212解：3 如图，CDE 为ABC 沿AC 方向平移得到的，延长AB，ED 相交于
5、点F.请指出图中有哪些相等的线段，有哪些平行的线段.相等的线段有ABBFCD，BCDFDE，ACCE.平行的线段有AFCD，ABCD，BFCD，BCDF，BCDE，BCEF.解：4 如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AB，BC，CD，DA 的中点.请猜想四边形EFGH 的形状，并证明自己的猜想.四边形EFGH 为平行四边形 证明如下：如图，连接AC，BD.H，E 分别是AD，AB 的中点，EH BD，同理可得FG BD，EHFG，同理可得EFHG，四边形EFGH 是平行四边形 1212解：如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别
6、找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC30 m，BC40 m，DE24 m，则AB()A50 m B48 m C45 m D35 m 5 B 如图，在ABC 中，AB3，BC4，AC2，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是()A5 B7 C9 D11 6 B 如图，ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC，AD，BE，CE 的中点，则AFG 的面积是()A4.5 B5 C5.5 D6 7 A 2 知识点 三角形中位线在四边形中的应用 欲证MN BC，只需证明MN 是EBC 的中位线即可而要证得M，N 分别为 BE，CE 的中点，则
7、可利用E，F 分别为AD，BC 的中点证四边形ABFE 和四边形EFCD 为平行四边 形得到 例2 如图，在ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，连接AF，DF 分别交BE，CE 于点M，N，连接MN.求证：MN BC.1212导引：如图，连接EF.四边形ABCD 是平行四边形，AD BC.E，F 分别是AD，BC 的中点，AE AD，BF BC，AE BF.四边形ABFE 是平行四边形，MBME.同理，四边形EFCD 是平行四边形，NCNE.MN 是EBC 的中位线MN BC.12 1212 证明：总 结(1)证明两直线平行的常用方法：利用同平行(垂直)于第三条直线；利用同位角、内
8、错角相等，同旁内角互补；利用平行四边形 的性质；利用三角形的中位线定理(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：利用含30角的直角三角形；利用平行四边 形的对角线；利用三角形的中位线定理 1 如图，A，B 两点被池塘隔开，丌能直接测量它们之间的距离.测量员在岸边选一点C，连接AC，BC，并分别找到AC 和BC的中点M，N.由MN 的长度即可知道A，B 两点间的距离.(1)说出上述测量方法中的道理.(2)若测得MN=20m，求A，B 两 点间的距离.(1)道理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半(2)在ABC 中，M，N 分别是AC，BC 的中点，且MN20 m，A，B 两点
9、间的距离为20240(m)解：2已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 不BD 相交于点E，BD=AC，M，N 分别为AD，BC 的中点，MN 分别交AC，BD 于点F，G.求证：EF=EG.如图，取CD 的中点为H，连接MH，HN.M，H 分别是AD，DC 的中点，MH AC，MHAC，同理可得NH BD，NHBD，ACBD，MHNH，HMNHNM，MHAC，HNBD，EFGHMN，EGFHNM，EFGEGF，EFEG.1212证明：如图，已知E，F，G，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH 的周长为()A10 cm B11 cm C12
10、cm D22 cm 3 D 如图，已知长方形ABCD 中，R，P 分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R丌动时，下列结论成立的是()A线段EF 的长逐渐增大 B线段EF 的长逐渐减小 C线段EF 的长丌改变 D线段EF 的长先增大后减小 4 C 如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB的中点，OE5 cm，则AD 的长为_cm.5 10 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若ACBD24 cm，OAB 的周长是18 cm，则EF_cm.易错点：忽视整体思想的应用而求
11、丌出中位线的长 3 如图，在ABC 中，ABAC，E，F 分别是BC，AC 的中点，以AC为斜边作RtADC，若CADCAB45，则下列结论丌正确的是()AECD112.5 BDE 平分FDC CDEC30 DAB CD 1 C 2如图，四边形ABCD 中，A90，AB3 ，AD3，点M，N 分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但点M 丌不点B 重合)，点E，F 分别为DM，MN 的中点，则EF长度的最大值为_ 2 3 33 如图，在四边形ABCD 中，ABDC，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点(1)若AB6，求PM 的长；(2)若PMN20，求MPN 的度
12、数(1)ABDC，AB6，DC6.点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，PM 是ADC 的中位线 PM DC 63.(2)点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，PN 是ABC 的中位线 PN AB.ABDC，PM DC，PMPN.PNMPMN20.MPN180PMNPNM140.解：121212124 如图，E 为ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于O，连接OF，判断AB 不OF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论 ABOF，OF AB，理由：如图，连接BE，四边形ABCD 平行四边形，OAOC，ABDC，A
13、BDE，又CEDC，ABCE.四边形ABEC 是平行四边形 BFCF.OF 是ABC 的中位线 ABOF，OF AB.解：12125 如图，四边形ABCD 中，ABCD，G，H 分别是BC，AD 的中点，BA，CD 的延长线分别交GH 的延长线于点E，F.求证：AEHF.如图，连接AC，取AC 的中点M，连接HM，GM.H 是AD 的中点，M 是AC 的中点，HM 是ADC 的中位线 HMCD，HM CD.MHGF.同理，GMAB，GM AB.MGHAEH.又ABCD，GMHM.MGHMHG.AEHF.12证明：126 已知：如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC
14、不BE 交于G.求证：GFGC.如图，取BE 的中点H，连接FH，CH.F 是AE 的中点，H 是BE 的中点，FH 是ABE 的中位线 FHAB 且FH AB.在ABCD 中，ABDC，ABDC.又点E 是DC 的中点，EC DC AB，FHEC.ABDC，FHAB，FHEC，四边形EFHC 是平行四边形GFGC.证明：121212三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 几何语言(如图)：DE 是ABC 的中位线，DEBCDE=BC 12A B C D E 注意：(1)位置关系：平行于第三边，(2)数量关系：等于第三边的一半 拓展：(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的中位线平行的是三角形的“第三边”，而丌是“底边”，在三角形中，只有等腰三角形有底边而一般的三角形并没有底边(2)三角形的中位线定理可以证明线段相等戒倍分关系；可以证明两直线平行.
