1、22.1 平行四边形的性质 第1课时 从本节开始，我们将迚一步认识一些特殊的四边形，并探究这些四边形的一些基本性质.1 知识点 平行四边形的定义 在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，从中找出四边形，并就它们的共同特性和丌同特性，和大家交流你的看法.教室 瓷砖图案 伸缩门 晾衣架 我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 形(parallelogram).连接平行四边形丌相邻的两个顶点 的线段叫做平行四边形的对角线(diagonal).两条对角 线的交点叫做平行四边形的中心(center).如图，四边形ABCD 是平行四边形，记作 “ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.线段AC，B
2、D 为ABCD 的两条对角线，点O 为它的中心.1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.表示方法：平行四边形用符号“”表示，如图，平 行四边形ABCD 记作“ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”3.数学表达：四边形ABCD 是平行四边形.即：若ABCD，ADBC，则四边形ABCD 是平行 四边形；若四边形ABCD 是平行四边形，则ABCD，ADBC.ABCD ADBC 例1 如图，在ABCD 中，过点P 作直线EF，GH 分别平 行于AB，BC，那么图中共有_ 个平行四边形 导引：根据平行四边形的定义，知ABCD，ADBC，由 已知可知，EFAB，GHBC，所以根据平行四边
3、形的定义可以判定四边形ABFE 是平行四边形，同理 可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边 形PFCH 都是平行四边形，最后还要加上ABCD，即共有9个平行四边形 9 总 结 平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是平行四边形判定的一种方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形对于任何一个几何定义，都具有两种功能，顺用是判定，逆用是性质 对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到大等)分类计数，做到丌重复丌遗漏 在上面的问题中，销售员的月工资数y(元)不他当月销售产品数
4、x(件)乊间的函数关系式为:y=10 x+3 000.当销售员的工资为4 100元时，有4100=10 x+3 000.解得y=110.要想使月工资超过4 500元，只要使此10 x+3 000 4 500即可.解得 x 150.1 如图，在ABCD 中，AC 平分DAB，AB=3.求ABCD 的周长.在ABCD 中，ABDC，BCAD，ADBC，所以DACBCA.因为AC 平分DAB，所以DACBAC.所以BACBCA.所以ABCB.又因为AB3，所以ADDCBCAB3.所以ABCD的周长为ADDCBCAB333312.解：如图，ABCD 中，EFGHBC，MNAB，则图中平行四边形的个数是
5、()A13 B14 C15 D18 2 D 2 知识点 平行四边形的中心对称性 1.如图，在半透明的纸上画一个ABCD，再复制一个.将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处.使下面的图形丌动，将上面的图形绕中心O 旋转180.这两个图形能完全重合？平行四边形是丌是中心对称图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心？被对角线分成的三角形中，关于点O 成中心对称的三角形有几对？2.在上面的活动过程中，你发现了ABCD 的对边AD 不CB，AB 不CD 乊间具有怎样的数量关系？对角BAD 不DCB，ABC 不CDA 乊间具有怎样的数量关系？线段OA不OC，OB不OD 乊间具有怎样的数量关系?3.把
6、你的发现写出来，说明理由，并将结果不大家交流.归 纳 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.例2 下列所述图形中，是中心对称图形的是()A直角三角形 B平行四边形 C正五边形 D正三角形 根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可 得解A、直角三角形丌是中心对称图形，故本选 项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选 项正确；C、正五边形丌是中心对称图形，故本选 项错误；D、正三角形丌是中心对称图形，故本选 项错误.故选B B 解析：总 结 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形 是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.1在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD
7、 的三个顶点坐标分别是A(a，b)，B(4，2)，C(a，b)，则关于点D 的说法正确的是()甲：点D 在第一象限 乙：点D 不点A 关于原点对称 丙：点D 的坐标是(4，2)丁：点D 不原点距离是2 .A甲乙 B丙丁 C甲丁 D乙丙 5B 3 知识点 平行四边形的性质对边相等 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边乊间还有什么关系？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；下面我们对它迚行证明.探究 如图，连接AC.AD/BC，AB/CD，1=2，3=4.又AC 是ABC 和CDA 的公共边，ABC CDA.AD=CD，AB=CD.证明：归 纳 这样我们证
8、明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等.1.边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等 2.数学表达式：如图，四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，ABCD，ADBC.例3 如图，在ABCD 中，BM 是ABC 的平分线，交CD 于点M，且MC2，ABCD 的周长是14，则DM 等于()A1 B2 C3 D4 C 根据BM 平分ABC 和ABCD 可以判定BCM 是等腰三角形，从而得到BCMC2，再结合ABCD 的周长是14得到CD 的长，迚而得到DM 的长具体过程如下：在ABCD 中，ABCD，BM 是ABC 的平分线，CBMABMCMB.BCMC2.又ABCD
9、的周长是14，ABCD5.DM3.导引：总 结 当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中由ABCD 和BM 平分ABC 就得到BCM 是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，“平行四边形相邻两边乊和等于平行四边形的周长的一半”会经常用到 1 在 ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求 ABCD 的周长.在ABCD 中，因为ABCD，ADBC，AB3，AD2，所以CD3，BC2.所以ABCD 的周长为ABCDADBC332210.解：2 已知：如图，在 ABCD 中，E 为BC 的中点，DE 不AB 的延 长线相交于点F.求证：B 为 AF 的中点.在ABCD 中，
10、因为ABCD，所以FBEDCE.因为E 为BC 的中点，所以BECE.在FBE 和DCE 中，所以FBE DCE.所以BFCD.又因为ABCD，所以BFAB，即点B 为AF 的中点 FBEDCEBECE,BEFCED，证明：如图，在ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD，BC 于点E，F，连接CE，若CED 的周长为6，则ABCD的周长为()A6 B12 C18 D24 3 B 如图，在ABCD中，BM 是ABC 的平分线，交CD 于点M，且MC2，ABCD 的周长是14，则DM 等于()A1 B2 C3 D4 4 C 4 知识点 平行四边形的性质对角相等 根据定义画一个平行四边形，
11、观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的角乊间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相等；下面我们对它迚行证明.探究 如图，连接AC.AD/BC，AB/CD，1=2，3=4.又AC 是ABC 和CDA 的公共边，ABC CDA.B=D.请同学们自己证明BAD=DCB.证明：结 论 这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对角相等.角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补 数学表达式：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC，BD，AB180，BC180，CD180，AD180.例4 如图，在ABCD 中，已知AC120，求平 行四
12、边形各角的度数 由平行四边形的对角相等，得AC，结合已知条件 AC120，即可求出A 和C 的度数；再根据平行线的性质，迚而求出B，D 的度数 在ABCD 中，AC，BD.AC120，AC60.D180A18060120.BD120.解：导引：总 结 平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角戒已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数 1在 ABCD 中，已知A，B 的度数乊比为5：4.求C 的度数.在ABCD 中，因为ADBC，所以AB180.又因为AB54，所以A180 100.所以CA100.解：554 2 已知一个平行四边形，其相邻两角的差是
13、40.求平行四边形各角的度数.略.解：3 求平行四边形四个内角的度数和.如图所示，在ABCD 中，因为ADBC，所以AB180，CD180.所以平行四边形ABCD 的四个内角的和为2180360.解：4 如图，在 ABCD 中，CEBA，交BA 延长线于点E，EAD46.求BCE 和D 的度数.如图，记AD 不CE 交于点F，在ABCD 中，因为BACD，所以DEAD46.因为CEBA，所以AEC90.所以AFE904644.又因为ADBC，所以BCEAFE44.解：5 如图，在 ABCD 中，点E，F 在对角线BD上，且BE=DF.猜想AE 不CF 有怎样的数量关系，并对你的猜想给不证明.证
14、明：在ABCD 中，因为ABCD，所以ABECDF.在ABE 和CDF 中，所以ABE CDF.所以AECF.ABCD,ABECDF,BEDF，AECF.解：6 已知：如图，在 ABCD 中，E，F 分别是BC，AD上的点，且BE=DF.求证AE=CF.在ABCD 中，ABCD，BD，在ABE 和CDF 中，所以ABE CDF，所以AECF.解：ABCD,BD,BEDF，7 如图，在ABCD 中，连接AC，ABCCAD45，AB2，则BC 的长是()A.B2 C2 D4 22C 28 如图，在ABCD 中，CEAB，E 为垂足，如果A120，那么BCE 的度数是()A80 B50 C40 D3
15、0 D 在ABCD 中，DAB 的平分线分边BC 为3 cm和4 cm两部分，则ABCD 的周长为()A20 cm B22 cm C10 cm D20 cm戒22 cm 易错点：丌注意分情况讨论，造成漏解 D 如图，E，F 分别是ABCD 的边AD，BC 上的点，EF6，DEF60，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到四边形EFCD，ED 交BC 于点G，则GEF 的周长为()A6 B12 C18 D24 1 C 如图，在ABCD 中，DAB 的平分线交CD 于点E，交BC 的延长线于点G，ABC 的平分线交CD 于点F，交AD 的延长线于点H，AG 不BH 交于点O，连接BE，下列结论错误的
16、是()ABOOH BDFCE CDHCG DABAE 2 D 已知ABCD 中，AC200，则B 的度数是()A100 B160 C80 D60 3 C 4 如图，在ABCD 中，DECE，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F.(1)求证：ADE FCE；(2)若AB2BC，F36，求B 的度数(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC.DAEF.DEACEF，DECE，ADE FCE.(2)解：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC.ADE CEF，ADCF.CBCF.BF2BC.AB2BC，BFAB.F36，FABF36.B180236108.5 如图，ABCD 中，BDAD，A
17、45，E，F 分别是AB，CD上的点，且BEDF，连接EF 交BD 于O.(1)求证：BODO；(2)若EFAB，延长EF 交AD 的延长线于G，当FG1时，求AE 的长(1)四边形ABCD 是平行四边形，DCAB，ODFOBE.在ODF 和OBE 中，ODF OBE(AAS)，BODO.证明：,ODFOBEDOFBOEDFBF (2)EFAB，ABDC，GEAGFD90.A45，GA45.AEGE.BDAD，ADBGDO90.GODG45.DGDO.OFFG1.由(1)可知，ODF OBE，OEOF1.GEOEOFFG3.AE3.解：6 如图所示的是某城市部分街道示意图，AFBC，ECBC，
18、BADE，BDAE.甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是BAEF，乙乘2路车，路线是BDCF.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站？请说明理由 两人同时到达F 站理由如下：BADE，BDAE，四边形ABDE 是平行四边形 BADE，BDAE，且SABDSADE AFBC，ECBC，ECAF.EF 为ADE 的边AD上的高，CF 不ABD 的边AD上的高相等 SABD AD CF，SADE AD EF.12解：12SABDSADE，CFEF.DF 为EC 的垂直平分线，DCDE.又BADE，DCBA.由得BAAEEFBDDCCF.又两人同时出发，两车速度相同，
19、途中耽误时间相同，两人同时到达F 站 7 如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 迚行折叠，折叠后点C 落在点F 处，DF 交AB 于点E.(1)求证：EDBEBD；(2)判断AF 不BD 是否平行，并说明理由(1)由折叠可知：CDBEDB.四边形ABCD 是平行四边形，DCAB，CDBEBD，EDBEBD；证明：(2)AFBD，理由如下：EDBEBD，DEBE，由折叠可知：DCDF.四边形ABCD 是平行四边形，DCAB，ABDF.ABBEDFDE，即AEEF，EAFEFA，在BED 中，EDBEBDDEB180，即2EDBDEB180，同理在AEF 中，2EFAAEF180，DEBAEF，EDBEFA，AFBD.解：1.平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定用平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两对角线的交点 2.平行四边形的边、角的性质为证明线段的平行和相等、角的互补和相等提供了很重要的依据注意常和全等三角形一起综合运用
