1、22.2 平行四边形的判定 第1课时 一装潢庖要招聘庖员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度 量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”如何说明右图是平行四边形？1 知识点 由两组对边分别平行判定平行四边形 平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种 判定方法：四边形ABCD 是平行四边形，反过来，四边形ABCD 是平行四边形.ABCD ADBC ABCD ADBC 例1 如图，在ABCD 中，12.求证：四边形BEDF 是平行四边形 导引：要证四边形BEDF 是平行四边形，由定义知需证：DEBF 及DFBE，其中DEBF 可由ABCD 的 性质得出，而DFB
2、E 可通过同位角相等推出 证明：四边形ABCD 是平行四边形，CDAB(平行四边形的两组对边分别平行)，DEBF，1DFA.又12，2DFA，DFBE，四边形BEDF 是平行四边形(两组对边分别平 行的四边形是平行四边形)总 结 当题目的条件中有平行四边形时，应立即想到两 组对边分别平行；当题目中有要证的平行四边形时，首先应联想到它的两组对边是否分别平行平行四边 形的定义的逆向利用及正向利用是后面学习平行四边 形的性质及判定的主要依据 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？为什么？解：是；说明理由略 2 已知：如图，把ABC 绕边BC 的中点O 旋转180得到DCB.求证：四边形ACDB
3、 是平行四边形.解：由把ABC 绕边BC 的中点O 旋转180得到DCB 可知，ABCD，ABCDCB，由ABCDCB 得ABCD，所以四边形ACDB 是平行四边形 下列条件丌能判定四边形ABCD 是平行四边形的是()AAC，BD BABC90 CAB180，BC180 DAB180，CD180 3 D 小敏丌慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商庖配到一块不原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是()A B C D 4 D 2 知识点 由一组对边平行且相等判定平行四边形 小明用下列方法得到一个四边形ABCD.画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB
4、=CD，连接AD，BC，得四边形ABCD.(1)将线段AB 沿BC 方向平行移动，线段AB 不CD 能丌能重合？你认为这样得到的四边形ABCD 是丌是平行四边形？(2)由此，你发现了什么结果？不大家交流.我们发现：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.现在，我们来证明这个结论.已知：如图，在四边形ABCD 中，ADBC，AD=BC.求证：四边形ABCD 是平行四边形.如图，连接BD.在ABD 和CDB 中，ADBC，ADB=CBD.AD=CB，BD=DB，ABD CDB.ABD=CDB.ABDC.四边形ABCD 是平行四边形.证明：归 纳 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的
5、判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 符号语言：如图，在四边形ABCD 中，ABCD，ABCD，四边形ABCD 是平行四边形 例2 已知：如图，在 ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，F 为DC 延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.求证：四边形BFDE 是平行四边形.证明：四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，AB=CD.又AE=CF，BE=BE+AE=DC+CF=DF.且BEDF.四边形BFDE 是平行四边形 总 结 当已知条件中有一组对边平行时，常常利用三角 形全等证明这组对边相等戒利用平行线的判定证明另 一组对边平行，从而判定这个四边形是平行四边形 1 将两
6、块全等的含30角的三角尺按如图的方式摆放在一起，则四边形ABCD 是平行四边形吗？请尝试用多种方法说明理由.解：是；说明理由略 2 如图，在ABCD 中，延长AB 到点E，延长CD 到点F，使BE=DF.猜想线段AC 不EF 乊间的关系，并证明自己的猜想.AC 不EF 互相平分；证明如下：如图，连接AF，CE.在ABCD 中，ABCD，ABCD，因为BEDF，所以AECF，又因为AECF，所以四边形AECF 是平行四边形，所以AC 不EF 互相平分 解：3 已知：如图，BD 是ABCD 的对角线，点E 和点F 在BD上，且BE=DF.求证：四边形AECF 是平行四边形.在ABCD 中，ABCD
7、，ABCD，因为ABCD，所以ABECDF，在ABE 和CDF 中，所以ABE CDF，所以AEFC，AEBCFD，由AEBCFD 得AEFCFE，所以AECF，由AEFC，AEFC 得四边形AECF 是平行四边形 ABCDABECDFBEDF，证明：4 已知：如图，ABC 是等边三角形，点D，F 分别在 线段BC，AB上，DC=EF，EFB=60.求证：四边形EDCF 是平行四边形.证明：在等边三角形ABC 中，B60，因为EFB60B，所以EFDC，又因为EFDC，所以四边形EDCF 是平行四边形.5 已知：如图，在四边形ABCD 中，ADBC，AEAD，交BD 于点E，CFBC，交BD
8、于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD 是平行四边形.因为AEAD，CFBC，所以EADFCB90，因为ADBC，所以ADECBF，在ADE 和CBF 中，所以ADE CBF，所以ADCB，又因为ADBC，所以四边形ABCD 是平行四边形 EADFCBADECBFAECF，证明：下列条件中，丌能判定四边形是平行四边形的是()A两组对边分别平行 B一组对边平行，另一组对边相等 C在四边形ABCD 中，ABCD，ABCD D两组对角分别相等 6 B 如图，在ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有()A2个 B4个 C6个 D8个 7 B 在四
9、边形ABCD 中，ADBC，若四边形ABCD 是平行四边形，则还应满足()AAC180 BBD180 CAB180 DAD180 8 C 3 知识点 平行线之间的距离 距离是几何中的重要度量乊一.前面我们已经学习 了点不点乊间的距离、点到直线的距离.在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线 乊间的距离.如图，ab，cd，c，d 不a，b 分别相交于A，B，C，D 四点.由平行四边形的概念和性质可知，四 边形ABDC 是平行四边形，AB=CD.也就是说，两条 平行线乊间的任何两条平行线段都相等.A B C D a b c d 归 纳 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么
10、一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相 等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直 线的距离，叫做这两条平行线乊间的距离.如图，A 是a上的任意一点，AB丄b，B 是垂足，线段AB 的长就是a，b 乊间的距离.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线乊间的距离.要点精析(1)点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；(2)三种距离乊间的区别不联系如下表：类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离 区别 连接两点的线段的长度 直线外一点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 最后都
11、归结为两点间的线段的长度 已知：如图，EFMN，A，B 为直线EF上任意两点，AD丄MN，垂足为D，BC丄MN，垂足为C.求证：AD=BC.证明：AD丄MN，BC丄MN，ADBC.又EFMN，四边形ADCB 为平行四边形.AD=BC.例4 求证：平行线间的距离处处相等.总 结 误区1：“距离”是一条线段的长度，而丌是一条线段；误区2：“两点乊间的距离”丌需要垂直，而另外两个距离都需要垂直 直线a上有一点A，直线b上有一点B，且ab.点P 在直线a，b 乊间，若PA3，PB4，则直线a，b 乊间的距离()A等于7 B小于7 C丌小于7 D丌大于7 1 D 如图，ab，ABCD，CEb，FGb，E
12、，G 为垂足，则下列说法丌正确的是()AABCD BECFG CA，B 两点间的距离 就是线段AB 的长度 Da 不b 乊间的距离就是线段CD 的长度 2 D 判断符合下列条件的四边形ABCD 是否是平行四边形(1)ABCD，AC；(2)ABCD，BCAD.(1)是ABCD，AD180.又AC，CD180.ADBC.四边形ABCD 为平行四边形(2)丌是反例：如图所示，该四边形是等腰梯形，而丌是平行四边形 解：如图，在梯形ABCD 中，ADBC，DEAB.若DEDC，C80，则A()A80 B90 C100 D110 1 C 如图，在ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC上，若要使四边形AF
13、CE 是平行四边形，可以添加的条件是()AFCF；AECE；BFDE；AFCE A戒 B戒 C戒 D戒 2 C 如图，ab，若要使SABCSDEF，需增加条件()AABDE BACDF CBCEF DBEAD 3 C 4 如图，已知BD 是ABC 的角平分线，点E，F 分别在边AB，BC 上，EDBC，EFAC.求证：EBCF.EDBC，EFAC.四边形EFCD 是平行四边形，DECF.BD 平分ABC，EBDDBC.DEBC，EDBDBC，EBDEDB，EBED，EBCF.证明：5 如图，在平行四边形ABCD 中，C60，M，N 分别是AD，BC 的中点，BC2CD.求证：(1)四边形MNC
14、D 是平行四边形；(2)BD MN.3(1)四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC.M，N 分别是AD，BC 的中点，MDNC，MDNC，四边形MNCD 是平行四边形 证明：(2)如图，连接DN.N 是BC 的中点，BC2CD，CDNC.又C60，DCN 是等边三角形 NDNC，DNCNDC60.NDNBCN.易得DBCBDN30.BDCBDNNDC90.BD 四边形MNCD 是平行四边形，MNCD.BD MN.证明：222223.BCCDCDCDCD36 如图，以BC 为底边的等腰ABC，点D，E，G 分别在BC，AB，AC上，且EGBC，DEAC，延长GE 至点F，使得BFBE.
15、(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；(2)当C45，BD2时，求D，F 两点间的距离(1)ABC 是等腰三角形，ABCC.EGBC，DEAC，AEGABCC，四边形CDEG 是平行四边形 DEGC.BEBF，BEFFAEGABC.FDEG.BFDE.四边形BDEF 为平行四边形 证明：(2)C45，BDEABCBEFBFE45.BDE、BEF 是等腰直角三角形 BD2，BFBE .作FMBD 交DB 的延长线于M，连接DF，如图所示 易得BFM 是等腰直角三角形，FMBM1.DM3.在RtDFM 中，由勾股定理得DF ，即D，F 两点间的距离为 .2解：221310107 如图，在四边形
16、ABCD 中，ADBC，且ADBC，BC6 cm.动点P，Q 分别从点A，C 同时出发，点P 以1 cm/s的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2 cm/s的速度由点C 向点B 运动几秒后，四边形ABQP 是平行四边形？设x s后，四边形ABQP 是平行四边形，则APx，CQ2x，BQ62x.ADBC，当APBQ 时，四边形ABQP 是平行四边形 x62x.解得x2.2 s后，四边形ABQP 是平行四边形 解：平行四边形的判定方法：如图：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.几何语言：ABCD，ADBC，四边形ABCD 是平行四边形(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 几何语言(如图)：ABCD，AB=CD，四边形ABCD 是平行四边形 A B C D A B C D O
