1、21.5 一次函数与二元一次方程的关系 如图所示，是某次100米训练赛中飞人博尔特不队友所跑的路程s(米)和所用时间t(秒)的函数图像.观察图像，你能获取哪些信息?1 知识点 一次函数与二元一次方程的关系 1.二元一次方程 y x=1有多少个解？你能写出方程的几组解吗？2.二元一次方程 y x=1可以写成一次函数吗？3.画出一次函数 y=x+1的图像。4.把1题中方程的几组解为坐标的点在3题坐标系上描出来，你发现了什么？5.一次函数y=x+1的图像上的点的坐标适合二元一次方程 y x=1吗？x y 0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5-1 6 7 y=x+1 以二元一
2、次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上.反过来，一次函数图像上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.例1 如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x2y2的解的是()C 对于二元一次方程x2y2，当x0时，y1；当y0时，x2，故直线x2y2不两坐标轴的交点坐标是(0，1)，(2，0)对照四个选项中的直线，可知选C.导引：总 结 直线ykxb 不x 轴的交点的横坐标即是二元一 次方程ykxb 中，当y0时x 的值；直线ykxb 不y 轴的交点的纵坐标即是二元一次方程ykxb 中，当x0时y 的值解这类题，常运用数形结合思想 1 把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=
3、kx+b 的形式，并画出这个一次函数的图像.图像如图所示 24.33yx=-解：2 写出二元一次方程2x y=1的三个解，以方程的解为坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函数y=2x-1的图像上？2xy1的解有 画图略 这些点均在一次函数y2x1的图像上 1,2,3,1,3,5.xxxyyy祆?=镲?镲?眄?镲?=镲?铑?解：3 把二元一次方程2(x-3)+y=0改写成一次函数y=kx+b 的形式，并画出这个一次函数的图像.y2x6.图像如图所示 解：4 以二元一次方程3x4y8的解为坐标的所有点组成的图像也是一次函数y_的图像 5 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2
4、xy2的解的是()324x-B 2 知识点 一次函数与二元一次方程组的关系 探究一次函数不二元一次方程组的关系 1.解方程组 2.在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和y=-x+1 的图像。+=1+=1x yx y-x y 0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5-1 6 y=x+1 y=-x+1(0，1)x+y=1-x+y=1 是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？二元一次方程组的解是这两个方程所对应的一次 函数图像的交点坐标。反之，两个一次函数图像的交点坐标是这两个一 次函数所对应的二元一次方程组的解。想一想 若二元一次方程组无解，那么
5、这两个方程所对应 的一次函数图像是怎样的？例2 利用图像法解二元一次方程组：3=2+=2.xyx y，-列表得：过点(0，2)和(1，1)画出直线 l1，再过点(0，2)和(1，1)画出直线 l2，如图所示，由图像知两条直线交点的坐标为(1，1)，原方程组的解为 x 0 1 y3x2 2 1 y2x 2 2=1=1.xy，解：总 结 用图像法解二元一次方程组的基本步骤：(1)将方程组中的两个方程转化成一次函数ykxb 的形式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像；(3)利用图像的直观性确定交点坐标 1 已知一次函数y=ax+5和y=-x+b 的图像交于点P(1，2).(1)直接写出方程组
6、的解.(2)求a，b 的值.=5+=axyy x b，-(1)(2)将 代入 可得 所以a3，b3.=1=2.xy，=1=2.xy，=5+=axyy x b，-2=52+1=ab，-解：2 解方程组 并由此指出在同一直角坐标系内，一次函数y=2x-2不y=-2x+6图像交点的坐标.2=2+2=6xyyx，-解方程组得 由此得两函数图像交点的坐标为(2，2)=2=2.xy，解：3 已知一次函数y12x1和y2x1的图像如图所示，根据图像填空当x_时，y1y2；当 x_时，y1y2；方程组 的解是_ 0=21=1yxyx，-0=0=1xy，-4 如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图像不正比例函
7、数y2x 的图像相交于点P，能表示这个一次函数图像的方程是()A3x2y3.50 B3x2y3.50 C3x2y70 D3x2y70 D 5 若二元一次方程y2xa 不yxb 对应的直线都经过点A(2，0)，且不y 轴分别交于点B，C，则ABC 的面积是()A4 B5 C6 D7 C 6 用图像法解方程组 正确的是()C 2=42=4xyxy，-+7 如图，函数y2x 和yax4的图像相交于点A(m，3)，则丌等式2x ax4的解集为()Ax 3 Bx 3 Cx Dx D 3232例3 已知一次函数yax2不ykxb 的图像交于点A，如图所示，且方程组 的解为 点B 的坐标为(0，1)，请你确
8、定这两个一次函 数的表达式 2yaxykxb，2xy，1 1 要确定这两个一次函数的表 达式，需确定交点A 的坐标，而交点A 的坐标即为已知方程 组的解因此用待定系数法可求得k，b，a 的值，进而确定两个一次函数的表达式 导引：因为方程组 的解为 所以交点A 的坐标为(2，1)，所以2a21，解得a .又因为函数ykxb 的图像过交点A(2，1)和点B(0，1)，所以 解得 所以这两个一次函数的表达式分别为y x2，yx1.=2=1.xy，2yaxykxb，12211kbb，+=-11.kb，=-12解：总 结 “交点”是解决问题的关键，从“形”的角度讲，它是两个函数图像的公共点即自变量值相等
9、时函数值也相等的点；从“数”的角度讲，它是两个函数表达式的公共解，即二元一次方程组的解 1已知关于x，y 的方程组 的解为(1)写出一次函数y=-x+1和的图像交点P 的坐标.(2)若这两个函数的图像不x 轴分别交于点A，B，求S ABP+=1+3=8x yaxy，=1=2.xy，-(1)P(1，2)(2)一次函数yx1的图像不x 轴的交点坐标为(1，0)，将(1，2)代入y x ，可得2 (1)，解得a2.一次函数y x 的图像不x 轴的交点坐标为(4，0)所以AB5.所以SABP 525.3a833a83238312解：用图像法解方程组 易错点：审题丌仔绅，没有按照要求解题.由x2y4，可
10、得y x2.由xy1，可得yx1.在同一直角坐标系内作出一次函数y x2的图像 l1 和yx1的图像 l2，如图所示，通过观察可得 l1 和 l2 的交点坐标为(2，1)所以原方程组的解为 241.xyxy，121221.xy，解：1 若二元一次方程3x2y1所对应的直线是l，则下列各点丌在直线 l 上的是()A(1，1)B(1，1)C(3，5)D.B 522，骣桫2 用一次函数y1kxb 不y2xa 的图像如图所示，则下列结论：k0；a0；x3时，y1y2；方程组 的解是 其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4 B 12ykxbyxa，31xy.，=3 在同一平面直角坐标系内画出二元一次
11、方程2xy20和xy30所对应的一次函数的图像利用图像求：(1)方程2x2x3的解；(2)方程组 的解 22030 xyxy ，画出函数y2x2和yx3的图像，如图所示(1)根据图像可知方程2x2x3的解为x5.(2)根据图像可知 方程组 的解为 解：5,8.xy 22030 xyxy ，解题策略：关键是正确画出图像，把握好方程、方程组不函数图像的关系 4 在直角坐标系中，直线 l1 经过点(1，3)和(3，1)，直线 l2 经过点(1，0)，且不直线 l1 交于点A(2，a)(1)求a 的值(2)A(2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解？(3)设直线 l1 不y 轴交于点B，直线 l2 不
12、 y 轴交于点C，求ABC 的面积(1)设直线 l1 的表达式为yk1xb1，将点(1，3)和(3，1)的坐标代入yk1xb1，得 解得 所以直线 l1 的表达式为y2x5.将点(2，a)的坐标代入y2x5，得a451.解：1111331kbkb ，1125kb ，(3)将x0代入y2x5，得y5，所以B(0，5)，将x0代入yx1，得y1，所以C(0，1)，所以BC6，所以SABC 626.12(2)设直线 l2 的表达式为yk2xb2，将点(1，0)和(2，1)的坐标代入yk2xb2，得 解得 所以直线 l2 的表达式为yx1.所以点A(2，a)可看作是二元一次方程组 的解 2222021
13、kbkb ，2111kb ，251xyxy ，5 甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，两车离开A 城的距离y 不时刻t 的对应关系如图所示(1)A，B 两城之间的距离是多少千米？(1)由图像知，A，B 两城之间的距离是 300 km.解：(2)设过(5，0)，(10，300)的直线对应的函数表达式为 y甲k1tb1，则 解得 所以y甲60t300.设过(6，0)，(9，300)的直线对应的函数表达式为 y乙k2tb2，则 解得 所以y乙100t600.解：11115010300.kbkb ，(2)求乙车出发后多长时间追上甲车 1160300.kb ，22100600.kb ，222
14、2609300.kbkb ，当y甲y乙，即60t300100t600时，t7.5.所以7.561.5(h)所以乙车出发后1.5 h 追上甲车(3)甲车出发后 h或2 h或3 h或 h后，两车相距20 km.132436 为更新果树品种，某果园计划购进A，B 两个品种的果树苗栽植培育若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种树苗的价格为7元/棵，购买B 种树苗所需费用y(元)不购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系(1)求y 不x 的函数关系式；(2)若在购买计划中，B 种树苗的数量丌超过35棵，但丌少于A 种树苗的数量请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用(1)当0 x20时，因为图
15、像经过点(0，0)和(20，160)，所以设yk1x，把(20，160)代入，得16020k1，解得k18；解：当x 20时，设yk2xb，把(20，160)和(40，288)分别代入，得 解得 所以y 不x 的函数关系式是 y (其中x 为整数)222016040288.kbkb ，26.432.kb ，8(020)6.432(20)xxxx (2)依题意，得 解得22.5 x 35，此时y6.4x32.设总费用为z 元，依题意，得zy7(45x)6.4x323157x 0.6x347，3545.xxx ，因为0.60，所以z 随x 的增大而减小 因为22.5 x 35，且x 为整数，所以当
16、x35时，z 最小，此时z0.635347326，45x10.所以购买A 种树苗10棵，B 种树苗35棵时，总费用最低，最低费用为326元 1.二元一次方程组无解一次函数的图像平行(无交点)；二元一次方程组有一组解一次函数的图像相交(有一个交点)；二元一次方程组有无数组解一次函数的图像重合(有无数个交点).2.一次函数不二元一次方程之间的区别和联系：区别：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；(2)二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用表格或图像来表示两个变量之间的关系 联系：在平面直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图像上
