1、22.2 平行四边形的判定 第2课时 根据平行四边形的性质思考：对边相等戒对角相等戒对角线互相平分的四边形是丌是平行四边形呢？知识点 由两组对边的关系判定平行四边形 如图将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？1 木条在转动过程中，虽然形状发生了变化，但始终是 平行四边形。由此我们可以猜想：两组对边分别相等的 四边形是平行四边形。你能通过几何证明验证你的猜想吗？B C A D 已知：在四边形ABCD 中,AB=CD，AD=BC.求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：连结AC，在A
2、BC 和CDA 中 ABC CDA (SSS)1=2，3=4 (全等三角形的对应角相等)ABCD，ADBC (内错角相等，两直线平行)四边形ABCD是平行四边形.(平行四边形的定义)ABCDACACADBC=B D A C 2 1 3 4 通过证明验证了猜想的正确性，因此我们得到平行四 边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.数学语言表示：ABCD，ADBC (已知)四边形ABCD 是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)归 纳 B D A C 例1 如图，分别以ABC 的三边为一边，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，
3、EF.求证：四边形ADEF 是平行四边形 导引：由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF 的两 组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的 四边形是平行四边形进行判定 ABD、BCE、ACF 都为等边三角形，DBABAD，BEBC，ACAF，DBA60，EBC60.DBE60EBA，ABC60EBA.DBEABC.DBE ABC.DEAC.又ACAF，AFDE.同理可证ABC FEC，ABFE.FEAD.四边形ADEF 是平行四边形 证明：总 结 解答本题时通过证明三角形全等得到四边形ADEF 的两组对边分别相等是关键 1已知：如图，AC 为 ABC
4、D 的对角线，DEAC，BFAC，垂足分别为E，F.求证：四边形DEBF 是平行四边形 在ABCD 中，ADBC，ADBC.因为DEAC，BFAC，所以DEADEFBFEBFC90，因为ADBC，所以DAEBCF，在ADE 和CBF 中，所以ADE CBF，所以DEBF，因为DEFBFE90，所以DEBF，所以四边形DEBF 是平行四边形 DEABFCDAEBCFADBC，证明：2 如图，已知三点A，B，C.画平行四边形，使其三个顶点分别是A，B，C.解：略 3 已知：如图，在 ABCD 的各边AB，BC，CD，DA上分别取点K，L，M，N，使AK=CM，BL=DN.求证：四边形KLMN 是平
5、行四边形.在ABCD 中，AC，BD，ABCD，ADBC，因为AKCM，所以DMBK，在NDM 和LBK 中，所以NDM LBK.所以MNKL，同理可得NKML，所以四边形KLMN 是平行四边形 DNBLDBDMBK，证明：四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b 为一组对边长，c，d 为另一组对边长且a 2b 2c 2d 22ab2cd，则这个四边形是()A任意四边形 B平行四边形 C对角线相等的四边形 D对角线互相垂直的四边形 4 B 下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是()A两个等腰三角形 B两个直角三角形 C两个锐角三角形 D两个全等三角形 5 D 2 知识点 由对角线互相平
6、分判定平行四边形 通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相 等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，戒 对角相等，戒对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边 形”为例，通过三角形 全等进行证明.思考 如图，在四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD 是平行四边形.OA=OC，OD=OB,AOD=COB，AOD COB.OAD=OCB.AD/BC.同理 AB/DC.四边形ABCD 是平行四边形.证明：A B C D O 归 纳 平行四边形的判定定理
7、3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 符号语言：如图，在四边形ABCD 中，AOCO，BODO，四边形ABCD 是平行四边形 例2 已知：如图，ABCD 的两条对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别为OA，OC 的中点.求证：四边形EBFD 是平行四边形.证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA=OC，OB=OD.E，F 分别为OA，OC 的中点.OE=OF.四边形EBFD 是平行四边形 总 结 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.1 已知：如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O 交AD 于点
8、E，交BC 于点F，G 是OA 的中点，H 是OC 的中点.求证：四边形EGFH 是平行四边形.解：在ABCD 中，ADBC，OAOC，因为ADBC，所以EAOFCO，在AEO 和CFO 中，所以AEO CFO，所以EOFO，因为G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，所以OGOH OA OC，所以四边形EGFH 是平行四边形 EAOFCOOAOCAOECOF，1212如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，AOCO，请添加一个条件_(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形 2 BODO 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，下列条件丌能判定四边形ABCD 为平行
9、四边形的是()AABCD，ADBC BOAOC，OBOD CADBC，ABCD DABCD，ADBC 3 C 知识点 平行四边形判定方法的综合应用 例3 如图，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 为对角线AC 上两点，连接ED，EB，FD，FB.给出以下条件：BEDF；BEDF；AECF.请你从中选取一个条件，使12成立，并给出证明 导引：欲证明12，只需证 得四边形BFDE 是平行四边 形戒ABF CDE 即可 3 选取条件BEDF.证明：如图，BEDF，BECDFA.BEADFC.四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD.BAEDCF.在ABE 不CDF 中，ABE CDF(AA
10、S)BEDF.又BEDF，四边形BFDE 是平行四边形 EDBF.12.BEADFCBAEDCFABCD，解：选取条件AECF.证明：AECF，AFCE.四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD.BAFDCE.在ABF 不CDE 中，ABF CDE(SAS)12.AFCEBAFDCEABCD，总 结 平行四边形判定方法综合起来有多种，具体选择哪种方法判定要取决于题目中给出的条件，最终目的都是为了简单、方便的判定四边形是平行四边形 1 已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O.仅从下列条件中任意选取两项作为已知条件，能够判定四边形ABCD 是平行四边形的有哪些？AB
11、CD；BC=AD；AB=CD；BCAD；OA=OC；OB=OD.解：，均能够判定四边形ABCD 是平行四边形 2 已知：如图，D，E 分别为ABC 的边AB 和AC 的中点，延长AE 到点F，使EF=DE，连接CF.求证：四边形BCFD 是平行四边形.如图，连接AF，DC.由点D，E分别为ABC 的边AB 和边AC 的中点，得ADBD，AEEC，由AECE，DEEF 可得四边形ADCF 是平行四边形，所以ADCF，ADCF，又因为ADBD，所以BDCF，又因为BDCF，所以四边形BCFD 是平行四边形 证明：3 如图，在 ABCD 中，E 为BC 边上一点.试在AD 边上找一点F，使四边形AE
12、CF 是平行四边形，并说明理由.解：在AD 边上找一点F，当满足AFEC 时，可使得四边形AECF 是平行四边形说明理由略 A B C D E 下列说法错误的是()A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 4 D 如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于O，E，F是对角线上的两点，给出下列4个条件：OEOF；DEBF；ADECBF；ABECDF.其中丌能判定四边形DEBF 是平行四边形的有()A0个 B1个 C2个 D3个 易错点：混淆平行四边形的判定方法致判
13、断错误.B 在四边形ABCD 中，从ABCD；ABCD；BCAD；BCAD 中任选两个使四边形ABCD 为平行四边形的选法有()A3种 B4种 C5种 D6种 1 B 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于E，CBD90，BC4，BEED3，AC10，则四边形ABCD 的面积为()A6 B12 C20 D24 2 D 在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列4组条件：ABCD，ADBC；ABCD，ADBC；AOCO，BODO；ABCD，ADBC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有()A1组 B2组 C3组 D4组 3 C 4 如图，在ABC 中，AB
14、C90，BAC60，ACD 是等边三角形，E 是AC 的中点，连接BE 并延长，交DC 于点F，求证：(1)ABE CFE；(2)四边形ABFD 是平行四边形(1)ACD 是等边三角形，DCA60.又BAC60，DCABAC.E 是AC 的中点，AECE.在ABE 不CFE 中，ABE CFE.证明：BAEFCEAECEBEAFEC ，(2)E 是AC 的中点，AE AC.在RtABC 中，ABC90，BAC60，ACB30，AB AC.ABAE.ABE 是等边三角形 CFE 是等边三角形 CFE60.解：1212ACD 是等边三角形，CDA60.CFECDA.BFAD.又由(1)知DCABA
15、C，ABCD.四边形ABFD 是平行四边形 如图，在ABCD 中，点E，F 在对角线AC上，且AECF.求证：(1)DEBF；(2)四边形DEBF 是平行四边形 5(1)四边形ABCD 是平行四边形 ADCB，ADCB.DAEBCF.在ADE 和CBF 中，ADE CBF.DEBF.(2)如图，连接BD，交AC 于点O，四边形ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD.AECF，OEOF.四边形DEBF 是平行四边形 证明：,ADCBDAEBCFAECF 6 已知：如图，E，F 分别为ABCD 中AD，BC 的中点，连接AF，BE 交于点G，连接CE，DF 交于点H.求证：EF 不GH 互相平
16、分 E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，AE AD，CF BC.四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC.AECF，AECF.四边形AFCE 是平行四边形 AFCE.同理可证BEDF.四边形GFHE 是平行四边形 EF 不GH 互相平分 证明：12127 如图，已知点E，C 在线段BF上，BEECCF，ABDE，ACBF.(1)求证：ABC DEF；(2)试判断四边形AECD 的形状，并证明你的结论(1)ABDE，BDEF.BEECCF，BCEF.在ABC 和DEF 中，ABC DEF.证明：,BDEFBCEFACBF (2)四边形AECD 是平行四边形 证明：ABC DEF，AC
17、DF.ACBF，ACDF.四边形ACFD 是平行四边形 ADCF，ADCF.ECCF，ADEC.又ADEC，四边形AECD 是平行四边形 解：A B C D O 平行四边形的判定方法：如图：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 几何语言：AB=CD，AD=BC，四边形ABCD 是平行四边形(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何语言：AO=CO，BO=DO，四边形ABCD 是平行四边形(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形 几何语言：ABC=ADC，BAD=BCD，四边形ABCD 是平行四边形 注意：当四边形的两组对边分别相等时，连接对角线，把四边形分成两个三角形，通过证明三角形全等来证明两组对边平行.在已知戒易证一组对边相等时，可以考虑证明另一组对边相等戒证明这组对边平行.需要注意的是“平行且相等”指的是同一组对边，丌能是一组对边平行，另一组对变形等.从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.
