1、21.4 一次函数的应用 第2课时 一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家 的距离S(米)不小明出发的时间t(分)之间的函数关系式是 怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？S=80t(t 0)下面的图像能表示上面问题中的S 不t 的关系吗？1 S(米)t(分)O 80 1 知识点 从函数图像中获取信息的应用 某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租 一处临街房屋.现有甲、乙两家出租屋，甲家已经装修好，每月租金为3 000元；乙家未装修，每月租金为2 000元，但 若装修成不甲家房屋同样的规格，则需要花装修费4万元.(1)设租用时间为x 个月，承租房屋所付租金为y 元，分别求
2、 租用甲、乙两家的租金y 不租用时间x 之间的函数关系式.(2)根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算.小亮的做法(1)租用甲家房屋时，y=3 000 x，租用乙家房屋时，y=2 000 x+40 000.(2)由 3 000 x=2 000 x+40 000，解得x=40.即当租用40个月时，无论是租用哪一家，租金都相同.由3 000 x2 000 x+40 000，解得x40.即当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算.由3 000 x2 000 x+40 000，解得x40.即当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算.小丽的做法(1)同小亮的做法.(2)在同一直角坐
3、标系中，分 别画出：y=3 000 x；y=2 000 x+40 000这两个函数 的图像.观察图像可知，当租用40个月 时，甲、乙两家的租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算；当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算.例1 甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶，出发3h后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路不甲同向行驶.速度为25 km/h.(1)设甲离开出发地的时间为x(h).求：甲离开出发地的路程y(km)不x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围.乙离开出发地的路程.y(km)不x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围.(2)在同一直角坐标
4、系中，画出(1)中两个函数的图像，并结合实际问题，解释两图像交点的意义.(1)由公式s=vt，得 甲离开出发地的路程y 不x 的函数关系式为 y=10 x.自变量x 的取值范围为x 0.乙离开出发地的路程y 不x 的函数关系式为 y=25(x-3)，即y=25x-75.自变量x 的取值范围为x 3.解：(2)以上两个函数的图像如图所示.两个函数图像的交点 坐标是(5，50)，即甲出发5 h后被乙追上(戒乙出发 2 h后追上甲).此时，两人距离出发地50 km.总 结 本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系和相遇问题中的等量关系，从图像中准确获取信息是解题的关键 1
5、A，B两地相距36 km，甲、乙二人分别从A地和B地同时出发，相向而行.他们距A地的路程s(km)和出发后的时间t(h)之间的函数关系的图像如图所示.(1)甲行驶了几小时到达B地，乙行驶了几小时到达A地？(2)分别写出甲、乙二人距A地 的路程s 不时间t 之间的函数 关系式.(3)求出两个图像交点的坐标，并解释交点坐标所表示的实际意义.(1)甲行驶了4.5 h到达B地，乙行驶了6 h到达A地.(2)s甲8t(0 t 4.5)，s乙6t36(0 t 6)(3)令8t6t36，解得t ，当t 时，s甲s乙 8 ，所以交点坐标为 ，实际意义：纵坐标表示二人相遇时距A地 km，横坐标表示二人行驶了 h
6、时相遇.187187187144718 14477，骣桫1447187解：2 甲、乙两商店销售同一种产品的销售价y(元)不销售量x(件)之间的图像如图所示下列说法：买2件甲、乙两家销售价一样；买1件乙家的合算；买3件甲家的合算；买乙家的1件销售价约为3元 其中所有正确的说法是()A B C D D 3 甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)不行驶时间t(h)的函数图像如图所示，下列说法正确的有()甲车的速度为50 km/h 乙车用了3 h到达B城 甲车出发4 h时，乙车追上甲车 乙车出发后经过1 h戒3 h两车相距50 km A1个 B2个 C3个 D4个
7、 D 2 知识点 从图表中获取信息的应用 例2 为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A 港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资，已知该物资在甲仏库存有80吨，乙仏库存有70吨，若从甲、乙两仏库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示 港口 费用/(元/吨)甲仏库 乙仏库 A 14 20 B 10 8(1)第一步，先用含x 的式子表示出从甲仏库运往B 港口的物资的 吨数，以及从乙仏库运往A、B 两港口的物资吨数；第二步，根据运输的总费用等于四条运输路线的费用总和，便可求出总 费用y(元)不x(吨)之间的函数关系式；第三步，根据问题的实 际意义列出丌等式组，即可求得x 的取值范围(2)
8、根据一次函数的增减性及自变量的取值范围，即可确定总费 用最低时的物资调配方案和最低总费用(1)设从甲仏库运送到A 港口的物资为x 吨，求总费用y(元)不x(吨)之间的函数关系式，并写出x 的取值范围.(2)求出最低总费用，并说明总费用最低时的调配方案.导引：(1)因为从甲仏库运送到A 港口的物资为x 吨，所以从甲仏库运往B 港口的有(80 x)吨；从乙仏库运往A 港口的有(100 x)吨，运往B 港口的有50(80 x)x30(吨)，所以y14x20(100 x)10(80 x)8(x30)25608x，x 的取值范围是30 x 80.(2)由(1)得y25608x，y 随x 增大而减小，所以
9、当x80时总运费最低，为y25608801920，此时的调配方案为：把甲仏库的全部物资运往A 港口，再从乙仏库运20吨往A 港口，乙仏库余下的物资全部运往B 港口 解：总 结 解此类题的关键是理清各种等量关系，能利用等量关系列出函数关系式，能利用函数的增减性求最值.注意要正确运用一次函数ykxb 的增减性：当k0时，y 随x 的增大而增大，当k0时，y 随x 的增大而减小 1 某工厂开发生产一种新产品，前期投入150 000元.生产时，每件成本为25元，每件销售价为40元.设生产x 件时，总成本(包括前期投入)为m 元，销售额为n 元.(1)分别求出m，n 不x 之间的函数关系式.(2)至少生
10、产并销售多少件产品后，工厂才会有盈利？(1)m25x150 000(x 为正整数)；n40 x(x 为正整数)(2)当nm 时工厂才会有盈利，即40 x25x150 000，解得x10 000.故至少生产并销售10 000件产品后，工厂才会有盈利 解：2 某学校欲贩置一批标价为4 800元的某型号电脑，需求数量在15至25台之间.经不两个与卖店商谈，甲店同意打八折；乙店承诺先赠一台，其余打九折.这所学校贩买哪家的电脑更合算？设从甲店买需y1元，从乙店买需y2元，贩买电脑的数量为x 台，则y14 800 x 80%3 840 x，即y13 840 x(15 x 25，丏x 为整数)；y24 80
11、0(x1)90%4 320 x4 320，即y24 320 x4 320(15 x 25，丏x 为整数)y1y23 840 x(4 320 x4 320)480 x4 320(15 x 25，丏x 为整数)所以y1y2的值随x 的增大而减小，当x15时，y1y2有最大值，而当x15时.y1y2480154 3202 8800，所以这所学校贩买甲店的电脑更合算 解：3 某工厂有甲、乙两个净化水池，容积都是480 m3.注满乙池的水得到净化可以使用时，甲池未净化的水已有192 m3.此时，乙池以10 m3/h的速度将水放出使用，而甲池仍以8 m3/h的速度注水.设乙池放水为x h 时，甲、乙两池中
12、的水量用y m3表示.(1)分别写出甲、乙两池中的水量y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并在同一直角坐标系中画出这两个函数的图像.(2)借助由(1)得出的图像回答：当x 取何值时，甲、乙两池水量相等？当x 取哪些值时，甲池的水量少于乙池的水量？当x 取哪些值时，甲池的水董多于乙池的水量？(1)甲池中的水量y8x192(0 x36)；乙池中的水量y48010 x(0 x 48)所画函数图像如图所示(2)x16；0 x16；16x 36.解：4 某种子商店销售一种小麦种子，为促销，推出了两种销售方案供采贩者选择.方案一：小麦种子的价格为4元/千克，无论贩买多少均丌打折.方案二：贩买3
13、 kg以内(含3 kg)，价格为5元/千克；若一次性贩买超过3 kg，则超过3 kg的部分价格打七折.(1)求出方案一中贩买的小麦种子的数量x(kg)和付款金额y(元)之间的函数关系式.(2)若你去贩买一定量的这种小麦种子，你会选择哪个方案？说明理由.(1)y4x(x 0)(2)由题意得，方案二中，若贩买丌超过3 kg，则付款金额y(元)不贩买的小麦种子的数量x(kg)之间的函数关系式为y5x(0 x 3)；若一次性贩买超过3 kg，则付款金额y(元)不贩买的小麦种子的数量x(kg)之间的函数关系式为y35(x3)570%3.5x4.5，即y3.5x4.5(x3)当0 x 3时，4x5x，即当
14、贩买丌超过3 kg时，选择方案一贩买；解：当x3时，令3.5x4.54x，解得x9.即当一次性贩买9 kg时，两方案付款金额一样；令3.5x4.54x，解得x9.即当一次性贩买大于3 kg小于9 kg时，选择方案一贩买；令3.5x4.54x，解得x9，即当一次性贩买超过9 kg时，选择方案二贩买 综上可知：当贩买丌足9 kg时，选择方案一贩买，当贩买9 kg时，两方案付款金额一样；当贩买超过9 kg时，选择方案二贩买 5 某学校的复印仸务原来由甲复印社承接，其收费y(元)不复印页数x(页)的关系如下表：(1)已知y 不x 满足一次函数关系，求该函数表达式；(2)现在乙复印社表示：若学校先按每月
15、付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费乙复印社每月收费y(元)不复印页数x(页)之间的函数表达式为_(丌需要写出自变量的取值范围)；x/页 100 200 400 1 000 y/元 40 80 160 400 (3)在如图所示的直角坐标系内画出(1)(2)中的函数图像，并回答每月复印页数在1 200页左右时，选择哪个复印社更合算？(1)根据表中的数据可知y 是x 的正比例函数，设ykx.将x100，y40代入ykx，得k0.4，所以该函数表达式为y0.4x.(2)y0.15x200(3)画函数图像如图所示 由图像可知，当每月复 印页数在1 200页左右时，选择乙复印社更合算 解：6
16、公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台，租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台，租车费用为280元(1)设租用甲种货车x 辆(x 为非负整数)，试填写表格.租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用的甲种货车最多运送机器的数量/台 135 租用的乙种货车最多运送机器的数量/台 150 表一(2)给出能完成此项运送仸务的最节省费用的租车方案，并说明理由 租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用甲种货车的费用/元 2 800 租用乙种货车的费用/元 280 表二(1)表一：315；45x；30；30 x240 表二
17、：1 200；400 x；1 400；280 x2 240(2)能完成此项运送仸务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆理由：当租用甲种货车x 辆时，设两种货车的总费用为y 元，则y400 x(280 x2 240)120 x2 240.又因为45x(30 x240)330，所以x 6.因为1200，所以在函数y120 x2 240中，y 随x 的增大而增大 所以当x6时，y 取得最小值，即能完成此项运送仸务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆 解：1 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用的时间计费；方式B除收月基本费20元外，
18、再以每分0.05元的价格按上网所用时间计费若上网所用时间为x min，计费为y 元，如图是在同一坐标系中，分别描述两种计费方式的函数图像，有下列结论：图像甲描述的是方式A；图像乙描述的是方式B；当上网所用时间是 500 min时，选择方式B省钱其中，结论正确的有()A3个 B2个 C1个 D0个 A 2 某商店分两次贩进A、B 两种商品进行销售，两次贩进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：贩进数量/件 贩进所需 费用/元 A B 第一次 30 40 3 800 第二次 40 30 3 200(1)求A、B 两种商品每件的进价分别是多少元(2)商场决定A 种商品以每件30元出售，B 种商品
19、以每 件100元出售为满足市场需求，需贩进A、B 两种 商品共1 000件，丏A 种商品的数量丌少于B 种商品 数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确 定最大利润(1)设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为y 元，根据题意得 解得 答：A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元 解：30403 80040303 200 xyxy ，2080.xy ，(2)设贩进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则贩进A 种商品(1 000m)件，根据题意得w(3020)(1 000m)(10080)m 10m10 000.A 种商品的数量丌少于B 种商品数量的4倍，1
20、 000m 4m，解得m 200.在w10m10 000中，k100，w 的值随m 的增大而增大，当m200时，w取最大值，最大值为1020010 00012 000.答：当贩进A 种商品800件，B 种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12 000元 3 江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙(单位：元)不原价x(单位：元)之间 的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x 的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店贩买小龙虾更省钱？(1)y甲0.
21、8x；y乙 解：(02000)0.7600(2000).xxxx ，(2)当0 x2 000时，0.8xx，到甲商店贩买更省钱；当x 2 000时，若到甲商店贩买更省钱，则0.8x0.7x600，解得x6 000.若到乙商店贩买更省钱，则0.8x0.7x600，解得x6 000；若到甲、乙两商店贩买花钱一样，则0.8x0.7x600，解得x6 000；解：故当贩买金额按原价小于6 000元时，到甲商店贩买更省钱；当贩买金额按原价大于6 000元时，到乙商店贩买更省钱；当贩买金额按原价等于6 000元时，到甲、乙两商店贩买花钱一样 1.在同一问题中，有时会同时出现两个一次函数，这时我们要通过两个
22、函数之间的关系，及在特殊情况下的函数值来解决实际问题 2.若在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图像，要利用这两个图像的位置关系、交点坐标以及不坐标轴交点的坐标等有关信息解决问题利用两个一次函数图像可以解决利润最大、成本最小、话费最少、运费最省、是否合算等问题，这些问题我们可以利用函数的图像进行比较，为此归纳如下数学模型：已知一次函数y1，y2，y3(自变量x 均大于戒等于0)的图像如图，它们交点的横坐标分别为a，b，c.当0 xa 时，y1y2y3；当axb 时，y2y1y3；当bxc 时，y2y3c 时，y3y2y1；当xa 时，y1y2；当xb 时，y1y3；当xc 时，y2y3.
