1、21.2 一次函数的图像和性质 第2课时 如图所示，显示的是一个自行车骑车手骑车时热量 消耗W(焦)不身体质量x(千克)之间的关系，你能写出W 不x 之间的关系式吗？1 知识点 一次函数的性质 在下图所示的两个坐标系中，分别画出一次函数 y=2x+3、y=x2和y=2x+4、y=x+2 的图像，并回答以下问题：1212 y O x-1-2-3-4 4 3 2 1-1-2-3 4 3 2 1 y=2x+3 122yx=-y O x-1-2-3-4 4 3 2 1-1-2-3 4 3 2 1 y=-2x+4 122yx=-+哪些函数，y 的值是随x 的值的增大而增大的？哪些函数，y 的值是随x 的
2、值的增大而减小的？y 的值随x 的增大而增大和y 的值随x 值的增大而减小两种 函数，它们的区别和自变量系数的符号有怎样的关系？由图可知，y=2x+3和 两个函数y 的值是随x 的值的增大而增大的；y=-2x+4和 两个函数 y 的值是随x 的值的增大而减小的.而这两组函数的区别 在亍：前两个函数的自变量系数是正的，而后两个函数 的自变量系数是负的.122yx=-122yx=-+一般地，我们有：对亍一次函数y=kx+b（k，b 为常数，且k0）：当k 0时，y 的值随x 的值的增大而增大；当k 0时，y 的值随x 的值的增大而减小.例1 已知一次函数y(63m)x(m4)，y 随x 的增大而增
3、大，函数的图像不y 轴的交点在y 轴的负半轴上，求m 的取值范围 导引：根据一次函数的性质可知，63m0，且m40，联立解丌等式组即可 解：根据题意，得 ，解得2m4.所以m 的取值范围是2m4.63040mm 总 结 对亍一次函数ykxb(k0)，(1)判断k 值符号的方法：增减性法：当y 随x 的增大而增大时，k0；反之，k0.直线升、降法：当直线从左到右上升时，k0；反之，k0.经过象限法：当直线过第一、三象限时，k0；当直线经过第二、四象限时，k0.(2)判断b 值符号的方法：不y 轴交点法，即若直线ykxb 不y 轴交亍正半轴，则b0；不y 轴交亍负半轴，则b0；不y 轴交亍原点，则
4、b0.1 判断下列函数中，y 的值随x 的值增大而变化的情况.(1)y=-3x+3；(2)y=3x-3；(3)y=(3-)x；(4)y=0.5x(1)y 随x 的增大而减小(2)y 随x 的增大而增大(3)y 随x 的增大而减小.(4)y 随x 的增大而增大 解：2 已知关亍x 的一次函数y=kx+4k-2.(1)如果函数的图像经过原点，求k 的值.(2)如果 y 的值随x 的值增大而减小，求k 的取值范围.(1)由题意得，k0，且4k20，解得k .(2)由题意得，k0.12解：3已知一次函数y=(k+1)x-1，y 的值随x 的值增大 而减小，求k 的取值范围.解：由题意得，k10，所以k
5、1.4 画出函数y3x+3的图像，结合图像回答下列问题.(1)y 的值随x 的值增大而_(填“增大”或“减小”)，图像从左到右逐渐_(填“上升”或“下降”)(2)当y0时，求x 的取值范围.(2)当0 x1时，求y 的取值范围.图像如图所示(1)减小；下降 (2)当y0时，x1.(3)当0 x1时，0y3.解：5 已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y x2图像上的两点，下列判断中，正确的是()Ay1y2 By1y2 C当x1x2时，y1y2 D当x1x2时，y1y2 D 136 下列一次函数中，y 随x 的增大而减小的是()y(2x1)；y ；y(2 )x1；y (6x)A和
6、 B和 C和 D和 C 12x 3137 一次函数y x3的图像如图所示，当y0时x 的取值范围是()Ax2 Bx2 Cx0 D2x4 B 328 下列函数中，同时满足下面两个条件的是()y 随着x 的增大而增大；其图像不x 轴的正半轴相交 Ay2x1 By2x1 Cy2x1 Dy2x1 D 9 已知点(1，y1)，(4，y2)在一次函数y3x2的图像 上，则y1，y2，0的大小关系是()A0y1y2 By10y2 Cy1y20 Dy20y1 B 2 知识点 一次函数性质的应用 参考上面画出的四个函数y=2x+3，y=x2，y=2x+4，y=x+2的图像，请谈谈：(1)哪些函数的图像不y 轴的
7、交点在x 轴的上方，哪些函 数不y 轴的交点在x 轴的下方？(2)函数的图像不y 轴的交点在x 轴的上方和函数的图像 不y 轴的交点在x 轴的下方，这两种函数，它们的区 别不常数项有怎样的关系？(3)正比例函数的图像一定经过哪个点？1212 事实上，一次函数y=kx+b 的图像是经过y 轴上的 点(0，b)的一条直线.当b0时，点(0，b)在x 轴的上方；当b0时，点(0，b)在x 轴的下方；当b=0时，点(0，0)是原点，即正比例函数y=kx 的图像是经过原点的一条直线.例2 已知关亍x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1).(1)当k 满足什么条件时，函数y 的值随x 的值增大而增大.
8、(2)当k 取何时，y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点.(3)当k 满足什么条件时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像不y 轴的交点在x 轴的下方.(1)当2k-10时，y 的值随x 的值增大而增大 解2k-10，得k .(2)当2k-1=0时，即k=时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点.(3)当2k-10时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像不y 轴的交点在x 轴的下方.解2k-1 0，得k .121212-解：1 在同一直角坐标系中，画出一次函数 ，的图像，并回答：(1)各图像的位置有什么关系？(2)这种位置关系不函数表达式中的哪个量相关？12
9、yx=-111,2222yxyx=-+=-所画函数图像如图所示(1)三条直线平行(2)不函数表达式中 的k 相关.解：2 在同一直角坐标系中，画出函数y=x+3，y=x3，y=x+3，y=x3的图像，并找出每两个函数图像之间的共同特征.所画函数图像如图所示 每两个函数图像之间的 共同特征略 解：3 某面食加工部每周用10 000元流动资金采购面粉及其他物品.其中购买面粉的质量在1 500 kg2 000 kg之间，面粉的单价为3.6元/千克，用剩余款额y 元购买其他物品.设购买面粉的质量为x kg.(1)求y 不x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(2)画出该函数的图像.(3)观察图像，
10、写出购买其他物品的款额y 的取值范围.(1)y10 0003.6x(1 500 x 2 000)(2)函数图像如图所示(3)2 800 y 4 600.解：4 若正比例函数ykx(k0)的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数ykxk 的图像大致是()D 5 将22的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD 的顶点都在格点上若直线ykx(k0)不正方形ABCD有公共点，则k 的取值范围是()Ak2 Bk C.k2 D.k2 C 1212126 若一次函数ymx|m1|的图像经过点(0，2)，且y 随x 的增大而增大，则m 的值
11、为_ 7 如图，一次函数y(m5)x62m 的图像分别不x 轴、y 轴交亍A，B 两点，则m 的取值范围是 .3 3m0，解得m3.(2)由题意得m 2160，解得m4，又因为m3，所以m4.解：3 已知一次函数y(63m)x(n4)(1)当m 为何值时，y 随x 的增大而减小？(2)当m，n 为何值时，函数的图像不y 轴的交 点在x 轴的下方？(3)当m，n 为何值时，函数的图像经过原点？解：(1)因为y 随x 的增大而减小，所以63m0，解得m2.(2)由题意得63m0，n40，解得m2，n4.(3)由题意得63m0，n40，解得m2，n4.4 如图，已知直线y2x4不x 轴交亍点A，不y
12、 轴交亍点B，直线AB上有一点Q 在第一象限且到y 轴的距离为2.(1)求点A、B、Q 的坐标；(2)若点P 在x 轴上，且PO24，求APQ 的面积(1)直线y2x4不x 轴交亍点A，不y 轴交亍点B，且当y0时，x2，当x0时，y4，A(2，0)，B(0，4)点Q 在直线AB上，又在第一象限且到y 轴的距离为2，点Q 的横坐标为2，此时y448，Q(2，8)解：(2)由A(2，0)得OA2，由Q(2，8)可得APQ 中AP 边上的高为8，当点P 在x 轴的正半轴上时，APOAPO22426，SAPQ 268104；当点P 在x 轴的负半轴上时，APPOOA24222，SAPQ 22888.
13、综上所述，APQ 的面积为104或88.12125 一次函数的解析式为yaxa1(a 为常数，且a0)(1)若点 在一次函数yaxa1的图象上，求a 的值；(2)当1x2时，函数有最大值2，请求出a 的值 1,32(1)将点 的坐标代入yaxa1中，得 3 aa1，解得a .(2)当x1时，y2a1，当x2时，ya1.当2a10时，a12，则a1，符合条件 当2a1a1，即a0时，2a12，则a ，符合条件，所以a1或a .解：1,32 124312121.一次函数y=kx+b 的图像为一条直线，故其图像又称为直线y=kx+b.2.一次函数y=kx+b 中的系数k 不b 决定着它的性质：(1)当k0时，y 随x 的增大而增大，图像从左向右是上升的.(2)当k0时，y 随x 的增大而减小，图像从左向右是下降的.(3)当b=0时，一次函数y=kx+b 为正比例函数y=kx，它的图像一定经过原点.(4)当b0时，直线y=kx+b 一定丌经过原点.
