1、 专题专题 17 17 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1 （2022 运城模拟）如图，点 O 是ABC 的外心（三角形三边垂直平分线的交点） ，若BOC=96 ，则A 的度数为（ ） A49 B47.5 C48 D不能确定 2 （2022 运城模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中 a的值为（ ） A2 B3 C1.7 D1.8 3（2022 山西模拟）如图， 是 的直径， 点C是 上一点， 且点D是的中点， 过点D作 的切线与的延长线交于点 E，连接若 = 8， = 10，则直径的长为（ ） A12 B252 C254 D325 4 （2022 太
2、原模拟）“又是一年三月三”在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架已知 = ， = ， = ， 的周长为24， = 3制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（ ） A44 B45 C46 D48 5 （2022 吕梁模拟）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 ， 的中点 O 固定，只要测得 C，D 之间的距离，就可知道内径 的长度此方案依据的数学定理或基本事实是（） A边角边 B三角形中位线定理 C边边边 D全等三角形的对应角相等 6（2022 吕梁模拟）如图， 在矩形 按以下步骤作图： 分别以点A和C为圆
3、心， 以大于 12 的长为半径作弧， 两弧相交于点 M 和 N； 作直线 交 于点 E； 连接 ， 若 = 3 ， = 33 ，则 的度数为（） A20 B35 C25 D30 7 （2022 晋中模拟）如图，在 ABC 中，C90 ，以 OA 为半径的半圆经过 Rt ABC 的顶点 B，交直角边 AC 于点 E，且 B，E 是半圆的三等分点，弧 BE 的长为43，则图中阴影部分的面积为（ ） A38 B83 C6338 D6383 8 （2022 山西模拟）如图，在 中， = 6，以点 A 为圆心，3 为半径的圆与边相切于点 D，与，分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧上一点， = 18
4、，则的度数是（ ） A50 B48 C45 D36 9 （2022 交城模拟）如图，在菱形 ABCD 中，ADC=120 ，AB=4，连结 AC，在 AC 上取一点 F，使CF=CD，连结 DF，则 AF 的长是（ ） A62 4 B43 4 C23 D174 10 （2022 交城模拟）如图，正方形 ABCD 的边长是6 +2，以正方形对角线的一半 OA 为边作正六边形，其中一边与正方形的边 CD 交于点 E，再以点 O 为圆心 OE 为半径画弧交 AD 于点 F，则图中阴影部分的的面积为（ ） A3 + 3 +23 B32+32+23 C2 + 3 D32+32+ 二、填空题二、填空题 1
5、1（2022 山西）如图， 在正方形ABCD中， 点E是边BC上的一点， 点F在边CD的延长线上， 且 = ，连接 EF 交边 AD 于点 G过点 A 作 ，垂足为点 M，交边 CD 于点 N若 = 5， = 8，则线段 AN 的长为 12 （2022 阳泉模拟）如图，含 30 角的直角三角板的直角顶点 C 落在直尺下边沿上，60 角的顶点 A落在直尺上边沿，直角边 CD 与直尺上边沿交于点 B若133 ，则2 13 （2022 阳泉模拟）如图，边长为1 + 3的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上一点，连接 CE，将 CE 绕点 C 顺时针旋转 90 得到 CF，连接 EF 和
6、DF 若 EF2BE，则 BE 的长为 14 （2022 吕梁模拟）如图，在 中， = 90 ， = = 4 ，点 D 是 边上一点，且 = 3 ，连接 ，并取 的中点 E，连接 并延长，交 于点 F，则 的长为 15 （2022 侯马期末）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AD 边的中点将ABE 沿 BE 折叠得到 ，连接 AC，分别交 BE， 于点 F，G，则 FG 的长为 16 （2022 平遥模拟）工人师傅常常利用角尺平分一个角如图，在AOB 的两边 OA、OB 上分别任取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M、N 重合，这时过角尺顶点 P 的射
7、线 OP就是AOB 的平分线的依据是 （选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“HL”、“ASA”） 17（2022 平遥模拟）如图， 在菱形ABCD中， = 60， 点E， F分别在边AB， BC上， = = 2， 的周长为36，则菱形边长为 18（2022 云州模拟）如图， 在 中， = 90， = 6， ，点 D，E 分别是，上的点，且 （1）尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母 （保留作图痕迹） 作线段的垂直平分线交于点 F； 在边上取一点 G，使得 = ； 连接 （2）观察与思考：线段，间满足怎样的等量关系，请直接写出你发现的结论 23 （2022 侯马期末） （1）
8、综合与实践 问题背景： 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB5，BC4，ADCD，连接 AC，ACBC，过点 C 作 CEAB 于点 E，且 CECD 求证：ADAE （2）操作探究： 如图 2，将ACD 沿直线 AB 方向向右平移一定距离，点 A，C，D 的对应点分别为点 ， ， ，且点 与点 E 重合 连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由； 求出ACD 平移的距离 （3）若将ACD 继续沿直线 AB 方向向右平移，当点 恰好落在 BC 边上时，请在图 1 中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。 （4）拓展创新： 如图 3，在（2）的条件下，将 绕点 E 按顺时针方向旋转一定角度，
9、在旋转的过程中，记直线 分别与边 AB，BC 交于点 N，M 当 时，请直接写出 BN 的长 24 （2022 平遥模拟）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于 1678 年发表的直线论 ，是意大利数学家塞瓦的重大发现塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家 定理内容：如图 1，塞瓦定理是指在 内任取一点，延长 AO，BO，CO 分别交对边于 D，E，F，则= 1 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、 三线共点等问题的判定方法， 是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理， 具有重要的作用 任务解决： （1）如图 2，当点 D
10、，E 分别为边 BC，AC 的中点时，求证：点 F 为 AB 的中点； （2）若 为等边三角形（图 3） ， = 12， = 4，点 D 是 BC 边的中点，求 BF 的长，并直接写出 的面积 25 （2022 运城模拟）阅读理解题 定义：如果一条直线把三角形的面积分为相等的两部分，那么我们称这条直线是三角形的一条等分线，我们知道三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，那么三角形的一条中线所在的直线就是该三角形的一条等分线如图 1，点 D 是 BC 的中点，那么直线 AD 就是ABC 的一条等分线 （1）任务一：如图 1，若B30 ，C45 ， = 22，则ABD 的面积为 （2）任务
11、二：如图 2，点 A（1，4） ，点 B（4，2） ，连接 OA，AB，OB，直线 l 经过点 A，且直线l 是OAB 的等分线，请在图 2 中画出直线 l（无需尺规作图） ，并求出直线 l 的表达式 （3）任务三：如图 3，点 A（3，6） ，ABx 轴于点 B，连接 OA，点 P（1，m）是 OA 上一点， 点 Q 是 AB 上一点，若直线 PQ 是AOB 的等分线，则点 Q 的坐标为 26 （2022 运城模拟）如图，AB 是O 的直径，点 C 是 AB 上一点，ACBC，AC 的垂直平分线交O于点 E，交 AC 于点 D，过点 A 作O 的切线交 CE 的延长线于点 F （1）求证：E
12、AEF； （2）若 OD1，OC2，求 AF 的长 27 （2022 晋中模拟）综合与探究： 如图，抛物线 yax bx3 与 x 轴交于 A，B（3，0）两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点C，且 OA13OB，点 D 是抛物线上一动点，设点 D 的横坐标为 m（0mAC BEED=BCCA1 BEED=3102 BE=9102 则 BD=BE2+DE2=(9102)2+(3102)2=15 BC=BD+DC=18AC=6 SABC=12ACBC=12 6 18=54，符合题意 若 BE=1023102=DE，不符合题意舍去 故答案为：54 【分析】过点 D 作 DEAB 于
13、 E，先证明BEDBCA 可得 BDBA=DEAC，再设 BE=x，则AB=BE+EA=x+3102 ，然后将数据代入比例式可得 x2+452x+3102=3106，求出 x 的值，即可得到 BE的长，再求出 BC 的长，最后利用三角形的面积公式求解即可。 19 【答案】14 【解析】【解答】解：如图，连接 OA、OD、AD， OA=OB， = 22， = 22， RtAOC 中， = 2， = 22， CAO=30 ，COA=60 ， OA=OB， OAB=OBA=30 ， RtABC 中， =33 =33 32 = 6， 点 D 是的中点， ODAB， AOD=BOD=60 ， OA=OD
14、=22， AOD 是等边三角形， OAD=60 ，AD=22， CAD=90 ， RtADC 中， = 2+ 2=(6)2+ (22)2= 14 故答案为：14 【分析】连接 OA、OD、AD，先求出OAB=OBA=30 ，再利用含 30 角的直角三角形的性质可得 =33 =33 32 = 6，再证明CAD=90 ，最后利用勾股定理求出 CD 的长即可。 20 【答案】2 【解析】【解答】解：在 RtABC 中， BC=a，AC=a+3 =12 =12 a（a+3）=122+32 小正=（ ）2= ( + 3 )2= 9 大正= 4+ 小正= 29，即 4 （122+32）9=29 解方程得：
15、a2+3a=10 （a+32）294=10 解得：a=2（负值舍去） 故答案为：2 【分析】利用大正= 4+ 小正= 29可得 4 （122+32）9=29，求出 a 的值即可。 21 【答案】（1）解：四边形 AMDN 为矩形 理由如下：点 M 为 AB 的中点，点 D 为 BC 的中点， MDAC， AMD+A=180 ， A=90 ， AMD=90 ， EDF=90 ， A=AMD=MDN=90 ， 四边形 AMDN 为矩形； （2）解：在 RtABC 中，A=90 ，AB=6，AC=8， B+C=90 ， = 2+ 2= 10 点 D 是 BC 的中点， CD=12BC=5 EDF=9
16、0 ， MDB+1=90 B=MDB， 1=C ND=NC 过点 N 作 NGBC 于点 G，则CGN=90 CG=12CD=52 C=C，CGN=CAB=90 ， CGNCAB =，即528=10， =258； （3） =257 【解析】【解答】解： （3）延长 ND 至 H，使 DH=DN，连接 MH，NM，BH， MDHN，MN=MH， D 是 BC 中点， BD=DC， 又BDH=CDN， BDHCDN， BH=CN，DBH=C， BAC=90 ， C+ABC=90 ， DBH+ABC=90 ， MBH=90 ， 设 AM=AN=x，则 BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=2
17、x， 在 RtBMH 中，BM2+BH2=MH2， (6-x)2+(8-x)2=(2x)2， 解得 x=257， 线段 AN 的长为257 【分析】 （1）由三角形中位线定理可得 MD/AC，可证A=AMD=MDN=90 ，即可求解； （2）过点 N 作 NGBC 于点 G，则CGN=90 ，证明CGNCAB，可得=，即528=10，再求出 =258即可； （3） 延长 ND 至 H， 使 DH=DN， 连接 MH， NM， BH， 先证明BDHCDN， 可得 BH=CN， DBH=C，再求出MBH=90 ，设 AM=AN=x，则 BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=2x，利用勾股定
18、理可得(6-x)2+(8-x)2=(2x)2，求出 x 的值即可。 22 【答案】（1）解：如图所示，即为所求作的图形 分别以 A、B 为圆心，大于12长为半径画弧，两弧分别交于点 M、N，连接 MN，交 DE 于 F，线段的垂直平分线 MN 即为所作，如图所示 以 B 为圆心，EF 长为半径画弧，交 BC 于点 G，则 BG=EF 连接 EG （2）解：2+ 2= 2 分别连接 AF、BF，如图所示， DEBC，BG=EF， 四边形 EFBG 是平行四边形， BF=EG， MN 是线段 AB 的垂直平分线， AF=BF， AF=EG DEBC，C=90 ， AEF=90 ， 在 中，由勾股定
19、理得：2+ 2= 2 ， 即2+ 2= 2 【解析】【分析】 （1）根据题意作图即可； （2）先求出 四边形 EFBG 是平行四边形， 再求出 AF=BF， 最后利用勾股定理计算求解即可。 23 【答案】（1）证明：ADCD，CEAB， ADCAEC90 又CDCE，ACAC， RtACDRtACE ADAE （2）解：四边形 是菱形 理由：由平移的性质，得 ， = 四边形 是平行四边形 由（1） ，得 ADAE 四边形 是菱形 AECACB90 ，CAEBAC， ACEABC = ， 在 RtABC 中， = 2 2= 3 3=35 ，解得 =95 ACD 平移的距离为 95 （3）解：所作
20、图形如解图所示 由平移的性质，得43， ， = 1 = 2 ， = = 90 由（1） ，得23， 14， 5B = ， = 由（2） ，得 =95 ， = =95 = =75 继续平移的距离为 75 （4）5340 【解析】【解答】解： （4） 5340 ， = ， = 易得ACDB = = = = =12 =12 ， =125 = = =125 由旋转的性质，得 = =95 ， = = 90 设 = = ，则 =125 在 中，根据勾股定理， (95)2+(125 )2= 2 解得 =158 = =5340 【分析】 （1）利用“HL”证明 RtACDRtACE，即可得到 AD=AE； （
21、2）先证明四边形 是平行四边形，再结合 ADAE，即可得到四边形 是菱； 先证明ACEABC，可得=，然后利用勾股定理求出 AC 的长，最后将数据代入计算可得AE 的长，从而得到答案； （3）先求出 = =95，再利用线段的和差可得 = =75，从而得到答案； （4）设 = = ，则 =125 ，根据勾股定理可得(95)2+(125 )2= 2，求出 x 的值，最后利用线段的和差可得 = =5340。 24 【答案】（1）证明：在 中，点 D，E 分别为边 BC，AC 的中点， = ， = 由赛瓦定理可得：= 1 = 1， = 即点 F 为 AB 的中点； （2）解： 为等边三角形， = 12
22、， = = 12 点 D 是 BC 边的中点， = = 6， = 4， = 8 由赛瓦定理可得： = 8； = 63 【解析】【解答】(2)过点 F 作 FGBC 于 G， = cos60 = 4， = sin60 = 43， CG=BC-BG=8， AB=AC，BD=CD， ADBC， ， ， =，即43=68， = 33， =12 = 183， AB=12，BF=8， AF=AB-BF=4， =12， =12 又=34 122= 363， =23= 243， = = 63 【分析】（1） 由线段中点的定义可得 BD=CD， CE=AE， 由赛瓦定理可得= 1， 即得AF=BF，继而得解；
23、（2）由等边三角形的性质可得 BC=AC=12，从而求出 CE=AC-AE=8，由线段的中点可得 BD=CD =6，由赛瓦定理可求出 BF=8.过点 F 作 FGBC 于 G，利用锐角三角函数可求出 BG、FG、CG，根据平行线可证 ，利用相似三角形的性质可求出 OD=33，从而求出=12 =183，易求=12，即得=23= 243，根据= 即可求解. 25 【答案】（1）3 +1 （2）解：如图，OB 的中点为 E，过点 A，E 的直线即为所求作的直线 l， B（4，2） ，点 E 为 OB 的中点， E（2，1） ， 设直线 l 的表达式为： = + ， 将点 A（1，4） ，E（2，1）
24、代入得： + = 42 + = 1， 解得： = 3 = 7， 直线 l 的表达式为： = 3 + 7； （3） （3，32） 【解析】【解答】(1)解：如图，过点 A 作 AEBC 于 E， C45 ， = 22， AEEC22 = 2， B30 ， BE3 = 23， BCBEEC23 + 2， =12 = 3 + 1， SABD12 =12 (3 +1) 2 =3 + 1， 故答案为：3 + 1； (3)解：设直线 OA 的解析式为： = ， 代入 A（3，6）得：6 = 3， 解得： = 2， 直线 OA 的解析式为： = 2， 当 x1 时， = 2，即 P（1，2） ， 设点 Q
25、的坐标为（3，n） ， 由 SAPQ12SAOB，得：12 (3 1) (6 ) =1212 3 6， 解得： =32， 点 Q 的坐标为（3，32） ， 故答案为： （3，32） 【分析】 （1）先求出 AE 和 BD 的长，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）先求出点 E 的坐标，再利用待定系数法求出直线 l 的解析式即可； （3） 先求出直线 OA 的解析式， 设点 Q 的坐标为 （3， n） ， 再根据 SAPQ12SAOB， 得：12 (3 1) (6 ) =1212 3 6，然后求出 n 的值，即可得到点 Q 的坐标。 26 【答案】（1）证明：DE 是 AC 的垂直平分线，
26、= ， = ， AF 是O 的切线， ， ， = 1， = = ； （2）解：如图，连接 OE OD1，OC2， = = 1 + 2 = 3， = = + = 3 + 1 = 4， 在 中， = 2 2= 42 12= 15 D 为 AC 中点，E 为 CF 中点， = 2 = 215 【解析】【分析】 （1）先证明 DE/AF，可得= 1，从而可得 = = ； （2）连接 OE，先求出 OE 的长，再利用勾股定理求出 DE 的长，最后利用三角形的中位线的性质可得 = 2 = 215。 27 【答案】（1）解：(3，0)， =13， (1，0) 抛物线 = 2+ + 3经过(1，0)、(3，0
27、)两点， 0 = + 30 = 9 + 3 + 3， 解得： = 1 = 2， 抛物线的表达式为： = 2+ 2 + 3； （2）解：过点 D 作 DFx 轴于点 F，过点 C 作 CGDF 于点 G， 则(， 2+ 2 + 3)， 设直线 BC 的表达式为： = + 3 (3，0)， 0 = 3 + 3， = 1 直线 BC 的表达式为： = + 3 (， + 3)， = 2+ 2 + 3 ( + 3) = 2+ 3 =12 +12 =12 ( + ) =12 =12(2+ 3) 3 =32(2+ 3) (1，0)，(0，3) =12 =32 32(2+ 3) =32 解得：1=3+52，2
28、=352 （3）解：点的坐标为(1，0)或(7，0)或(7，0)或(5，0) 【解析】【解答】解：(3)当 = 2时，点(2，3)， 设点(，0)，点(， 2+ 2 + 3)， ：当是边时， 点向左平移 1 个单位，向上平移 3 个单位得到点， 同样点()向左平移 1 个单位，向上平移 3 个单位得到点()， 1 = 0 + 3 = 2+ 2 + 3或 + 1 = 0 3 = 2+ 2 + 3 解得： = 1 = 0或 = 3 = 2（不符合题意，舍去）或 =7 =7 + 1或 = 7 = 7+ 1； 点的坐标为(1，0)或(7，0)或(7，0)； ：当是对角线时， 由中点坐标公式得：12(2
29、 + 3) =12( + )12(3 + 0) =12(2+ 2 + 3 + 0) 解得： = 5 = 0或 = 3 = 2（不符合题意，舍去） ， 点的坐标为(5，0)； 综上，点的坐标为(1，0)或(7，0)或(7，0)或(5，0) 【分析】 （1）先求出 A 的坐标，再将 A、B 坐标代入解析式中，求出 a、b 值即得解析式； （2） 过点D作DFx轴于点F， 过点C作CGDF于点G， 利用待定系数法求出直线BC为 = + 3 ，可知(， 2+ 2 + 3)， 从而得出(， + 3)， 继而得出 DE=-m2+3m，根据 S BCD= S CDE+S DBE= 12 +12 =12 =32(2+ 3)=S AOC=32，据此即可求出 m 值； （3）分两种情况：当是边时，当是对角线时，根据平行四边形的性质、平移的性质及中点坐标公式分别求解即可
