1、专题14 二次函数一、单选题1（2022九上柳林期中）如图，点P从右向左运动的运动路线在抛物线y=a(x+1)2-1上，点P第一次到达x轴时的坐标为A(1，0)，则当点P再次到达x轴时的坐标为（） A(-2，0)B(-2.5，0)C(-3，0)D(-3.5，0)2（2022九上柳林期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-2，0)，B(6，0)，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（） A1B2C3D43（2022九上柳林期中）某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y=-0.1(x-
2、3)2+25则这种商品每天的最大利润为（） A0.1元B3元C25元D75元4（2022榆次模拟）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看做是抛物线的一部分某运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式y=-150x2+35x+54根据上述信息，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平飞行距离为（）A15mB30mC54mD58.5m5（2022太原模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线y=ax2+bx+c先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线y=x2-2x-4，则抛物线y=ax2+bx+c的函数表达式为（）
3、Ay=x2+2x+4By=x2+4x-3Cy=x2-4x+3Dy=x2-8x+136（2022山西模拟）用配方法将二次函数y=12x2-2x-4化为y=a(x-h)2+k的形式为（）Ay=12(x-2)2-4By=12(x-1)2-3Cy=12(x-2)2-5Dy=12(x-2)2-67（2022平定模拟）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（） A3.2B0.32C2.5D1.68（2022吕梁模拟）用配方法将二次函数 y=x2-
4、4x-6 化为 y=a(x-h)2+k 的形式为（） Ay=(x-2)2-2By=(x-2)2-10Cy=(x+2)2-2Dy=(x+2)2-109（2022晋中模拟）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y-132x214x1，则板球运行中离地面的最大高度为（）A1mB32mC83mD4m10（2019九上偏关期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A
5、BCD二、填空题11已知点A(h-1，k1)和B(h+2，k2)都在二次函数y=-2(x-h)2+3的图象上，则k1和k2的大小关系是 12有一块三角形材料如图所示，A=30，C=90，AB=8用这块材料剪出一个EFDB，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上则剪出的EFDB的面积的最大值是 13（2022九上柳林期中）若二次函数y=(m-1)xm2+1的图象开口向下，则m的值为 14（2022九上柳林期中）如图，在平面直角坐标系中，点A(0，a2-2a)和点B(0，-4a-5)在y轴上，点M在x轴负半轴上，SABM=12当线段OM最长时，点M的坐标为 15（2022云州模拟）将二次函数y
6、=x2+2的图象沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，所得图象的对应表达式用一般式表示为 16（2022交城模拟）用配方法把二次函数y=x2-6x+3化成顶点式为 17（2021九上长子期末）小明同学在用描点法画二次函数ya（xh）2k（a0）图像时，列出了下面表格：x10123ym3236则m的值是 18（2021九上交口期末）已知二次函数y1=ax2+bx+c(a0)与一次函数y2=mx+n(m0)的图象相交于点A(-1，6)和B(7，3)，如图所示，则使不等式ax2+bx+cmx+n成立的x的取值范围是 19（2021九上平定期末）请你写出一个抛物线的函数表达式，使抛
7、物线满足以下条件：（1）开口向上，（2）经过点(1，-2)，则这个表达式可以是 20（2021九上襄汾期末）如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为 三、综合题21综合与探究如图1，抛物线y=-12x2+32x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C点D在第一象限内的抛物线上（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若SCOD=13SOBD，求出点D的坐标；（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接BC交OD于点E则BC是否平分线段OD？请说明理由22（2022九上柳林期中）已知抛物线y=x2+(2m
8、+2)x+m2+m-1（m是常数）（1）用含m的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标 （2）当二次函数图象的顶点在x轴上时，求m的值及此时顶点的坐标 （3）小明研究发现：无论m取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上请写出这条直线的解析式，并加以证明23（2022九上柳林期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+x-2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C （1）求顶点D的坐标（2）求ABC的面积 24（2022山西）综合与探究如图，二次函数y=-14x2+32x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m过
9、点P作直线PDx轴于点D，作直线BC交PD于点E（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线lAC，交y轴于点F，连接DF试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE=FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由25（2022运城模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于点A(-2，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PEy轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角PDF（1）求抛物线的表
10、达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（0m3），在点P运动的过程中，当等腰直角PDF的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使ACOBCM=ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由26（2022榆次模拟）综合与探究如图，抛物线y=43x2+83x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC（1）求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；（2）点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0m0 ，4ac-b20 时， x6 ，故乙同学结论错误；抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴相交于点 A
11、(-2，0) ， B(6，0) ，抛物线的对称轴为 x=-2+62=2 ，即 -b2a=2 ，-b=4a ，即 4a+b=0 ，故丙同学结论错误；当 x=-1 时， y=a-b+c ，即 y=5a+c ，x=-1 时， y0 ，5a+ck2【解析】【解答】解：由y=-2(x-h)2+3可知，该函数的顶点坐标为(h，3)，且在x=h时取最大值，根据点A(h-1，k1)和B(h+2，k2)可知，点B距离顶点比点A远，所以k1k2故答案为：k1k2【分析】由于抛物线开口向下且对称轴为直线x=h，可知离对称轴越远的点其函数值越小，据此解答即可.12【答案】43【解析】【解答】解：A=30，C=90，A
12、B=8， BC=12AB=4，设CD=x，则BD=4-x，在EFDB中，DFAB，DFC=A=30，在RtCDF中，tanCFD=CDCF，CF=CDtanCFD=x33=3x，SEFDB=BDCF=(4-x)3x=-3x2+43x=-3(x-2)2+43，当x=2时，EFDB的面积最大，最大值是43故答案为：43 【分析】由直角三角形的性质可得BC=12AB=4，设CD=x，则BD=4-x，由平行线的性质可得DFC=A=30，在RtCDF中，由tanCFD=CDCF求出CF=3x，根据平行四边形EFDB的面积=BDCF，可列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解.13【答案】-1【解析】【
13、解答】解：二次函数 y=(m-1)xm2+1 的图象开口向下， m2+1=2 ， m-10 ，m=-1 ，故答案为：-1【分析】根据题意先求出m2+1=2 ， m-10 ，再求解即可。14【答案】（-6，0）【解析】【解答】解：点 A(0，a2-2a) 和点 B(0，-4a-5) 在y轴上，点 A 在点 B 的上方， AB=a2-2a-(-4a-5)=a2+2a+5=(a+1)2+4 ，当 a=-1 时， AB 取得最小值 4 ，当 AB 最小时，则OM最长，SABM=12 ，即 SABM=12ABOM=124OM=12 ，OM=6 ，点M在x轴负半轴上，M(-6，0) ，故答案为：（-6，0
14、）【分析】根据题意先求出AB=a2-2a-(-4a-5)=a2+2a+5=(a+1)2+4，再利用三角形的面积公式求出OM=6，最后求点的坐标即可。15【答案】y=x2+6x+7【解析】【解答】解：由二次函数y=x2+2的图象沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，可得平移后的解析式为y=(x+3)2+2-4=x2+6x+7；故答案为y=x2+6x+7【分析】利用函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。16【答案】y=(x-3)2-6【解析】【解答】解：y=x2-6x+3=y=x2-6x+9-9+3=(x-3)2-6，故答案为：y=(x-3)2-6【分析】在等号右边
15、直接加上和减去一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式并整理即得结论.17【答案】6【解析】【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），对称轴为x=1，当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，当x=3时，y=6，当x=-1时，m=6故答案为：6【分析】先求出对称轴，再结合表格中的数据求解即可。18【答案】-1x7【解析】【解答】解：二次函数y1=ax2+bx+c(a0)与一次函数y2=mx+n(m0)的图象相交于点A(-1，6)和B(7，3)，由图象可得：使不等式ax2+bx+cmx+n成立的x的取值范围是-1x7，故答案为：-1x7【分析】根据二次函数和一次函数的图象与
16、性质求解即可。19【答案】y=x2-3【解析】【解答】解：抛物线图象开口向上，设抛物线关系式为y=x2+c，抛物线过点(1，-2)，把点(1，-2)代入y=x2+c得：-2=1+c，解得：c=-3，抛物线的关系式为y=x2-3故答案为：y=x2-3（答案不唯一）【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。20【答案】22m【解析】【解答】解：建立如图平面直角坐标系，设抛物线解析式为：y=a(x-2)2+2，函数图象过点（0，0），0=a(0-2)2+2，解得a=-12，抛物线的解析式为：y=-12(x-2)2+2，当y=1时，1=-12(x-2)2+2，解得，x1=2-2或x2=2+2；水面宽度是
17、：(2+2)-(2-2)=22，故答案为：22m【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式为：y=-12(x-2)2+2，再求解即可。21【答案】（1）解：A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)（2）解：过点D分别作DGx轴，DHy轴，垂足分别为G，H设D(m，-12m2+32m+2) SDCO=12OCDH=122mSBOD=12OBDG=124(-12m2+32m+2)SCOD=13SCBD122m=13124(-12m2+32m+2)解得m1=2，m2=-2（舍去）当m=2时，-12m2+32m+2=3D(2，3)（3）解：BC平分OD理由如下：过点D作DQy轴，并且交直线BC于点Q设
18、直线BC的解析式为y=kx+b把B(4，0)，C(0，2)代入，得4k+b=0b=2，解得k=-12，b=2直线BC的解析式为y=-12x+2点Q的横坐标为2，把x=2代入y=-12x+2，得y=1点Q(2，1)DQ=3-1=2DQ=OC=2又CEO=QED，OCE=DQE，COEQDE，OE=DEBC平分OD【解析】【解答】（1）解：当x=0时，y=2， C(0，2)，当y=0时，0=-12x2+32x+2，解得：x1=-1，x2=4，A(-1，0)，B(4，0)A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2) 【分析】（1） 由y=-12x2+32x+2求出x=0时y值即得点C坐标；求出y=0时
19、x值即得A、B的坐标； （2）过点D分别作DGx轴，DHy轴，垂足分别为G，H 设D(m，-12m2+32m+2) 根据SCOD=13SCBD建立关于m方程并解之即可； （3）BC平分OD理由：过点D作DQy轴，并且交直线BC于点Q 利用待定系数法求出直线BC为y=-12x+2，将x=2代入得y=1即得Q（2，1）， 再证COEQDE，可得OE=DE，即得结论.22【答案】（1）解： y=x2+(2m+2)x+m2+m-1=(x+m+1)2-m-2 ， 该二次函数图象的顶点坐标为 （-m-1，-m-2）（2）解：当二次函数图象顶点在x轴上时， -m-2=0 ， 解得： m=-2 ，此时顶点的坐
20、标为 (1，0)（3）解：直线的函数表达式为 y=x-1 ，证明如下： 将 x=-m-1 ， y=-m-2 代入满足 y=x-1 ，m取不同值时，点 （-m-1，-m-2） 都在一次函数 y=x-1 的图象上即顶点所在的直线的函数表达式为 y=x-1【解析】【分析】（1）根据题意先求出 y=x2+(2m+2)x+m2+m-1=(x+m+1)2-m-2 ， 再作答即可； （2）先求出-m-2=0 ， 再求出 m=-2 ， 最后求点的坐标即可； （3）先求出 m取不同值时，点 （-m-1，-m-2） 都在一次函数 y=x-1 的图象上 ，再求解即可。23【答案】（1）解： y=x2+x-2=(x+
21、12)2-94 ， 顶点D的坐标的坐标为 (-12，-94)（2）解：令 y=0 ，即 x2+x-2=0 ， 解得： x1=-2 ， x2=1 ，点 A(-2，0)，B(1，0) ，AB=3 ，令 x=0 ，即 y=-2 ，点 C(0，-2) ，OC=2 ，SABC=12ABOC=1232=3【解析】【分析】（1）先求出 y=x2+x-2=(x+12)2-94 ， 再求顶点坐标即可； （2）先求出 点 A(-2，0)，B(1，0) ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。24【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，点C的坐标为(0，4)；y=-12x+4（2）解：点P在第一象限抛物线上，横
22、坐标为m，且PDx轴于点D，点P的坐标为(m，-14m2+32m+4)，OD=m，PD=-14m2+32m+4点B的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，OB=8，OC=4过点C作CGPD于点G，则CGD=90PDO=COD=90，四边形CODG是矩形，CGOB，DG=OC=4，CG=OD=m1=2CGE=BOC=90，CGEBOCEGCO=CGBO，即EG4=m8， EG=12m在CPE中，CP=CE，CGPE，PG=EG=12mPD=PG+DG=12m+4，-14m2+32m+4=12m+4解得m1=4，m2=0（舍去），m=4当m=4时，y=-14m2+32m+4=6点P的坐标为(4
23、，6)（3）存在；m的值为4或25-2【解析】【解答】解：(1)由y=-14x2+32x+4得，当x=0时，y=4，点C的坐标为(0，4)当y=0时，-14x2+32x+4=0，解得x1=-2，x2=8点A在点B的左侧，点A，B的坐标分别为A(-2，0)，B(8，0)设直线BC的函数表达式为y=kx+b，将B(8，0)，C(0，4)代入得0=8k+b4=b，解得k=-12b=4，直线BC的函数表达式为y=-12x+4(3)存在；m的值为4或25-2分两种情况，当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线PHy轴于点H，过点P作直线lAC，交y轴于点F，PFAC，ACO=PFH，tanAC
24、O=tanPFH，AOOC=HPHF，即24=mHF，HF=2m，OH=PD=-14m2+32m+4，OF=HF-OH=2m-(-14m2+32m+4)=14m2+12m-4，由（2）知，EG=12m 根据勾股定理，在CGE中，CE2=CG2+GE2，在FOD中，FD2=OF2+OD2，当CE=FD时，CG2+GE2=OF2+OD2，CG=OD=m，EG=OF，12m=14m2+12m-4，解得m=4或m=-4，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，m=4；当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，同理可得，EG=OF，EG=12m，HF=2m，OH=PD=-14m2+32m+4，OF=OH-
25、HF=-14m2+32m+4-2m=-14m2-12m+412m=-14m2-12m+4，解得m=25-2或m=-25-2，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，m=25-2；综上，m的值为4或25-2【分析】（1）将x=0和y=0分别代入y=-14x2+32x+4即可求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；（2）过点C作CGPD于点G，则CGD=90，证明CGEBOC可得EGCO=CGBO，即EG4=m8，求出EG=12m，再根据PD=PG+DG=12m+4可得-14m2+32m+4=12m+4，再求出m的值，然后将m的值代入 y=-14x2+32x+4求出y的
26、值，即可得到点P的坐标； （3）分两种情况，当点F在y轴的负半轴上时，当点F在y轴的正半轴上时，再分别画出图象并求解即可。25【答案】（1）解：将A(-2，0)，B(8，0)分别代入y=ax2+bx-8中，得4a-2b-8=064a+8b-8=0 解得a=12b=-3，该抛物线的表达式为y=12x2-3x-8；直线的表达式为：y=x-8；（2）解：解法一：依题得P(m，12m2-3m-8)，D(m，m-8)，PD=(m-8)-(12m2-3m-8)-12m2+4m，过点F作FNPD于N，PDF是等腰直角三角形，PD为斜边，PN=DNFN=12PD，SPDF=12PDFN=14PD2=9，PD=
27、6 ，-12m2+4m=6解得m1=6，m2=2，又0m8当m=2或6时，PDF的面积为9；解法二：依题得P(m，12m2-3m-8)，D(m，m-8)，PD=(m-8)-(12m2-3m-8)-12m2+4m，在y=12x2-3x-8中，当x=0时，y=-8，C(0，-8) OC=8，又B(8，0) OB=8 ，BOC为等腰直角三角形，由勾股定理得BC=82，BOCPFD，SBOC=32SBOCSPFD=(BCPD)2即329=(82PD)2 PD=6， -12m2+4m=6， 解得m1=6，m2=2，又0m8 ，当m=2或6时，PDF的面积为9；解法三：解：依题得P(m，12m2-3m-8
28、)，D(m，m-8)，PD=(m-8)-(12m2-3m-8)-12m2+4m，过点F作FNPD于N，PDF是等腰直角三角形，PD为斜边，PN=DN，FN=12PD ，SPDF=12PDFN=14PD2=9，14(-12m2+4m)2=9 ，(-12m2+4m)2=36，-12m2+4m=6（取正），m2-8m+12=0，解得m1=6，m2=2，又0m8，当m=2或6时，PDF的面积为9；（3）解：存在点M的坐标为(14，48)或(132，-518)【解析】【解答】(1)解：将A(-2，0)，B(8，0)分别代入y=ax2+bx-8中，得4a-2b-8=064a+8b-8=0 解得a=12b=
29、-3，该抛物线的表达式为y=12x2-3x-8，当x=0，y=-8，C(0，-8)，设直线BC的解析式为y=kx-8(k0)，0=8k-8，解得k=1，直线的表达式为：y=x-8；(3)解：存在，理由如下：由（2）得BOC为等腰直角三角形，ACO+BCM=ABC=BCO=45，如图，当点M在BC的上方时，设CM与与x轴交于一点D，ACO+BCD=ABC=BCO=OCD+BCD，ACO=DCO，OCAD，OC=OC，AOCCOD（ASA），OD=OA=2，D(2，0)，设直线CM的函数式为y=kx-8(k0)，则0=2k-8，解得k=4，y=4x-8，则y=4x-8y=12x2-3x-8，解得x
30、=14y=48或x=0y=-8（舍去），此时点M的坐标为(14，48)；如图，当点M在BC的下方时，过B作x轴的垂线，过C作y轴的垂线，两条垂线交于一点H，作HCK=ACO，CK交抛物线与点M，由（2）得BOC为等腰直角三角形，ABC=BCO=45，BCH=45，即BCM+MCH=45，ACO+BCM=ABC=45，ACO=MCH，又ACO=HCK=90，OB=OC，COB=OCH=OBH=90，四边形OCHB正方形，OC=OH，AOCKHC（ASA），KH=OA=2，BK=BH-KH=8-2=6，K(8，-6)，设直线CK的函数式为y=kx-8(k0)，-6=8k-8，解得k=14，y=14
31、x-8，则y=14x-8y=12x2-3x-8，解得x=132y=-518或x=0y=-8（舍去）；综上所述，点M的坐标为(14，48)或(132，-518)【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线BC的表达式即可；（2）设出P(m，12m2-3m-8)，D(m，m-8)，然后根据两点之间的距离公式可得PD的长，再根据等腰直角三角形的性质列出PDF的面积表达式，结合面积为9建立方程求解，即可解决问题；（3）分点M在BC的上方和点M在BC的下方两种情况讨论，根据题意画出图形，构造三角形全等，求出直线CM上的一点坐标，则可利用待定系数法求出直线CM的
32、解析式，最后和抛物线的解析式联立求解，即可求出点M的坐标。26【答案】（1）解：将y=0代入y=43x2+83x+4，得0=43x2+83x+4 解得：x1=1，x2=3A(1，0)，B(3，0)将x=0代入y=43x2+83x+4，得y=4C(0，4)y=43x2+83x+4=43 (x1) 2+163，抛物线顶点坐标为(1，163)（2）解：过点D作DMy轴，交BC于点M 设直线BC的函数表达式为y=kx+b将B(3，0)，C(0，4)代入y=kx+b，得3k+b=0b=4解得k=-43b=4，直线BC的函数表达式为y=43x+4点D在抛物线上，D(m，43m2+83m+4)DMy轴，M(
33、m，43m+4)SCBD=SCMD+SBMD=12DM|xBxC|=32DM，当DM最大时，SCBD最大DM=(43m2+83m+4)(43m+4)=43m2+4m=43 (m32)2+3430，当CBD的面积最大时，m的值为32（3）解：存在，P1(0，12)，P2(0，-12)【解析】【解答】(3)解：B(3，0)，C(0，4)，OB=3，OC=4，BC=32+42=5，作BN平分OBC交OC于点N，过点N作NEBC于点E，NOOB，NEBC，BN平分OBC，NO= NE，SCBNSOBN=12BCNE12OBNO=BCOB=53，SCBNSOBN=CNON，CNON=53，又CN+ON=OC=4，CN=52，ON=32，P1AO=12ABC=NBO，P1OA=NOB=90，
