1、 专题专题 19 19 圆圆 一、单选题一、单选题 1 （2022 山西）如图， 内接于 ，AD 是 的直径，若 = 20，则的度数是（ ） A60 B65 C70 D75 2 （2022 山西）如图，扇形纸片 AOB 的半径为 3，沿 AB 折叠扇形纸片，点 O 恰好落在上的点 C处，图中阴影部分的面积为（ ） A3 33 B3 932 C2 33 D6 932 3 （2022 榆次模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他
2、首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率这种确定圆周率的方法称为（ ） A正负术 B方程术 C割圆术 D天元术 4 （2022 阳泉模拟）如图，在扇形 AOB 中，AOB120 ，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOA若 = 23，则阴影部分的面积为（ ） A3 + B33 C D33 + 5（2022 运城模拟）如图， 将 绕点B按逆时针方向旋转90 后， 得到 ， 已知 = 90， = 60， = 2，则图中阴影部分面积为（ ） A34 B1112 C1112 32 D65 6 （2022 运城模拟）如图，点 O 是ABC 的外心（三角形三边垂直平分线的交点） ，若BOC=96 ，则A
3、 的度数为（ ） A49 B47.5 C48 D不能确定 7 （2022 榆次模拟）魔方爱好者小聪最近买了一个五魔方（如图） ，他发现五魔方是一个正十二面体，每个面都是一个正五边形，正五边形每个内角的度数是（ ） A60 B72 C108 D120 8（2022 山西模拟）如图， 是 的直径， 点C是 上一点， 且点D是的中点， 过点D作 的切线与的延长线交于点 E，连接若 = 8， = 10，则直径的长为（ ） A12 B252 C254 D325 9 （2022 太原模拟）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3 个正五边形的位置若完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数
4、是（ ） A7 个 B8 个 C9 个 D10 个 10 （2022 平定模拟）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图所示） ，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图所示的正五边形 . 图中， 的度数为（） A108 B36 C120 D30 二、填空题二、填空题 11 （2022 九上 柳林期中）如图，点，在 上， = 45，则的度数为 12 （2022 运城模拟）如图，在正六边形 ABCDEF 的左边以 AF 为边作正五边形 AFGHM，连接 BM，则，则的度数为 13 （2022 山西模拟）如图，在扇形中，半径 = 5， = 90，点 B 是上一点，平分点 D，C 在上，点 E，F 分别在
5、半径和上；连接，其中与交于点P， 与交于点H， 且四边形和都是正方形； 以线段为直径作半圆， 连接，则图中阴影部分的面积为 14 （2022 太原模拟）如图，为 的直径，C 为 上一点， 的切线交的延长线于点 D，E 为的中点，交的延长线于点 F若 = 4， = ，则的长为 15 （2022 平定模拟）如图，在半径为 6 的 中，点 ， 都在 上，四边形 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 . 16 （2022 侯马期末）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 在半圆 O 上若BDC140 ，则ABC的度数为 17 （2022 山西模拟）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BE
6、是O 的直径，连接 AE若BCD2BAD，则DAE 的度数是 18 （2022 山西模拟）如图，网格中小正方形的边长都是 1，若以格点为圆心，长为半径作，且点，均在格点上，则扇形的面积为 19 （2021 九上 盂县期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”已知某个“完美扇形”的周长等于 6，那么这个扇形的面积等于 20 （2021 九上 交口期末）如图， = 36，点 O 在边 AB 上， 与边 AC 相切于点 D，交边 AB于点 E，F，连接 FD，则等于 三、综合题三、综合题 21 （2022 九上 柳林期中）如图，是半 的直径，是圆上两点，且 ，OD 与 B
7、C 交于点 E （1）求证：E 为的中点 （2）若 = 6， = 2，求的长度 22 （2022 七下 侯马期末）如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等 （1）若160 ，求ADC 的度数； （2）AB 与 ED 有怎样的位置关系？为什么？ 23 （2022 阳泉模拟）如图，点 O 为 RtABC 的斜边 BC 上一点，以点 O 为圆心、OC 为半径的O 与边 AB 相切于点 D，与边 AC，BC 分别相交于点 E，F，连接 OE，DE，DF （1）求证：DEDF； （2）若B30 ，O 的半径为 8，求 AC 的长 24（2022 榆次模拟）如图， 是 的直径， 点， 在 上， = ， 交
8、于点， = 120 （1）求的度数； （2）若是 的切线，与的延长线交于点， = 22直接写出图中阴影部分的面积 25 （2022 运城模拟）阅读下列材料，并按要求解答相关问题： 【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论 如图 1，若 AB 是一条定线段，且 = 90，则所有满足条件的直角顶点 P 组成的图形是定边AB 为直径的 （直径两端点 A、B 除外） （1）已知：如图 2，四边形 ABCD 是边长为 8 的正方形，点 E 从点 B 出发向点 C
9、 运动，同时点 F从点 C 出发以相同的速度向点 D 运动，连接 AE，BF 相交于点 P 当点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数 当点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，点 P 运动的路径是（ ） A线段；B弧；C半圆；D圆 点 P 运动的路经长是 （2）已知：如图 3，在图 2 的条件下，连接 CP，请直接写出 E、F 运动过程中，CP 的最小值 26 （2022 运城模拟）如图 1，AB 是 的直径，点 F 是 上的一点，连接 AF，过点 O 作 交 于点 C，过点 C 作 的切线，交 FA 的延长线于点
10、 D， 于 E，连接 AC （1）求证： = ； （2） 如图 2， 在图 1 的条件下， 若点 F 为半圆的中点， 连接 CF 交 AB 于点 M， 求的度数 27 （2022 吕梁模拟）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务 阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子他的著作阿基米德全集的引理集中记述了有关圆的 15 个引理，其中第三个引理是：如图 1， 是 的弦， 点 P 在 上， 于点 C， 点 D 在弦 上且 = ， 在 上取一点 Q，使 = ，连接 ，则 = 小明思考后，给出如下证明： 如图 2，连接 、 、 、 = ， = （依据
11、1） = = = （依据 2） 图 1 图 2 任务： （1）写出小明证明过程中的依据： 依据 1： 依据 2： （2）请你将小明的证明过程补充完整； （3）小亮想到了不同的证明方法：如图 3，连接 、 、 、 请你按照小亮的证 明思路，写出证明过程； （4）结论应用：如图 4，将材料中的“弦 ”改为“直径 ”，作直线 l 与 相切于点 Q，过点 B 作 于点 M，其余条件不变，若 = 4 ，且 D 是 的中点，则 = 28 （2022 侯马期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务 任务： （1）尺规作图：请根据材料，在图中补全图形 （保留作图痕迹，标明字母，不写作法） （2）善
12、思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分 证明：连接 PA，PD，PQ，QD 29 （2022 榆次模拟）阅读与思考 如图是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务 年 月 日星期日错题积累 在 中， = 90，平分交于点 D，O 是上一点，且 经过 B，D两点，分别交，于点 E，F 【自勉】 读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确 培根 任务： （1）使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）求证： 与相切于点 D； （3）若 = 3， = 60，则劣弧的长为 30 （2022 云州模拟）如图
13、，是半圆的直径，圆心是，点在半圆上，连接，作弦 = ，连接过点作半圆的切线分别交，的延长线于点、 （1）求证： ； （2）若cos =45， = 1求弦的长 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：连接 CD， AD 是 的直径， = 90 = = 20， = 180 90 = 108 90 20 = 70 故答案为：C 【分析】连接 CD，根据圆周角的性质可得 = 90， = = 20，再利用角的运算可得 = 180 90 = 108 90 20 = 70。 2 【答案】B 【解析】【解答】解：依题意： ， = = 3 = = = = 3 四边形 OACB 是菱形 连接
14、 OC = = 3 = = = 3 是等边三角形 同理： 是等边三角形 故 = 120 由三线合一，在 中： =12 = 30 =12 =32 = 3 =323 菱形=12 2 2 =12 2 323 2 32=923 扇形=120360 32= 3 阴影= 菱形扇形= 3 923 故答案为：B 【分析】利用列表法列出算式阴影= 菱形 扇形，再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率这种确定圆周率的方法称为“割圆术” 故答案为：C 【分析】根据数学常识求解即可。 4 【答案】A 【解析】【解答】解：作 OEAB
15、 于点 F， 在扇形 AOB 中，AOB=120 ，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOA AOD=90 ， BOC=30 ， OA=OB， OAB=OBA=30 ， 在 Rt中，OA=23，OAB=30 ， OD=OAtan30=2333=2， AD=2OD=4， 在 Rt中，OA=23，OAB=30 ， OF=12 =3， AF=22= 3 AB=2AF=6， BD=AB-AD=6-4=2， 阴影部分的面积是：SAOD+S扇形OBC-SBDO=2322+30(23)2360232=3+ ， 故答案为：A 【分析】利用割补法和扇形面积公式列出算式阴影部分的面积是=SAOD+S扇形OB
16、C-SBDO，再将数据代入计算即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：设 BC 与相交于点 D， = 90， = 60， = 2， = 1， = 3， =32 = 60，= 90， = 30， = = 1， 扇形=112 1 =12 = 90， = 2， 扇形=14 22= 阴影= 扇形 扇形 ， 阴影= 1232=111232 故答案为：C 【分析】利用割补法和扇形的面积及三角形的面积公式求解即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 AO， 点 O 是ABC 三边垂直平分线的交点， AO=BO=CO， OAB=OBA，OAC=OCA，OBC=OCB， AOB=180 -2O
17、AB，AOC=180 -2OAC， BOC=360 -（AOB+AOC） =360 -（180 -2OAB+180 -2OAC） =2OAB+2OAC =2BAC； BOC=96 ， BAC=48 ， 故答案为：C 【分析】根据垂直平分线的性质可得OAB=OBA，OAC=OCA，OBC=OCB，再求出BOC=360 -（AOB+AOC）=2BAC，结合BOC=96 ，可得BAC=48 。 7 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知：五边形的内角和是：180 (5 2) = 540， 正五边形每个内角的度数都相等， 正五边形每个内角的度数为：5405= 108， 故答案为：C 【分析】利用多
18、边形的内角和公式求出五边形的内角和，再利用正多边形的一个内角的度数等于内角和除以边数可得答案。 8 【答案】B 【解析】【解答】解：连接 OD、OC，过点 O 作 ， ED 是 的切线，且 D 在 上， ，即： = 90， 点 D 是的中点， = ， = ， = ， = ， 又 = + ， 2 = 2， = ， ， = = 90， 在 中， = 2 2= 102 82= 6， OH=6， 设 = ，则 = 8 ， 在 中，运用勾股定理得：(8 )2+ 62= 2，解得 =254， = 2 =252 故答案为：B 【分析】先求出 = ，再利用勾股定理求出 ED=6，最后列方程求解即可。 9 【答
19、案】D 【解析】【解答】解：如图， 多边形是正五边形， 多边形的每一个内角为15 (5 2) 180 = 108， = 180 (180 108) (180 108) = 36， 正五边形的个数是36036= 10 故答案为：D 【分析】先求出多边形的每一个内角为 108 ，再求出O=36 ，最后计算求解即可。 10 【答案】B 【解析】【解答】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以ABC= (52)1805 ， 正五边形的每个条边相等， ABC 是等腰三角形， BAC=BCA， BAC=（180 -108 ） 2=36 故答案为：B 【分析】先证明ABC 是等腰三角形，再结合AB
20、C= (52)1805 ，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出BAC 的度数即可。 11 【答案】90 【解析】【解答】解：如图： = 45 ， = 2 = 90 ， 故答案为：90 【分析】结合题意，根据圆周角的定理计算求解即可。 12 【答案】24 【解析】【解答】解：正五边形 AFGHM， =(53)1805= 108 ， 正六边形 ABCDEF， =(63)1806= 120， MAB=360 -FAB-FAM=360 -120 -108 =132 ， AM=AB=FA， MAB 是等腰三角形， =1802=1801322= 24 故答案为：24 【分析】利用正多边形的性质求出FA
21、M 和FAB 的度数，再利用周角求出MAB 的度数，最后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出 =1802=1801322= 24即可。 13 【答案】52 【解析】【解答】解：四边形和都是正方形 = 90， = 90， = = 平分 = =12 =12 90 = 45 = = 45 = ， = 同理证得 阴影部分的面积是以 P 为圆心， PD 为半径的半圆的面积 如图，连接 DO，设 = ，则 = 2 2= 2+ 2即52= 25 解得 = 5 阴影部分的面积为12 (5)2=52 故答案为：52 【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。 14 【答案】83或223 【解
22、析】【解答】解：如图，连接 OC，BC， 为 的直径， ACB=BCD=90 ， E 为的中点， CE=BE=DE， BCE=CBE， 是 的切线， ABD=90 ，即CBD+OBC=90 ， OC=OB， OCB=OBC， OCB+BCE=OBC+CBD=90 ，即OCF=90 ， = ， BC=OB=OC， OBC 是等边三角形， BOC=OBC=60 ， A=30 ，CBD=30 ， = 4， = tan = 4 33=433， =cos=43332=83， 故答案为：83 【分析】连接 OC，BC，根据圆的性质及切线的性质可知 CBAD，DBAB 进而CAB=CBD；通过证明OBC 是
23、等边三角形，可求出 BC，AB，然后在 RtABC 和 RtBCD 中利用cos =，cos =即可求出 BD。 15 【答案】6 【解析】【解答】解：连接 OB， 四边形 OABC 是平行四边形， AB=OC， AB=OA=OB， AOB 是等边三角形， AOB=60 ， OCAB， SAOB=SABC， 图中阴影部分的面积=S扇形AOB= 6062360 =6， 故答案为：6 【分析】根据图象可得阴影部分的面积等于 S扇形AOB= 6062360 =6。 16 【答案】50 【解析】【解答】解：四边形 ABDC 是O 的内接四边形， A+BDC180 ， = 180 = 180 140 =
24、 40 ， AB 是半圆 O 的直径， ACB90 ， = 180 = 180 40 90 = 50 ， 故答案为：50 【分析】先利用圆内接四边形的性质可得 = 180 = 180 140 = 40，再利用直径所对的圆周角是直角和三角形的内角和可得 = 180 = 180 40 90 = 50。 17 【答案】30 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是O 的内接四边形， BCDBAD180 ， BCD2BAD， BCD120 ，BAD60 ， BE 是O 的直径， BAE90 ， DAE90BAD906030 ， 故答案为：30 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得BCDBAD180 ，
25、由BCD2BAD 可求BCD、BAD 的度数，由 BE 是O 的直径可得BAE90 ，利用DAE90BAD 即可求解. 18 【答案】52 【解析】【解答】解：如图，过点 O 作 ，过点 O 作 ， 由题意得， = = 1， = = 3， 在 中，根据勾股定理得， = 2+ 2= 12+ 32= 10， 在 中，根据勾股定理得， = 2+ 2= 12+ 32= 10， = = 10， 则扇形 OAB 的半径为10， 在 和 中， = = = （SSS） ， = ， + = 90， + = 90， 扇形 OAB 的圆心角为 90 ， 扇形=90360 (10)2=52， 故答案为：52 【分析】
26、先由勾股定理求出半径 OA 的长，再由扇形面积公式计算即可。 19 【答案】2 【解析】【解答】解：“完美扇形”的周长等于 6， 半径 r 为13 62，弧长 l 为 2， 这个扇形的面积为：1212 2 22 答案为：2 【分析】先求出半径 r 为13 62，弧长 l 为 2，再利用扇形面积公式计算求解即可。 20 【答案】27或 27 度 【解析】【解答】解：连接，如图： 与边相切于点， = 90， = 36， = 54， =12 = 27， 故答案为：27 【分析】先求出 = 90，再求出 = 54，最后计算求解即可。 21 【答案】（1）证明： 是半 的直径， = 90 ， ， = 9
27、0 ， ， E 为 的中点 （2）解：由（1）得 = 3 ， 设 = = ，则 = 2 ， 在 中， 2+ 2= 2 ， 即 32+ ( 2)2= 2 ， 解得： =134 ， 即 =134 ， = 2 =132 【解析】【分析】 （1）先求出 = 90 ， 再求出 ， 最后证明即可； （2）利用勾股定理先求出 =134 ， 再求出 =134 ， 最后求解即可。 22 【答案】（1）解：六边形的内角和为720，六边形的内角都相等， 每个内角的度数为 120 ， 四边形 ABCD 的内角和为360，B=C=120 ，1=60 ， ADC=360 -B-C-1=60 （2）解：ABED，理由如下：
28、 四边形 ABCD 的内角和为360，B=C=CDE=120 ， 1+ADC=360 -B-C=120 ， 又EDA+ADC=EDC=120 ， 1=EDA， / 【解析】【分析】 （1）先求出正六边形每个内角的度数为 120 ，再求出B=C=120 ，1=60 ，最后利用角的运算可得ADC=360 -B-C-1=60 ； （2）通过角的运算求出1=EDA，即可得到 AB/ED。 23 【答案】（1）证明：如图，连接 OD O 与边 AB 相切于点 D， ODAB 又A90 ， ODAC 1C，23 由 OCOE 得，C3， 12， = ， DEDF （2）解：B30 ，O 的半径为 8， B
29、O2OD16， BCBOOC16824 = sin = 24 sin30 = 24 12= 12 【解析】【分析】 （1）连接 OD，先证明1C，23，再结合C3，可得12，再利用圆心角、弧和弦的关系可得 DE=DF； （2）先求出 BCBOOC16824，再利用解直角三角形的方法可得 = sin = 24 sin30 = 24 12= 12。 24 【答案】（1）解：为 的直径， = 90 = ， = = 45 = 120， =12 = 60 = 180 = 180 45 60 = 75 （2）解：所求阴影面积=23 23 【解析】【解答】(2)是 的切线， FDO=90 ， 又DOB=12
30、0 ， FOD=60 ，OFD=30 ， = 22， AB=45=2222= 4， OD=2，FD=23， 所求阴影面积= 扇形 =12 2 236022360 =23 23 【分析】 （1）先求出 = 45，再利用圆周角的性质求出 =12 = 60，最后利用三角形的内角和求出 = 180 = 180 45 60 = 75即可； （2）利用割补法求出阴影部分的面积即可。 25 【答案】（1）解：90 ；B；2 （2）解：45 4 【解析】【解答】(1)如图， 由题意可得在ABE 和BCF 中， AB=BC，ABE=BCF=90 ， BE=CF， ABEBCF， BAE=CBF， BEA+CBF
31、=BEA+BAE=90 ， APB=90 ； E、F 刚出发时，P 点即点 B，E、F 到达终点时，P 点即 AC 与 BD 的交点 G， 由题中所给材料可以得到： 当点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，点 P 运动的路径是以 AB 为直径的劣弧 BG，但不是半圆或圆， 故答案为：B； 设 AB 的中点为 O，则O 半径为 4，劣弧 BG 所对圆心角为 90 ， 劣弧 BG 长度为14 2 4 = 2； (2)如图，连接 OC，与O 交于点 Q，则 CQ 的长度即为所求 CP 的最小值， 由勾股定理可得：OC=42+ 82= 45， CQ=OC-OQ=45 4，即 E、F 运动过程中，C
32、P 的最小值为45 4 【分析】 （1）由题意及正方形的性质得出 BE=CF，AB=BC，ABE=BCF=90 ，进而证明ABEBCF，得出BAE=CBF，进而得到APB=90 ； 由APB=90 ，得出点 P 为以 AB 为直径的圆上的动点，当点 E 与点 B 重合时，点 P 与点 B 重合，当点 E 与点 C 重合时，点 P 在对角线 AC，BD 的交点，得出点 P 运动的路径是以 AB 为直径的圆弧，即可得出答案； 利用弧长公式进行计算即可得出答案； （2）由于点 P 运动的路径是以 AB 的中点为圆心的弧长，再利用弧长公式计算即可。 26 【答案】（1）证明：CD 切 于 C = 90
33、 = ， = 180 = 90 = 又 = = = 又 = = （2）解：连接 OF F 为半圆的中点 = = 90 =12 = 45 = = 45 =12 = 22.5 = + = 67.5 【解析】【分析】 （1）利用切线的性质定理和全等三角形的判定定理及性质解答即可； （2）连接 OF，利用圆周角定理，三角形的内角和定理和（1）的结论解答即可。 27 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等弧所对的圆周角相等； （2）解：四边形 是O 的内接四边形 + = 180 ， + = 180 ， = ， 又 = ， () ， = ； （3）解： = ， = = = ，
34、= ， = ， = ， 四边形 是O 的内接四边形 + = 180 即 + + = 180 ， + + = 180 ， = ， = ； （4）374 【解析】【解答】解：(4)QM= 374 ， 理由如下： 如图，连接 AQ， 直径 AB=4， 半径 OA=OQ=OB=2，AQB=90 ， OQA=OAQ，OQB=OBQ， D 为 OA 中点， AD=DO=1， BD=BO+OD=3， 则利用结论有 BQ=BD=3， 直线 l 是O 的切线， OQl， OQM=OQB+BQM=90 ， BMl， BMQ=QBM+BMQ=90 ， ， MBQ=OQB， MBQ=OQB=OBQ， 再结合AQB=9
35、0 =BMQ，有 ， = ， 在 RtAQB 中， = 2 2= 42 32= 7 ， 由 = ， 得 =374 【分析】 （1）利用线段垂直平分线的性质和圆周角定理解答即可； （2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； （3）类比（2）的方法，在（2）的基础上利用等腰三角形的判定方法解答即可得出结论； （4）连接 AQ，利用题干中的结论求得 BQ=BD=3，再利用勾股定理和相似三角形的性质列出比例式即可求解。 28 【答案】（1）解：补全图形如解图所示： ； （2）解：= ， PQPA PNAB 于点 N， PNAPND90 在APN 和DPN 中 = = = 90 =
36、 APNDPN PADPDA，PAPD PDPQ PQDPDQ 四边形 APQB 是圆内接四边形， PADPQB180 PDAPQB180 又PDAPDB180 PQBPDB BQDBDQ BQBD 【解析】【分析】 （1）根据要求作出图象即可； （2）先利用“SAS”证明APNDPN，可得PADPDA，PAPD，再利用圆内接四边形的性质可得PADPQB180 ，再结合PDAPDB180 ，可得PQBPDB，然后根据BQDBDQ，可得 BQ=BD。 29 【答案】（1）解：作出的角平分线 BD，如图所示： （2）证明：连接， = ， = ， 为的角平分线， = ， = ， ， 又 = 90，
37、= = 90， ， 又 经过点 D， 与 相切于点 D； （3）23 【解析】【解答】解：(3)在中， = 60， = 30， = 3 = 3， 为的角平分线， = 2 = 60， 在中， = 90 = 30， = 3 = 33， = = 23， 由（2）知 = 90， = 180 = 60， = tan = 2， 劣弧的长为60180 2 =23， 故答案为：23 【分析】 （1）根据题目要求补全图形即可； （2）连接 OD，由 BD 平分ABC，得到 = ，结合 = 证明出 ，再根据 = 90可得 = = 90，即可得到与 相切于点 D； （3）先求出AOD 和 OD，再利用弧长公式求解即
38、可。 30 【答案】（1）证明：如图，连接，和，和交于点 过点作半圆的切线交的延长线于点， = 90 = ， = = = ， = 90 是半圆的直径， = = 90 = = 90 （2）解： ， = = 90，cos =45， 在 中，cos =45 +=45 = ， = 1， 1+=45 = 4 是半圆的直径， = 2 = 8，ADB=90 在 中，cos =45 8=45 =325 弦的长是325 【解析】【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质及圆周角定理可得结论； （2） 根据 （1） 可知， cos =45， 因此+=45， 然后求出 OB 的长， 再利用cos =45可得8=45，求出 AD 的长即可
