1、 专题专题 13 13 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1 （2022 运城模拟）如图，在 中， = 90，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 B 在第二象限，反比例函数 =( 0)的图象经过 OB 上一点 D，与 AB 相交于点 C，若 = 2， 的面积为158，则 k 的值是（ ） A154 B-3 C154 D3 2 （2022 阳泉模拟）如图，点 P 是反比例函数 =( 0， + 时，则的取值范围是（ ） A 4或0 6 B 3或0 6 C3 6 D4 6 5 （2022 榆次模拟）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的
2、压力一定时，人和木板对地面的压强 p（）随着木板面积 S（2）的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计600，那么下列说法正确的是（ ） Ap 与 S 的函数表达式为 = 600 B当 S 越来越大时，p 也越来越大 C若压强不超过6000时，木板面积最多0.12 D当木板面积为0.22时，压强是3000 6 （2022 晋中模拟）如图，点 A 是反比例函数 y（k0）图象上的一点，过点 A 作 ABy 轴于点 B，点 C 为 x 轴上一点，连接 AC，BC，若 ABC 的面积为 4，则 k 的值为（ ） A8 B8 C4 D2 7（2022 山西模拟）若点(3，1)， (1，2)， (
3、2，3)都在反比例函 =( 0)的图象上， 则1，2，3的大小关系是（ ） A3 1 2 B2 1 3 C1 2 3 D3 2 2时，的取值范围为（ ） A 32 B32 32 C32 32 D3 3 9 （2022 山西模拟）已知点(1，1)，(2，2)均在反比例函数 =2+1的图象上，且1 2 0，则下列关系正确的是（ ） A1 2 0 B2 1 2 0 D2 1 0 10 （2021 九上 太原期末）下列各点中，在反比例函数 =4图象上的点是（ ） A （4，1） B （2，2） C （1，4） D （2，3） 二、填空题二、填空题 11 （2022 八下 侯马期末）在函数 y=（k0）
4、的图象上有三个点（-2，y1） ， （-1，y2） （12，y3） ，函数值 y1、y2、y3的大小用“”表示是 12（2022 山西）根据物理学知识， 在压力不变的情况下， 某物体承受的压强()是它的受力面积(2) 的反比例函数，其函数图象如图所示，当 = 0.252时，该物体承受的压强 p 的值为 Pa 13 （2022 榆次模拟）如图，直线 = 3 + 3与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在第一象限内作正方形，点落在双曲线 =( 0)上，则 = 14 （2022 太原模拟）已知反比例函数 =5的图像经过点(1，1)，(2，2)，当1 0 0)的一个交点是（2，3） ，则另一个交点是 三
5、、综合题三、综合题 21 （2022 七下 太原期末）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）的关系式为 y100 （1）上述问题中，当 x 的值增大，y 的值随之 （填“增大”“减小”或“不变”） ； （2）根据 y 与 x 的关系式补全下表： 焦距 x/m 0.1 0.2 度数 y/度 1000 400 （3）小明原来佩戴 400 度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为 0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 22 （2022 八下 侯马期末）如
6、图，直线 y=-32x-2 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，与双曲线 y=（m0）在第二象限内的交点为 C，CDy 轴于点 D，且 CD=4 （1）求双曲线的解析式； （2）设点 Q 是双曲线上的一点，且QOB 的面积是AOB 的面积的 2 倍，求点 Q 的坐标； （3）在 y 轴上存在点 P，使 PA+PC 最短，请直接写出点 P 的坐标 23 （2022 山西模拟）如图，一次函数1= 1+ (1 0)的图象分别与 x 轴、y 轴相交于点 C，D，与反比例函数2=2(2 0)的图象相交于点(3，)，(6， 1) （1）求一次函数的表达式 （2）当 x 为何值时，1 0) 与反比例函数
7、 =( 0) 的图象交于 (3，) ，B 为正比例函数图象上一点，过点 B 作 BDy 轴于点 D，与反比例函数的图象交于点 C （1）求反比例函数的表达式及 a 的值 （2）连接 AC若 BD9，求ABC 的面积 25（2022 云州模拟）数学是一个不断思考， 不断发现， 不断归纳的过程， 古希腊数学家帕普斯 （Pappus，约 300350）把三等分的操作如下： 以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系； 在平面直角坐标系中，绘制反比例函数 =1( 0)的图象，图象与的边交于点； 以点为圆心，2为半径作弧，交函数 =1的图象于点； 分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，； 作射线
8、，交于点，得到 （1）任务一：判断四边形的形状，并证明； （2）任务二：请证明 =13 26 （2021 九上 太原期末）如图，正比例函数 y1kx 与反比例函数 y2的图象相交于点 A（2，4）和点 B，点 C 的坐标是（4，0） ，点 D 在 y2的图象上 （1）求反比例函数的表达式； （2）设点 E 在 x 轴上，AEB90 ，求点 E 的坐标； （3）设点 M 在 x 轴上，点 N 在平面直角坐标系内当四边形 CDNM 是正方形时，直接写出点 M的坐标 27 （2021 九上 交城期末）如图，直线 y=x+2 与反比例函数 y=（k0）的图象交于 A（a，3） 、B（3，b）两点，直线
9、 AB 交 y 轴于点 C、交 x 轴于点 D （1）请直接写出 a= ，b= ，反比例函数的解析式为 （2）在 x 轴上是否存在一点 E，使得EBD=OAC，若存在请求出点 E 的坐标， 若不存在，请说明理由 （3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是平面内的动点，是以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点 Q 的坐标，若不存在请说明理由 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过 D 作 DEx 轴于点 E， ODEOBA， =23，=23， =23，即=23， 2= 3，即43= 3， =94， 由已知可得：12 =158， 12( ) =1
10、58，即+ =154， 94 + =154， 解得：k= -3， 故答案为：B 【分析】 过 D 作 DEx 轴于点 E， 先证明ODEOBA， 可得=23， 即=23， 求出=94， 再利用12 =158可得12( ) =158求出94 + =154，最后求出 k 的值即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】如图，过点 P 作 PDx 轴交点 D，PB 与 x 轴的交点记为 E， 点 B 是点 A 关于 x 轴的对称点， OA=OB， PD=OB， 又PED=BEO，PDx 轴，OBx 轴， OBEDPE（AAS） ， SOBE=SPDE， = 四边形= 6 = |， 反比例函数的图象在第二
11、象限， k=-6， 故答案为：C 【分析】过点 P 作 PDx 轴交点 D，PB 与 x 轴的交点记为 E，先利用“AAS”证明OBEDPE，可得 SOBE=SPDE，再利用反比例函数 k 的几何意义可得 k=-6。 3 【答案】A 【解析】【解答】解：连接 OC，作 CMx 轴于 M，ANx 轴于 N，如图， A、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点， 点 A、点 B 关于原点对称， OA=OB， CA=CB， OCAB， 在 RtAOC 中，tanCAO= 2， COM+AON=90 ，AON+OAN=90 ， COM=OAN， RtOCMRtOAN， = ()2= 4， 而=32，
12、SCMO=6， 12|k|=6，而 k0， k=-12 故答案为：A 【分析】 连接 OC， 作 CMx 轴于 M， ANx 轴于 N， 根据反比例函数及正比例函数的性质可知点 A、点B关于原点对称， 可得OA=OB， 根据等腰三角形的性质可得OCAB， 从而求出tanCAO= 2，证明 RtOCMRtOAN， 可得= ()2= 4， 根据反比例函数系数 k的几何意义可知=32，即得 SCMO=6，从而得出12|k|=6，据此求出 k 值. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：(4， 3)在反比例函数2=图象上， 3 =4 m=12 2=12 (，2)在反比例函数2=12图象上， 2 =12
13、a=6 + 4或0 0， 在每一象限内函数值 y 随 x 的增大而减小， x1x20 ， y2y1 0可得在每一象限内函数值 y 随 x 的增大而减小，再利用此性质求解即可。 10 【答案】A 【解析】【解答】解：A、当 = 4时， = 1 = 1，则(4，1)在反比例函数 =4的图象上，故本选项符合题意； B、当 = 2时， = 2 2，则(2， 2)不在反比例函数 =4的图象上，故本选项不符合题意； C、当 = 1时， = 4 4，则(1，4)不在反比例函数 =4的图象上，故本选项不符合题意； D、当 = 2时， = 2 3，则（2，3）不在反比例函数 =4的图象上，故本选项不符合题意；
14、故答案为：A 【分析】将各选项分别代入反比例函数解析式求解即可。 11 【答案】3 1 2 【解析】【解答】解： 0， 函数 =的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大， 点(2，1)，(1，2)，(12，3)在函数 =的图象上， 3 0 1 2，即3 1 2， 故答案为：3 1 2 【分析】根据反比例函数的增减性可得答案。 12 【答案】400 【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为 =( 0)， 由图象得反比例函数经过点（0.1，1000） ， = 0.1 1000 = 100， 反比例函数的解析式为 =100， 当 S=0.25 时， =1000.25= 40
15、0 故答案为：400 【分析】先求出反比例函数的解析式 =100，再将 S=0.25 代入 =100可得答案。 13 【答案】4 【解析】【解答】解：如图，过 C 作 CEx 轴于点 E， 在直线 = 3 + 3中，令 y=0，可得 x=1，令 x=0，y=3， B（1，0） ，A（0，3） ， OBA+CBE=90 ，OBA+OAB=90 ， OAB=CBE， 在AOB 和BEC 中， OAB=CBE，AOB=BEC=90 ，AB=BC， AOBBEC， BE=OA=3，CE=BO=1， =OB+BE=4，=1， k=4， 故答案为 4 【分析】过 C 作 CEx 轴于点 E，先证明AOBB
16、EC，可得 BE=OA=3，CE=BO=1，再求出点 C的坐标，最后将点 C 的坐标代入 =( 0)求出 k 的值即可。 14 【答案】10，函数图象在第一、三象限， 当 x0 时，函数值随 x 的增大而减小， 故答案为：减小； 【分析】 （1）由于 y100是反比例函数，k=1000，图象位于第一、三象限，且在每个象限内函数值随 x 的增大而减小，据此填空即可； （2）将 x=0.2，y=400 分别代入 y100中即可求解； （3） 将 = 0.4代入 =100 中求出 y 值，再用 400-y 即得结论. 22 【答案】（1）解：在第二象限内的交点为 C，CDy 轴于点 D，且 CD=4
17、， 点 C 横坐标为-4， 把 x=-4 代入 y=-32x-2，得 y=-32 (-4)-2=4， C(-4，4)， 把 C(-4，4)代入 y=，得-4=4， m=-16， 双曲线的解析式为：y=-16； （2）解：把 x=0 代入 y=-32x-2，得 y=-32 0-2=-2， B(0，-2)， 把 y=0 代入 y=-32x-2，得 0=-32x-2， x=-43， A(-43，0)， SQOB=2SAOB， 12 |x| = 2 12 ， 122|x| = 2 12 | 43| 2， 解得 xQ=83， 把 x=83代入 y=-16，得 y=-6， 把 x=-83代入 y=-16，
18、得 y=6， Q(83，-6)或(-83，6)； （3）P（0，1） 【解析】【解答】解：(3)设点 A 关于 y 轴对称点为点 E，连接 CE 交 y 轴于点 P，如图， 此时 PA+PC 最短，最短值=CE， A(-43，0)， E(43，0)， 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b， 把 E(43，0)，C(-4，4)代入，得 43 + = 04+ = 4，解得： = 34 = 1， 直线 CE 的解析式为 y=34x+1， 把 x=0 代入 y=34x+1，得 y=1， P（0，1） 【分析】 （1）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式； （2）先求出点 A、B 的坐标，根据 SQ
19、OB=2SAOB 可得12 |x| = 2 12 ，则有12 2|x| = 2 12 | 43| 2， 解得 xQ=83， 代入反比例函数解析式可得点 Q 的坐标； （3）设点 A 关于 y 轴对称点为点 E，连接 CE 交 y 轴于点 P，则 PA+PC 最短，最短值=CE，利用待定系数法求出直线 CE 的解析式为 y=34x+1，把 x=0 代入 y=34x+1，得 y=1，则点 P（0，1） 。 23 【答案】（1）解：反比例函数2=2(2 0)的图象经过点(6， 1)， 1 =26， 解得：2= 6 点(3，)在反比例函数图象上， =63， 解得： = 2 点(3，2) 一次函数1=
20、1 + (1 0)的图象经过点(3，2)，(6， 1)， 31+ = 2，61+ = 1. 解得1= 13， = 1. 一次函数的表达式为为1= 13 + 1； （2） 解： 根据图象可知当3 6时反比例函数图象在一次函数图象上方， 即此时1 2， 当3 6时1 2 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数图象求解即可。 24 【答案】（1）解：(3，) 在正比例函数 =23 的图象上， =23 3 = 2 ， (3，2) (3，2) 在反比例函数 = 的图象上， = 3 2 = 6 反比例函数的表达式为 =6 （2）解：如解图，过点 A 作 AEBC 于点 E
21、， BD9， 把 x9 代入 =23 ，得 =23 9 = 6 ， (9，6) BDy 轴， 点 C 的纵坐标为 6 把 y6 代入 =6 ， 得 x1， (1，6) = 8 ， = 4 =12 =12 8 4 = 16 【解析】【分析】 （1）先求出点 A 的坐标，再将点 A 的坐标代入 =求出 k 的值即可； （2） 先求出点 C 的坐标， 再求出 BC 和 AE 的长， 最后利用三角形的面积公式可得=12 =12 8 4 = 16。 25 【答案】（1）解：结论：四边形是矩形 证明：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点， ， ， = 90 四边形是平行四边形 = 90， 四边形是矩形
22、（2）证明：矩形的对角线与相交于点， = ， =12， =12 = = 是 的外角， = + = 2 以点为圆心，2为半径作弧，交函数 =1的图象于点， = = = 2 ， = = 2 =13 【解析】【分析】 （1） 先证明四边形是平行四边形， 再结合 = 90可得四边形是矩形； （2） 由矩形的性质先证明 = + = 2， 再利用以点为圆心， 2为半径作弧，交函数 =1的图象于点，可得 = ，所以可得 = 2，再结合 可得 = ，再利用角的等量代换可得 =13。 26 【答案】（1）解：反比例函数 y2=的图象过点 A（2，4） ， m=2 4=8， 反比例函数的表达式为 y= （2）解：
23、如图 1，作 AGx 轴于 G，BHx 轴于 H， 正比例函数 y1=kx 与反比例函数 y2=8的图象相交于点 A（2，4）和点 B， B（-2，-4） ， OG=OH=2，AG=BH=4， 设 E 的坐标为（x，0） （|x|2） ，则 EG=|2-x|，EH=|x+2|， AEG+BEH=AEB=90 ，BEH+EBH=90 ， AEG=EBH， AGE=EHB=90 ， EBHAEG， =，即|+2|4=4|2|， 整理得，x2-4=16， 解得 x= 25， 点 E 的坐标为（25，0）或（-25，0） ； （3）解：M 的坐标为（2，0）或（6，0） 【解析】【解答】(3)解：当四
24、边形 CDNM 是正方形时， 当点 M 在点 C 左侧时，如图， 设 M 的坐标为（a，0） ， 点 C 的坐标是（4，0） ， MC=4-a， ND=4-a， D（4，4-a） ， 点 D 在 y2=8的图象上， 4 (4-a )=8， a=2， M（2，0） ， 当点 M 在点 C 右侧时，如图， 同理求得点 M 的坐标为（6，0） 综上，点 M 的坐标为（2，0）或（6，0） 【分析】 （1）根据待定系数法即可求得答案； （2） 如图1， 作AGx轴于G， BHx轴于H， 通过证明 EBHAEG， 即可得出 |+2|4=4|2|， 解得 x 的值，即可求得点 E 的坐标； （3）根据正方
25、形的性质得出点 D 的坐标，代入反比例函数的解析式得出关于 a 的方程，解方程即可得出点 M 的坐标。 27 【答案】（1）1；1；3 （2）解：如图 1 中，连接 OB A（1，3） ，B（3，1） ， OA=OB= 10， OAC=OBD， 当点 E 与 O 重合时，EBD=OAC，此时 E（0，0） 作 BEOA，则EBD=OAC， 由题意 D（2，0） ， AD= 32+ 32=32，BD= 12+12= 2， BEOA， = 2=232， DE=23 OE= 83 ， E（83，0） ， 综上所述，满足条件的点 E 坐标为（0，0）或（83，0） （3）解：存在如图 2 中： 当四边
26、形 AP1Q1B 是矩形时，易知 P1（4，0） ， 点 B（3，1）向左平移 3 个单位，向下平移 3 个单位得到 Q1（0，4） ； 当四边形 BP2Q2A 是矩形时，P2（4，0） ， 点 A（31）向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 Q2（0，4） 当 AB 是矩形的对角线时，设 AB 的中点为 R（1，1） ，设 P3（m，0） ， RP=22， （1m）2+12=（22 ）2， m=1+7 或 17， P3（17，0） ，P4（1+7，2） ， Q3（1+7，2） ，Q4（17，2） ， 综上所述，满足条件的点 Q 坐标为（0，4）或（0，4）或（1+7，2）或（1-7，2） 【解析】【解答】 （1）A（a，3） 、B（3，b）两点在 y=x+2 上， a=1，b=1， A（1，3） ， （3，1） ， A（1，3）在 y=上， k=3 故答案为1，1，3 【分析】 （1）先求出 a=1，b=1，再求出 A（1，3） ， （3，1） ，最后求解即可； （2）先求出 OA=OB= 10， 再求出 2=232， 最后求点的坐标即可； （3）分类讨论，利用矩形的性质求解即可
