1、中考专题训练：二次函数与相似三角形1如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BDCA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由2如图，已知抛物线y=2x22与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直
2、线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）3如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=x2+bx+c点D为线段AB上一动点，过点D作CDx轴于点C，交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积（3）连接BE，是否存
3、在点D，使得DBE和DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由4如图，抛物线（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由5如图
4、，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，求当BEF与BAO相似时，E点坐标；记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则SEFG与SACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标6如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）（1）求直线BD和抛物线的解析式（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与
5、MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标（3）在抛物线上是否存在点P，使SPBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由7如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式； （2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出BDA的度数8如图，抛物线y=ax2+4x+c过点A(6，0)、B(3，)，与y轴交于点C联结AB并延长，交y轴于点D(1)求该抛物线的表达
6、式；(2)求ADC的面积；(3)点P在线段AC上，如果OAP和DCA相似，求点P的坐标9在平面直角坐标系中，抛物线yx2沿x轴正方向平移后经过点A（x1，y2），B（x2，y2），其中x1，x2是方程x22x0的两根，且x1x2，（1）如图求A，B两点的坐标及平移后抛物线的解析式；（2）平移直线AB交抛物线于M，交x轴于N，且，求MNO的面积；（3）如图，点C为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点C作直线交抛物线于E、F，交x轴于点D，探究的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由10如图，已知二次函数yx24的图象与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），C为顶点一次函数ymx+2
7、的图象经过点A，与y轴交于点D（1）求直线AD的函数表达式；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C若新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD，且当1x3时，新抛物线对应的函数值有最小值为1，求新抛物线对应的函数表达式；（3）如图，连接AC、BC，在坐标平面内，直接写出使得ACD与EBC相似（其中点A与点E是对应点）的点E的坐标11如图，抛物线y+bx+c与x轴交于A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE线段AC于点E（1）求抛物线解析式；（2）如图1，求线段DE的最大值；（3）如图2，连接CD、BC，当BOC与以C、
8、D、E为顶点的三角形相似时，求点D的横坐标12如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tanAOB=2，点C是线段OA的中点（1）求点C的坐标；（2）若点P是x轴上的一个动点，使得APO=CBO，抛物线y=ax2+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D请你探索：是否存在这样的点M，使得MADAOB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由13如图1，已知：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，
9、B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是y=x-2，连结AC（1）求出抛物线的函数关系式；（2）若ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由（3）点P（t，0）是x轴上一动点，P、Q两点关于直线BC成轴对称，PQ交BC于点M，作QHx轴于点H连结OQ，是否存在t的值，使OQH与APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由14如图，已知二次函数的图像过点A(4，3），B(4，4).（1）求二次函数的解析式：（2）求证：ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作P
10、H垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由15如图，二次函数yx2+bx+c与x轴交于点A(2，0)、与y轴交于点C(0，4)，过点A的直线yx+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式并直接写出顶点D的坐标；(2)如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，ABP的面积最大，最大面积是多少？(3)如图2，设直线AB与y轴交于点E点M是直线AB上的一个动点(不与点A、B重合)，当MEC与AOE相似时，请直接写出点M的坐标16如图，已知直线y3x+c与x轴相交于点A（1，0），与
11、y轴相交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A、B，与x轴的另一个交点为C，抛物线的对称轴交x轴于点E（1）直接写出抛物线的解析式；（2）点P是第二象限抛物线上一点，且SPAB2SAOB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP交y轴于点D，若点Q是第二象限内抛物线上一动点，连接QE交CD于点F，求以C、E、F为顶点的三角形与AOB相似时点Q的坐标17抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）该抛物线与直线y=相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N（1）求该抛物线所对应的函数解
12、析式；（2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由18如图，已知抛物线y=ax2-4x+3（a0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）若点P为抛物线上点，当PB=PC时，求点P坐标；（3）若点M为线段BC上点（不含端点），且MAB与ABC相似，求点M坐标19如图，抛物线C1：ymx22mx3m(m0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，
13、顶点为M，另一条抛物线C2与x轴也交于A、B两点，且与y轴的交点是C(0，)，顶点是N(1)求A，B两点的坐标(2)求抛物线C2的函数表达式(3)是否存在m，使得OBD与OBC相似？若存在，请求出m的值；若不存在请说明理由20如图1，抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线的顶点为G（1）求出抛物线的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线向下平移k（k0）个单位，得到抛物线，设与x轴的交点为、，顶点为，当是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点（介于O与B之间），过点M作x
14、轴的垂线分别交抛物线、于P、Q两点，是否存在M点，使得以A、Q、M为顶点的三角形与以P、M、B为顶点的三角形相似，若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，解得：抛物线的解析式为：y=x2+1抛物线的对称轴为y轴点B与点A（1，0）关于y轴对称，B（1，0）（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：，解得：过点A，C的直线解析式为y=x+1BDCA，可设直线BD的解析式为y=x+n点B（1，0）在直线BD上，0=1+n，得n=1直线BD的解析式为：y=x1将y=x1代入抛物线的解析式，得
15、：x1=x2+1，解得：x1=2，x2=1B点横坐标为1，则D点横坐标为2，D点纵坐标为y=21=3D点坐标为（2，3）如图所示，过点D作DNx轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，在RtBDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=在RtADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=又OA=OB=OC=1，OCAB，由勾股定理得：AC=BC=四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+=+（3）存在假设存在这样的点P，则BPE与CBD相似有两种情形：（I）若BPEBDC，如图所示，则有，即，PE=3BE设OE=m（m0），则E（m，0），BE=1m，PE=3BE=33m，点P的
16、坐标为（m，33m）点P在抛物线y=x2+1上，33m=（m）2+1，解得m=1或m=2当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去因此，此种情况不存在（II）若EBPBDC，如图所示，则有，即，BE=3PE设OE=m（m0），则E（m，0），BE=1+m，点P的坐标为（m，）点P在抛物线y=x2+1上，解得m=1或m=m0，故m=1舍去，m=点P的纵坐标为：点P的坐标为（，）综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与CBD相似，点P的坐标为（，）【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或
17、令y=0，由解析式得到（2）求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度（3）本问为存在型问题先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论2解：（1）y=2x22，当y=0时，2x22=0，x=1点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2又当x=0时，y=2，点C的坐标为（0，2），OC=2SABC=ABOC=22=2（2）将y=6代入y=2x22，得2x22=6，x=2，点M的坐标为（2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4平行四边形的面积为8，MN边上的高为：84=2P点纵坐标为62当
18、P点纵坐标为6+2=8时，2x22=8，x=点P的坐标为（，8）或（，8）当P点纵坐标为62=4时，2x22=4，x=，点P的坐标为（，4）或（，4）综上所述，当平行四边形的面积为8时，点P的坐标为（，8）或（，8）或（，4）或（，4）（3）点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），OB=1，OC=2QDB=BOC=90，以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：OB与BD边是对应边时，OBCDBQ，则，即，解得DQ=2（m1）=2m2OB与QD边是对应边时，OBCDQB，则，即，解得综上所述，线段QD的长为2m2或【解析】（1）在二次函数的解析式y=2x
19、22中，令y=0，求出x=1，得到AB=2，令x=0时，求出y=2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出ABC的面积（2）先将y=6代入y=2x22，求出x=2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4分两种情况讨论：当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x22，求出x的值，得到点P的坐标；当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x22，求出x的值，得到点P的坐标（3）由于QDB=BOC=90，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：OB与BD边是对应边，OB与QD边是对应边两种情况，
20、根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积公式，平行四边形的判定，相似三角形的判定，分类思想的应用3（1）y=x23x+4（2）12（3）存在点D，使得DBE和DAC相似，点D的坐标为（3，1）或（2，2）【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式（2）设点C坐标为（m，0）（m0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO，可以简化计算（3）由于ACD为等腰直角三
21、角形，而DBE和DAC相似，则DBE必为等腰直角三角形分BED=90和EBD=90两种情况讨论【解析】解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=4，A（4，0），B（0，4）点A（4，0），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，解得：抛物线的解析式为：y=x23x+4（2）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，AC=4+mOA=OB=4，BAC=45ACD为等腰直角三角形CD=AC=4+mCE=CD+DE=4+m+4=8+m点E坐标为（m，8+m）点E在抛物线y=x23x+4上，8+m=m23m+4，解得m=2C（2，0），AC=OC=2，CE=6S四边
22、形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO=26+（6+4）224=12（3）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，CD=AC=4+m，BD=OC=m，则D（m，4+m）ACD为等腰直角三角形，若DBE和DAC相似，则DBE必为等腰直角三角形i）若BED=90，则BE=DE，BE=OC=m，DE=BE=mCE=4+mm=4E（m，4）点E在抛物线y=x23x+4上，4=m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=3D（3，1）ii）若EBD=90，则BE=BD=m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=2m，CE=4+m2m=4mE（m，4m）点E在抛物线y=x23x+4上，4m=
23、m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=2D（2，2）综上所述，存在点D，使得DBE和DAC相似，点D的坐标为（3，1）或（2，2）4（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0m3）；（3）存在这样的点P使PFC与AEM相似此时m的值为或1，PCM为直角三角形或等腰三角形【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长（3）由于PFC和AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况
24、进行讨论：PFCAEM，CFPAEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM的形状【解析】解：（1）抛物线（a0）经过点A（3，0），点C（0，4），解得抛物线的解析式为（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，A（3，0），点C（0，4），解得直线AC的解析式为点M的横坐标为m，点M在AC上，M点的坐标为（m，）点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点P的坐标为（m，）PM=PEME=（）（）=PM=（0m3）（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存
25、在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似理由如下：由题意，可得AE=3m，EM=，CF=m，PF=，若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似，分两种情况：若PFCAEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3m）=m：（），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90PCM为直角三角形若CFPAEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（）：（），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM为等腰三角形综上所述，存在这样的
26、点P使PFC与AEM相似此时m的值为或1，PCM为直角三角形或等腰三角形5（1）y=（x+2）2；（2）（，3）；SEFG与SACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，60）、（0，3）、（0，5）【解析】试题分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）首先确定点E为RtBEF的直角顶点，相似关系为：BAOBFE；如答图2-1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；首先求出ACD的面积：SACD=8；若SEFG与SACD存在8倍的关系，则SEFG=64或SEFG=1；如答图2-2所示，求出SEFG的表达式，进而求出点F的坐标试题解析：（1）
27、直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2A（-2，0）、B（0，4）抛物线的顶点为点A（-2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，-4）在抛物线上，代入上式得：-4=4a，解得a=-1，抛物线的解析式为y=-（x+2）2（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m）2+2m+4，F（0，-m2+2m+4）点E为顶点，BEF90，若BEF与BAO相似，只能是点E作为直角顶点，BAOBFE，即，可得：BE=2EF如答图2-1，过点E作EHy轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）B（0，4），H（0
28、，2m+4），F（0，-m2+2m+4），BH=|2m|，FH=|-m2|在RtBEF中，由射影定理得：BE2=BHBF，EF2=FHBF，又BE=2EF，BH=4FH，即：4|-m2|=|2m|若-4m2=2m，解得m=-或m=0（与点B重合，舍去）；若-4m2=-2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，BEF为锐角，故此情形不成立m=-，E（-，3）假设存在联立抛物线：y=-（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（-4，-4），SACD=44=8SEFG与SACD存在8倍的关系，SEFG=64或SEFG=1联立平移抛物线：y=-（x-m）2+2m+4与直
29、线AB：y=2x+4，可求得：G（m-2，2m）点E与点G横坐标相差2，即：|xG|-|xE|=2当顶点E在y轴左侧时，如答图2-2，SEFG=SBFG-SBEF=BF|xG|-BF|xE|=BF（|xG|-|xE|）=BFB（0，4），F（0，-m2+2m+4），BF=|-m2+2m|-m2+2m|=64或|-m2+2m|=1，-m2+2m可取值为：64、-64、1、-1当取值为64时，一元二次方程-m2+2m=64无解，故-m2+2m64-m2+2m可取值为：-64、1、-1F（0，-m2+2m+4），F坐标为：（0，-60）、（0，3）、（0，5）同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，
30、5）；综上所述，SEFG与SACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，-60）、（0，3）、（0，5）考点：二次函数综合题6（1）直线BD的解析式为：y=x+3抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）存在，理由见解析【分析】（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式（2）首先确定MCD为等腰直角三角形，因为BND与MCD相似，所以BND也是等腰直角三角形如答图1所示，符合条件的点N有3个（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出PBD面积的表达式，然后根据SPBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解【解析】解：（1
31、）直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（1，0），B（0，3）把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，C（1，0）设直线BD的解析式为：y=kx+b，点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，解得直线BD的解析式为：y=x+3设抛物线的解析式为：y=a（x1）（x3），点B（0，3）在抛物线上，3=a（1）（3），解得：a=1抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）抛物线的解析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）直线BD：y=x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，M（2，1）设对称轴与x轴交点为点F，
32、则CF=FD=MN=1，MCD为等腰直角三角形以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，BND为等腰直角三角形如答图1所示：（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，N1（0，0）（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（3，0）（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0，3）满足条件的点N坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）存在，假设存在点P，使SPBD=6，设点P坐标为（m，n），（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示，过点P作PEx轴于点E，则PE=n，DE=m3，
33、SPBD=S梯形PEOBSBODSPDE=（3+n）m33（m3）n=6，化简得：P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m4=0，解得：m1=4，m2=1n1=3，n2=8P1（4，3），P2（1，8）（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示，过点P作PEy轴于点E，则PE=m，OE=n，BE=3n，SPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=（3+m）（n）+33（3n）m=6，化简得：P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3代入式整理得：m23m+4=0，此方程无解此时点P不存在综上所述，在抛物线上存在点P，使SPBD=6，点P的坐标为（4，3）或（1，8）【
34、点评】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，三角形面积的求解，解题的关键是掌握二次函数性质、相似三角形的判定与性质，学会利用分类讨论的思想求解问题7（1）抛物线的解析式为：y=-x2+x+2（2）存在E点坐标为（0，2），（3，2）（3）ADB=45【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的ABE不存在，所以ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形由相似关系求出点E的坐标； （3）如图2，连结AC，作DEx轴于点E，作BFAD于点F，由B
35、CAD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出点D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出ACB=90，由平行线的性质就可以得出CAD=90，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论【解析】（1）该抛物线过点C（0，2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2将A（-1，0），B（4，0）代入， 得解得，抛物线的解析式为：y=-x2+x+2（2）存在由图象可知，以A、B为直角顶点的ABE不存在，所以ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形在Rt
36、BOC中，OC=2，OB=4， BC=在RtBOC中，设BC边上的高为h，则h=BEACOB，设E点坐标为（x，y）， ，y=2 将y=2代入抛物线y=-x2+x+2得x1=0，x2=3当y=-2时，不合题意舍去E点坐标为（0，2），（3，2）（3）如图2，连结AC，作DEx轴于点E，作BFAD于点F，BED=BFD=AFB=90设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得 yBC=-x+2由BCAD，设AD的解析式为y=-x+n，由图象，得0=-（-1）+nn=-，yAD=-x-x2+x+2=-x-，解得：x1=-1，x2=5D（-1，0）与A重合，舍去； D（5，-3）DEx轴， DE=3，O
37、E=5由勾股定理，得BD=A（-1，0），B（4，0），C（0，2）， OA=1，OB=4，OC=2AB=5在RtAOC中，RtBOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，AC2=5，BC2=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2 ACB是直角三角形， ACB=90BCAD， CAF+ACB=180， CAF=90CAF=ACB=AFB=90， 四边形ACBF是矩形，AC=BF=，在RtBFD中，由勾股定理， 得DF=，DF=BF， ADB=45考点：二次函数综合题8(1)y=-x2+4x-6；(2)SADC=27；(3)点P的坐标为(2，-4)或(，-)【分析】(1)将A(6，0)，B(3
38、，)代入y=ax2+4x+c，即可求出a，c值，进一步写出抛物线解析式；(2)分别求抛物线，直线与坐标轴交点D，C的坐标，可直接求出ADC的面积；(3)先求出OAC=OCA=45，再分类讨论OAP和DCA相似的两种情况，求出AP长度，可利用特殊角进一步求出相关线段的长度，即可写出点P的坐标【解析】解：(1)将A(6，0)，B(3，)代入y=ax2+4x+c，得，解得，a=-，c=-6，该抛物线解析式为：y=-x2+4x-6；(2)将A(6，0)，B(3，)代入y=kx+b，得，解得，k=-，b=3，yAB=-x+3，当x=0时，y=3，D(0，3)，OD=3，在抛物线y=-x2+4x-6中，当
39、x=0时，y=-6，C(0，-6)，OC=6，DC=OC+OD=9，A(6，0)，OA=6，SADC=DCOA=27；(3)由(2)知，OC=OA=6，AOC为等腰直角三角形，OAC=OCA=45，AC=OA=6，如图所示，连接OP，过点P作PHOA于H，则PHA为等腰直角三角形，当DCAOAP时，=，即=，AP=4，HP=HA=AP=4，OH=OA-HA=2，P(2，-4)；当DCAPAO时，=，即=，PA=，HP=HA=，OH=OA-AH=，P(，-)，综上所述，点P的坐标为(2，-4)或(，-)【点评】本题考查了待定系数法求解析式，在二次函数图象中求三角形的面积，三角形相似的判定等，解题
40、的关键是对于两个三角形在只有一组角相等时要分类讨论相似情况9（1）点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，1），;（2）12或28；（3）为定值，定值为1【分析】（1）解方程x22x0得x12，x20即可求得点A坐标为（2，0），抛物线解析式为 ，把x0代入抛物线解析式得y1，即可得点B坐标为（0，1）；（2）如图，过M作MHx轴，垂足为H，由ABMN，即可得ABOMHN，根据相似三角形的性质可得，由此求得MH4，HN8，将y4代入抛物线求得x12，x26，所以M1（2，4），N1（6，0），M2（6，4），N2（14，0）,由此求得MNO的面积即可；（3）设C（2，m），求得CD解析式为ykx
41、+m2k，令y0得kx+m2k0，由此求得点D为（，0）；把CD的解析式与抛物线的解析式联立，消去y得，kx+m2k（x2）2化简得x24（k+1）x+44m+8k0，由根与系数关系得，x1+x24k+4，x1x244m+8k过E、F分别作EPCA于P，FQCA于Q，由ADEP，ADFQ，可得 （2）1，由此可得为定值，定值为1【解析】（1）解方程x22x0得x12，x20点A坐标为（2，0），抛物线解析式为 把x0代入抛物线解析式得y1点B坐标为（0，1）（2）如图，过M作MHx轴，垂足为HABMNABOMHNMH4，HN8将y4代入抛物线可得x12，x26M1（2，4），N1（6，0），M
42、2（6，4），N2（14，0）,（3）设C（2，m），设直线CD为ykx+b将C（2，m）代入上式，m2k+b，即bm2kCD解析式为ykx+m2k，令y0得kx+m2k0，点D为（，0）联立，消去y得，kx+m2k（x2）2化简得，x24（k+1）x+44m+8k0由根与系数关系得，x1+x24k+4，x1x244m+8k过E、F分别作EPCA于P，FQCA于Q，ADEP，ADFQ， （2） 1为定值，定值为1【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解决第（3）问的关键是确定，再利用根与系数的关系解决10（1）yx+2；（2）y（x+1）25或y（x3）21；（3）点E坐标为：（，2）或（2，）或（0，）或（，2）【分析】（1）令二次函数yx24=0，求出点A,B的坐标，把点A的坐标代入一次函数ymx+2，即可求出直线AD的函数表达式；（2）求出顶点C的坐标，根据CCAD，求出CC解析式，设C（t，t4），则新抛物线对应的函数表达式为：，分，1t3，三种情况进行讨论.（3）分ACDEBC和ACDECB两种情况进行讨论.【解析】解：（1）当y0时，0x24，x1
