1、中考专题训练：二次函数的最值问题1【概念提出】如图 ，若正DEF的三个顶点分别在正ABC的边AB、BC、AC上，则我们称DEF是正ABC的内接正三角形（1）求证：ADFBED【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形(保留作图痕迹，不写作法)（2）如图 ，正ABC的边长为a，作正ABC的内接正DEF，使DEF的边长最短，并说明理由；（3）如图，作正ABC的内接正DEF，使FDAB2如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）连接，点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点运动
2、，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当存在时，求运动多少秒使的面积最大，最大面积是多少？（3）在运动过程中，是否存在一个时刻，使以点、构成的三角形与相似？若存在，求出所有可能时刻的值；若不存在，请说明理由3如图，直线与轴交于点（），与轴交于点，抛物线（）经过，两点，为线段上一点，过点作轴交抛物线于点（1）当时，求抛物线的关系式；设点的横坐标为，用含的代数式表示的长，并求当为何值时，？（2）若长的最大值为16，试讨论关于的一元二次方程的解的个数与的取值范围的关系4如图，已知抛物线yx2bxc与一直线相交于A(1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D(1)求抛物线及直线AC的
3、函数关系式；(2)设点M(3，m)，求使MNMD的值最小时m的值；(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由5如图（1），二次函数yax2bx（a0）的图象与x轴、直线yx的交点分别为点A(4，0)、B(5，5)（1）a ，b ，AOB ；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且PBOOBA，求点P的坐标 ；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD2设点C的横坐标为m过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF当
4、CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值6如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点.（1）求该抛物线对应的二次函数关系式；（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形.求n的值；若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.7【定义】函数图
5、象上的任意一点P（x，y），yx称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”【感悟】根据你的阅读理解回答问题：（1）点P （2，1）的“坐标差”为 ；（直接写出答案）（2）求一次函数y2x+1（2x3）的“特征值”；【应用】（3）二次函数yx2+bx+c（bc0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为1，当mxm+3时，此函数的最大值为2m，求m8如图，已知抛物线与轴交于点（1）求该抛物线的表达式；（2）点是线段上方的抛物线上一个动点，求的面积的最大值；（3）点是抛物线的对称轴上一个动点，当以为顶点的三角形是直角三
6、角形时，求出点的坐标9如图，已知抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，经过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为（1）则点的坐标为_，点的坐标为_，抛物线的对称轴为_；（2）点是直线下方抛物线上的一点，当时求面积的最大值；（3）设为抛物线对称轴上一点，点在抛物线上，若以点、为顶点的四边形为矩形，求的值10如图，已知抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长连接PB，PC，求PBC
7、的面积最大时点P的坐标（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由11如图，抛物线y=ax2+(4a1)x4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC=2OB，点D为线段OB上一动点(不与点B重合)，过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于
8、点M、N，连接M、N若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值12抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点（）当x11，x23时，求点E，点A的坐标；（）若顶点E在直线yx上时，用含有b的代数式表示c；在的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（）若x11，b0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值13如图已知直线与抛物线y=ax2+bx+c相交于A（1，0），B（4，m）两点，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB
9、下方的抛物线上一动点，当PAB的面积最大时，求PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当QMN与MAD相似时，求N点的坐标14如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点（1）写出这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线，交直线BC于点E，动点P运动到什么位置时，线段PE的值最大，求出此时P点坐标15二次函数（是常数，）的图象与轴交于点和点（点在点的右侧），
10、与轴交于点，连接（1）用含的代数式表示点和点的坐标；（2）垂直于轴的直线在点与点之间平行移动，且与抛物线和直线分别交于点，设点的横坐标为，线段的长为当时，求的值；若，则当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值16如图，抛物线y=x2+mx+4m与x轴交于点A(，0）和点B(，0)，与y轴交于点C，若对称轴在y轴的右侧（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上取一点M，使|MC-MB|的值最大；（3）点Q是抛物线上任意一点，过点Q作PQx轴交直线BC于点P，连接CQ，当CPQ是等腰三角形时，求点P的坐标17如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x、y轴交于A、B两点，将直线AB沿着y轴翻折，交
11、x轴负半轴于点C（1）求直线BC的函数关系式；（2）点P（0，t）在y轴负半轴上，Q为线段BC上一动点（不与B、C重合）连接PA、PQ，PQPA若点Q为BC中点，求t的值；用t的代数式表示点Q的坐标和直线PQ的函数关系式；若M（2m，n8），N（t32t22m，n）在直线PQ上，求n的取值范围18如图所示，抛物线y=x2+bx+c与直线y=-x+3分别交于x轴，y轴上的B，C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为D，连接CD交x轴于点E（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求该抛物线的对称轴和D点坐标；（3）点F，G是对称轴上两个动点，且FG=2，点F在点G的上方，请直接写出四边形ACF
12、G的周长的最小值；（4）连接BD，若P在y轴上，且PBC=DBA+DCB，请直接写出点P的坐标19在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）抛物线的对称轴为_；（2）若当时，的最小值是，求当时，的最大值；（3）已知直线与抛物线存在两个交点，设左侧的交点为点，当时，求的取值范围20如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2mxn的图像与坐标轴交于A、B、C三点，其中A点的坐标为、点B的坐标是(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)若点D的坐标是，点F为该二次函数在第四象限内图像上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF设平行四边形CDEF的面积为S求S的最大值；在点F的运动过
13、程中，当点E落在该二次函数图像上时，请求出点E的坐标参考答案1（1）证明见解析；（2）作图见解析，理由见解析；（3）作图见解析【分析】概念提出：（1）由等边三角形的性质DF=DE，A=B=60，由三角形内角和可得ADF=BED，即可证ADFBED；问题解决：（2）由SDEF=，可知当SDEF最小时，DF的长最小，设BD=x，则AD=BE=a-x，可得SBED=BEDG= =-（x-）2+a2；然后根据二次函数的性质求解即可；（3）作AB，AC的垂直平分线交点为O，连接AO，作AO的垂直平分线交AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆，交AC于点F，交BC于点E，即可求解【解析】证明（1）ABC与D
14、EF都是正三角形，A=B=60，EDF=60，DF=EDADF+EDF=B+BED，ADF=BED，且DF=DE，A=B=60，ADFBED；问题解决：（2）如图所示：理由：由（1）知ADFBED，同理可证BEDCEF，ADFBEDCEF，过点D作DGBE，设BD=x，则AD=BE=ax，DG=sinBBDx，SBEDBEDG(ax)x(x)2a2；当BD，即点D、E、F是各边中点时，SBED有最大值a2，此时ADF、CEF的面积均为最大a2(正ABC的四分之一)，则内接正DEF的面积最小，即边长最短（3）如图所示： 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，
15、二次函数的性质以及尺规作图，由SDEF=，可知当SDEF最小时，DF的长最小，利用二次函数性质求DF的最小值是本题的关键2（1）二次函数的解析式为；（2）时，最大，最大面积为；（3）或【分析】（1）将点A和点B坐标代入二次函数表达式，得到二元一次方程组，解之即可；（2）设点的运动时间为，过点作轴的垂线，交轴于点，通过证明得到QD的长度，利用PB和QD将PBQ的面积表示出来，得到二次函数，从而求出二次函数的最大值即可；（3）分和两种情况讨论，当时，当时，从而解方程求出t值.【解析】解：（1）将点、代入中得，解得，二次函数的解析式为；（2）在二次函数中，令，解得，已知、，则，如图，设点的运动时间为
16、，则，过点作轴的垂线，交轴于点，轴，则，即，解得，当时，最大，最大面积为；（3）存在由（2）知，在和中，因此存在以下两种情况，得和相似，当时，即，解得；当时，即解得，综上所述，当或时，与相似【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值，综合性较强，依据题意列出关于SPBQ与t的函数关系式是解题的关键.3（1）；当x=1或x=4时，；（2）当时，一元二次方程有一个解；当16时，一元二次方程无解；当16时，一元二次方程有两个解【分析】（1）首先根据题意得出点A、B的坐标，然后代入抛物线解析式即可得出其表达式
17、；首先由点A的坐标得出直线解析式，然后得出点P、Q坐标，根据平行构建方程，即可得解；（2）首先得出，然后由PQ的最大值得出最大值，再利用二次函数图象的性质分类讨论一元二次方程的解即可.【解析】（1）m=5，点A的坐标为（5，0）将x=0代入，得y=2点B的坐标为（0，2）将A（5，0），B（0，2）代入，得解得抛物线的表达式为 将A(5，0)代入，解得：一次函数的表达为 点P的坐标为，又PQy轴，点Q的坐标为，解得：，当x=1或x=4时，；（2）由题意知： 设，为的二次函数，又，长的最大值为16，最大值为16由二次函数的图象性质可知当时，一元二次方程有一个解； 当16时，一元二次方程无解； 当
18、16时，一元二次方程有两个解.【点评】此题主要考查一次函数与二次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.4（1）抛物线的解析式为yx22x3；直线AC的解析式为yx1；（2）；（3）E（0，1）或或.【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N，连接ND，ND与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值（3）设出点E的坐标，分情况讨论，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示
19、出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标【解析】（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3），可得：，解得：，故抛物线为y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（-1，0）、C（2，3）代入得：，解得：，故直线AC为y=x+1（2）作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6，3），由（1）得D（1，4），可求出直线DN的函数关系式为，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，则（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+1），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+
20、3），F在抛物线上，x+3=-x2+2x+3解得，x=0或x=1（舍去），则点E的坐标为：（0，1）当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），点F在抛物线上，x-1=-x2+2x+3，解得x=或x=，所以，y=或y=即点E的坐标为：（，）或（，）综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通5（1）1，4，45；（2）(，)；（3）m，四边形CDEF为平行四边形；m=，2【分析】（1）将点A、B的坐标代
21、入二次函数表达式，即可求解；（2）证明HOBAOB（AAS），得OAOH4，即点H（0，4），即可求解；（3）则CF+DEmm2+4m+（m+2）（m+2）24（m+2）2m2+6m+6，即可求解；如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，当A、D、G三点共线时，AD+DGAG最短，即可求解【解析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故二次函数表达式为：yx2+4x，点O，B在直线y=x上，OB平分xOy,AOB=45；故：答案为：1，4，45；（2）设直线BP交y轴于点H，HOBAOB45，PBOOBA，BOBO，HOBA
22、OB（AAS），OAOH4，即点H（0，4），则直线PB的表达式为：ykx+4，将点B坐标代入上式并解得：直线PB的表达式为：yx+4，将上式与二次函数表达式联立并解得：x5或（舍去正值），则点P（，）；（3）由题意得：直线OB的表达式为：yx，设点C（m，m），CD2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），则点F（m，m24m），点E（m+2），（m+2）24（m+2），则CF+DEmm2+4m+（m+2）（m+2）24（m+2）2m2+6m+6，20，故CF+DE有最大值，此时，m，则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，）、（，）、（，），则CFDE，CFED，故四边形C
23、DEF为平行四边形；如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，ACDG，作点A关于直线OB的对称点A（0，4），连接AD，则ADAD，当A、D、G三点共线时，AD+DGAG最短，此时AC+AD最短，A（4，0），AGCD2，则点G（6，2），则AC+AD最小值AG2；【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系6（1）y=x2+2x+3；（2）F（，）；（3）n=，T(0，-)或n=-，T(0，).【分析】（1）
24、用待定系数法求解即可；（2）作FHAD，过点F作FMx轴，交AD与M，易知当SFAD最大时，点F到直线AD距离FH最大，求出直线AD的解析式，设F(t，t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出FAD的面积，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）分AP为对角线和AM为对角线两种情况求解即可.【解析】解：（1）抛物线x轴相交于点A（1，0），B（3，0），设该抛物线对应的二次函数关系式为y=a(x+1)(x3)，点D（2，3）在抛物线上，3=a(2+1) (23)，3=3a，a=1，y=(x+1)(x3)，即y=x2+2x+3；（2）如图1，作FHAD，过点F作FMx轴，交AD与M，易知当SFA
25、D最大时，点F到直线AD距离FH最大，设直线AD为y=kx+b，A(1，0)，D(2，3)，直线AD为y=x+1.设点F的横坐标为t，则F(t，t2+2t+3)，M(t，t+1)，SFAD= SAMF+ SDMF=MF(Dx-Ax)= 3（t2+2t+3-t-1）=3(t2+t+2)=(t)2+，即当t=时，SFAD最大，当x=时，y=()2+2+3=，F(，)；（3）y=x2+2x+3=-(x-1)2+4，顶点M(1，4).当AP为对角线时，如图2，设抛物线对称轴交x轴于点R，作PSMR，PMS+AMR=90， MAR+AMR=90，PMA=MAR，PSM=ARM=90，PMSMAR，MS=
26、，OP=RS=4+=，n=；延长QA交y轴于T，PMAQ，MPO=OAM，MPS+MPO=90， OAT+OAM=90，MPS=OAT.又PS=OA=1，PSM=AOT=90，PSMAOT，AT=PM=AQ，OT=MS=.AMAQ，T和Q关于AM对称，T(0，-)；当AQ为对角线时，如图3，过A作SRx轴，作PSSR于S，作MRSR于R，RAM+SAP=90， SAP+SPA=90，RAM=SPA，PSA=ARM=90，PSAARM，AS=，OP=，n=-；延长QM交y轴于T，QMAP，APT=MTP，OAP+APT=90， GMT+MTP=90，OAP=GMT.又GM=OA=1，AOP=MG
27、T=90，OAPGMT，MT=AP=MQ，GT=OP=.AMTQ，T和Q关于AM对称，OT=4+=，T(0，).综上可知，n=，T(0，-)或n=-，T(0，).【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，割补法求图形的面积，利用二次函数求最值，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，以及分类讨论的数学思想，用到的知识点较多，难度较大，树中考压轴题.7（1）-1；（2）4；（3）m或m【分析】（1）根据定义直接计算即可（2）由坐标差的定义得到坐标差的函数解析式然后根据一次函数的最值出特征值即可（3）设B点坐标为（0，c），由点A与点B的“坐标差”相等，可得A点坐
28、标为（c，0），代入解析可得c+b1，再由该函数图象的“坐标差”函数解析式，由特征值求出b，c即可得二次函数yx2+3x2，由函数图象对称轴位置分三种情况讨论函数的最大值即可求出m的值【解析】解：（1）点P （2，1）的“坐标差”121，故答案为：1（2）一次函数y2x+1的图象上点的坐标差为：yx2x+1xx+1，函数 yx+1是增函数，当2x3时，x3，y的最大值4，一次函数 y2x+1（2x3）的“特征值”：4（3）yx2+bx+c（bc0）交y轴于点B，点B（0，c）点A与点B的“坐标差”相等，点A （c，0），（c）2+b（c）+c0，bc0，c+b1，yx2+bx+c（bc0）“特
29、征值”为1即函数 yx2+bx+1bxx2+（b1）x+（1b）的最大值为1解得 b3，c2yx2+3x2，当mxm+3时，此函数的最大值为2m，若mm+3时，则x时，函数的最大值为，依题意得：2m，解得m；若m时，xm，函数取最大值为：ym2+3m2，依题意得：m2+3m22m，解得：m（舍去），m，若m+3，即m时，xm+3，函数取最大值为：y（m+3）2+3（m+3）2m23m2依题意得：m23m22m，此方程无实数解综上所述：m或m【点评】本题是一道一次函数与二次函数结合的综合题目，读懂题意，理解新定义是解此题的关键8（1）；（2）BEC的面积的最大值为；（3）符合条件的点的坐标是或或
30、或【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；（2）利用待定系数法确定直线BC解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得EF长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标迎刃而解了；（3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案【解析】（1）抛物线与轴交于点，解得，；（2）如图，作轴交于点记的面积为，设直线BC的解析式为y=kx+b， ，解得，直线解析式为:设，则，当时，此时，点的坐标是；设，；当时，即解得；当时，即，解得；当时，即
31、解得或综上所述，符合条件的点的坐标是或或或【点评】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式，利用二次函数求最值，勾股定理，以及二次函数与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系9（1），抛物线的对称轴是：直线；（2）当时，面积的最大值为；（3）当点、为顶点的四边形为矩形时，的值为，【分析】（1）利用抛物线与轴交点的纵坐标为，列方程直接求解，利用抛物线的对称轴公式直接求对称轴方程；（2）过点作轴交直线于点，利用，建立面积与的横坐标的函数，利用函数的性质求最大值；（3）分别以为边与对角线进行讨
32、论，利用矩形的性质与抛物线的性质及平移的特点求解的坐标，再利用函数知识或三角函数或相似建立方程即可得到答案【解析】解（1）令，得，因为：，所以，所以：，抛物线的对称轴是：直线；（2）过点作轴交直线于点，如图1，抛物线的解析式为， 直线的解析式为设点，则，当时，面积的最大值为图1（3）联立：，得，点若点、为顶点的矩形中，过点作轴，过点作于点如图2，则，则点的坐标为，由平移得，点的坐标为，（负值合去）图2若矩形中为对角线，由，则由平移可得：点的坐标为，过点作轴，点作轴，过点作于点，交于点，如图3，则，（负值舍去）当点、为顶点的四边形为矩形时，的值为，【点评】本题是以二次函数为载体的综合题，考查函数
33、与坐标轴的交点坐标，对称轴方程，图形面积的最值，动态四边形为矩形的讨论中涉及方程组的解法，三角函数，点的坐标平移，知识的系统化是解题关键10（1）yx24x+3；（2）m2+3m，(，)；（3）存在，点M的坐标为(2，3)，( 2，12)或(2，1+2)【分析】（1）根据已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解；（2）先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解；用含m的代数式表示出PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标
34、即可写出点三个位置的点M的坐标【解析】解：（1）抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，解得：；抛物线解析式为：yx24x+3；（2）如图：设P（m，m24m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBCx+3过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，D（m，m+3），PD（m+3）（m24m+3）m2+3m答：用含m的代数式表示线段PD的长为m2+3mSPBCSCPD+SBPDOBPDm2+m（m）2+当m时，S有最大值当m时，m24m+3P（，）答：PBC的面积最大时点P的坐标为（，）（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M
35、、N为顶点的四边形是菱形根据题意，点E（2，1），EFCF2，EC，根据菱形的四条边相等，MEEC，M（2，1）或（2，1+）当EMEF2时，M（2，3）点M的坐标为M1（2，3），M2（2，12），M3（2，1+2）【点评】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件11（1）y=x2+x4；（2）10；（3）m的值为【分析】（1）先求出点C的坐标，由OC2OB，可推出点B坐标，将点B坐标代入yax2（4
36、a1）x4可求出a的值，即可写出抛物线的解析式；（2）设点D坐标为（x，0），用含x的代数式表示出矩形DEFH的周长，用函数的思想求出取其最大值时x的值，即求出点D的坐标，进一步可求出矩形DEFH的面积；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，依次求出直线BH，MN的解析式，再求出点M的坐标，即可得出m的值【解析】解：（1）在抛物线yax2(4a1)x4中，当x0时，y4，C(0，4)，OC4OC2OB，OB2，B(2，0)，将B(2，0)代入yax2(4a1)x4，得：a，抛物线的解
37、析式为yx2x4；（2）设点D坐标为(x，0)四边形DEFH为矩形，H(x， x2x4)yx2x4(x1)2，抛物线对称轴为x1，点H到对称轴的距离为x1，由对称性可知DEFH2x2，矩形DEFH的周长C2(2x2)2(x2x4)x22x12(x1)213，当x1时，矩形DEFH周长取最大值13，此时H(1，)，HF2x24，DH，S矩形DEFHHFDH410；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x1，H(1，)，G(1，)，设直线BH的解析式为ykxb，
38、将点B(2，0)，H(1，)代入，得：，解得：，直线BH的解析式为yx5，可设直线MN的解析式为yxn，将点(1，)代入，得n，直线MN的解析式为yx，当y0时，x，M(，0)B(2，0)，将抛物线沿着x轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，m的值为【点评】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值，平移规律等，解题关键是知道过矩形对角线交点的直线可将矩形的面积分成相等的两半12（）点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；（）c；（）3+【分析】（）根据题意和x11，x23，可以得到点（1，0），（3，0）
39、在抛物线yx2bxc的图象上，然后即可求得该抛物线的解析式，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点A和点E的坐标；（）将题目中的函数解析式化为顶点式，再根据题目中顶点E在直线yx上，即可得到c和b的关系；根据的结果和二次函数的性质，可以求得当点A的位置最高时，抛物线的解析式；（）根据x11，b0和题目中的函数解析式，可以得到点A的坐标，然后即可求得直线AP的解析式，再根据最短路线问题可以得到当P（1，0）满足PAPE值最小时b的值【解析】解：（）抛物线yx2bxc（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，x11，x23，点（1，0），（3，0）在
40、抛物线yx2bxc的图象上，解得，yx22x3（x1）24，点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；（）yx2bxc，点E的坐标为（，），顶点E在直线yx上，c；由知，则点A的坐标为（0，），当b1时，此时点A的位置最高，函数yx2x，即在的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是；（）x11，抛物线yx2bxc过点（x1，0），1bc0，c1b，点E的坐标为（，），点A的坐标为（0，c），E（，），A（0，b1），点E关于x轴的对称点E（，），设过点A（0，b1）、P（1，0）的直线解析式为ykxt，得，直线AP的解析式为y（b1）x（b1）（b1）x（b1）（b1）（x1），当
41、直线AP过点E时，PAPE值最小，（b1）（1），化简得：b26b80，解得：b1，b2b0，b，即b的值是3【点评】本题是一道二次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数的最值、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答13（1）；（2），P（，）；（3）N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1）【分析】（1）将点代入，求出，将点代入，即可求函数解析式； （2）如图，过作轴，交于，求出的解析式，设，表示点坐标，表示长度，利用，建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最值即可， （3）可证明MAD是等腰直角三角形，由QMN与MAD相似，则QMN是等腰直角三角形，设 当MQQN时，N（3，0）； 当QNMN时，过点N作NRx轴，过点M作MSRN交于点S，由（AAS），建立方程求解； 当QNMQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NSx轴，过点作Rx轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；可证MQRQNS（AAS），建立方程求解； 当MNNQ时，过点M作MRx轴，过点Q作QSx轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；可证MNRNQS（AAS），建立方程求解【解析】解：（1）将点代入，将点代入， 解得：，函数解析式为；（2）如图，过作轴，交于，设为，因为：所以
