1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 3：与面积相关的综合题：与面积相关的综合题 1如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（3，0） ，并且 OAOC3OB，动点 P 在过 A，B， C 三点的抛物线上， （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3） 过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E， 交直线 AC 于点 D， 过点 D 作 x 轴的垂线， 垂足为 F， 连接 EF， 以线段 EF 的中点 G 为圆心，以
2、EF 为直径作G，求G 最小面积 2如图，抛物线 yax2+bx与 x 轴相交于 B（1，0） ，C（3，0）两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方，将BCD 沿直线 BD 翻折得到BCD，若点 C 恰好落在抛物线的对称轴上，求点 C和点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，设抛物线与 y 轴交于点 Q，连接 BQ、DQ，点 P 为抛物线上的一个动点（点 P 与点 Q 不重合） ，且 SPBDSBDQ，请求出所有满足条件的点 P 的横坐标 3如图，抛物线 yax2与直线 y2x 在第一象限内交于点 A（2，t） （1）求抛物线的解析式； （
3、2）在 x 轴上是否存在一点 P，使OAP 是以 OA 为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3） 过 A 点作直线 AB 平行 x 轴且交抛物线 yax2于点 B， 在 x 轴的正半轴上找一点 C， 使得 OCAB， 连接 BC 交 y 轴于点 D，直线 AD 上是否存在一点 Q 使得CAQ 的面积与CAB 的面积相等？若存在， 请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 4如图 1，矩形 OBCD 的边 OD，OB 分别在 x 轴和 y 轴上，且 B（0，8） ，D（10，0） 点 E 是 DC 边上一 点，将矩形 OBCD 沿过点 O 的射线 OE
4、 折叠，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 A 处 （1）若抛物线 yax2+bx 经过点 A，D，求此抛物线的解析式； （2）若点 M 是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使AME 为等腰三角形？若存在，直 接写出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图 2，动点 P 从点 O 出发沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度向终点 D 运动，动点 Q 从点 D 出 发沿折线 DCA 以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动 点 P 作直线 lx 轴，依次交射线 OA，OE 于点 F，G，设运动时间为 t（秒） ，QFG 的面积为 S，求 S
5、 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围 （t 的取值应保证QFG 的存在） 5 如图， 已知二次函数 yax2+x+c 的图象与 y 轴交于点 A （0， 4） ， 与 x 轴交于点 B、 C， 点 C 坐标为 （8， 0） ，连接 AB、AC （1）请直接写出二次函数的表达式； （2）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 N 的 坐标； （3）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合） ，过点 N 作 NMAC，交 AB 于点 M，当AMN 面 积最大时，求此时点 N 的坐标 6如图，抛物线与 x 轴相交于点
6、A（3，0） 、点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 D 是第二象限内 抛物线上一动点F 点坐标为（4，0） （1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标； （2）当 D 为抛物线的顶点时，求ACD 的面积； （3）连接 OD 交线段 AC 于点 E当AOE 与ABC 相似时，求点 D 的坐标； （4）在 x 轴上方作正方形 AFMN，将正方形 AFMN 沿 x 轴下方向向右平移 t 个单位，其中 0t4，设 正方形 AFMN 与ABC 的重叠部分面积为 S，直接写出 S 关于 t 的函数解析式 7如图，直线 yx+4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx
7、2+bx+c 经过 B、C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B，C 两点重合） ，当 SBECSBOC时，求点 E 的坐标； （3）若点 F 是抛物线上的一动点，当 SBFC为什么取值范围时，对应的点 F 有且只有两个？ 8 如图， 在平面直角坐标系中， 已知四边形 ABCD 为平行四边形， 点 A 在 y 轴上且在 B 的下方， B （0， 3） ， 且点 C，点 D 在第一象限 （1）若点 A（0，1） ，点 D（2，2） ，求点 C 的坐标； （2）若点 C 在直线 y0.5x+3 上， 若 CDBC，点 D 在抛物线 yx2x+3 上，求点
8、 C 的坐标； 若 CDBC，抛物线 yx2ax+4a 经过点 D、E，与 y 轴交于点 F，若点 E 在直线 BD 上，求 S DEFSABCD的最大值 9综合与实践 如图，抛物线 y与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C点 D 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动，点 E 同时从点 B 出发以相同的速度向点 C 运动， 设运动的 时间为 t 秒 （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）求 t 为何值时，BDE 是等腰三角形； （3）在点 D 和点 E 的运动过程中，是否存在直线 DE 将BOC 的面积分成 1：4 两份，若存在，直接写
9、 出 t 的值；若不存在，请说明理由 10如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OB2OA4 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）设 P 是（1）中抛物线上的一个动点，当直线 OC 平分ACP 时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 G 是线段 AC 的中点，动点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动， 动点 F 从点 B 出发，以每秒个单位长度的速度向终点 C 运动，若 E、F 两点同时出发，运动时间为 t 秒则当 t 为何值时，EFG 的面积是ABC 的面积的？ 11如
10、图（1） ，抛物线 yax2+bx 经过 A 和 B（3，3）两点，点 A 在 x 轴的正半轴，且 OA4 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线上一动点，且在直线 OB 的下方（不与 O、B 重合） ，过 M 作 MKx 轴，交直线 BO 于点 N，过 M 作 MPx 轴，交直线 BO 于点 P，求出MNP 周长的最大值及周长取得最大值时点 M 的坐标； （3）如图（2） ，过 B 作 BDy 轴于点 D，交抛物线于点 C，连接 OC，在抛物线上是否存在点 Q 使得 S OCD：SOCQ3：2，若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 12如图，在平面直角坐标系中，M
11、与 x 轴相交于点 B（4，0） ，D（2，0） ，与 y 轴相交于点 A（0，m） ， C（0，n） （1）求 mn 的值； （2）若抛物线 yx2+bx+c（b，c 为常数）经过点 B，C，点 E 在抛物线上当AED 的重心恰好是原 点 O 时，求该抛物线的解析式 （3）在（2）条件下，P 是抛物线上的动点问：直角平面坐标系中是否存在一点 Q，使得以 A，D，P， Q 为顶点的平行四边形的面积取最小？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 13如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（2，0）和点 B（8，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 8） ，连接
12、AC，D 是抛物线对称轴上一动点，连接 AD，CD，得到ACD （1）求该抛物线的函数解析式 （2）ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出 D 点的坐标；如果不能，请说明理由 （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 E，使得ACE 与ACD 面积相等，如果存在，请求出 点的坐标；如果不存在，请说明理由 14如图，二次函数 yx2+bx+3 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0） ， 点 D 为 OC 的中点，点 P 是第一象限内抛物线上的点 （1）b ； （2）过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，PH 与 BC、BD 分别交于点 M、N是否
13、存在这样的点 P，使得 PM MNNH？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）过点 P 作 PQBD，垂足为 Q，直线 PQ 与 x 轴交于点 R，当 SPQB2SQRB时，求点 P 的坐标 15已知抛物线 yax2+bx+c 过点 M 和坐标原点 O，一次函数 ymx4m 与 x 轴交于点 M （1）求出抛物线的对称轴； （2）如图 1，以线段 OM 为直径作C，在第一象限内的圆上存在一点 B，使得OBC 为等边三角形， 求C 过点 B 的切线 l 的函数解析式； （3）如图 2，在（2）的条件下，当 a0 时，若抛物线上有且只存在三点 D1、D2、D3，使得OD1M OD
14、2MOD3M60，过点 B 的切线与抛物线交于 P、Q 两点，试问：在直线 PQ 下方的抛物线上 是否存在一点 N，使得PNQ 的面积最大？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由 16如图，抛物线 yax2+3ax+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 左侧点 B 的坐标为（1，0） ，且 OC3OB （1）求抛物线的解析式； （2）求点 A 的坐标； （3）若点 D 是在第三象限抛物线上的动点，连结 AD、OD设点 D 的横坐标为 m，ADO 面积为 s， 求 s 关于 m 的函数解析式，并直接写出自变量 m 的取值范围；请问当 m 为何值
15、时，s 有最大值？最大值 是多少 17已知二次函数 yax22ax+a+4（a0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点 D （1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点 D 的坐标； （2）设该函数图象与 y 轴正半轴交于点 C，与 x 轴正半轴交于点 B，图象的对称轴与 x 轴交于点 A，如 果 DCBC，tanDBC，求该二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点 M 在第一象限该函数的图象上，且点 M 的横坐标为 t（t1） ，如果ACM 的面积是，求点 M 的坐标 参考答案参考答案 1解： （1）点 A 的坐标是（3，0） ， OA3， OAOC3OB， OC3，OB1， 点
16、C（0，3） ，点 B（1，0） ， 设抛物线的解析式为：ya（x+1） （x3） ， 33a， a1， 抛物线解析式为：y（x+1） （x3）x2+2x+3； （2）ACP 是以 AC 为底的等腰三角形， APCP， 又OAOC， OP 是 AC 的垂直平分线， OAOC，AOC90，OP 是 AC 的垂直平分线， OP 平分AOC， 直线 OP 解析式为 yx， 联立方程组可得：， 或， 点 P 坐标为（，）或（，） ； （3）如图， 点 A 的坐标是（3，0） ，点 C 坐标为（0，3） ， 直线 AC 解析式为：yx+3， 设点 D 坐标为（m，m+3） ， DE|m|，DF|m+3|
17、， EF2DE2+DF2m2+（m+3）2， G 的面积EF2m2+（m+3）22（m）2+， 当 m时，G 最小面积为 2解： （1）把点 B（1，0） ，C（3，0）分别代入，得 ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）抛物线与 x 轴相交于点 B（1，0） ，点 C（3，0） ， BC4，对称轴为直线 x1， E（1，0） ，BE2， CE， ， ， CBE60， 由翻折得，DBE30， DEBEtan30， D（1，） ； （3）设 BD 交 y 轴于点 F， 设直线 BD 的解析式为 ykx+b（k0） ，则 ， 解得， BD 的解析式为：y， F（0，） ， 抛物线的解析式为
18、， Q（0，） ， 分两种情况： 当点 P、Q 在直线 BD 的同侧时， SPBDSBDQ， PQBD， 直线 PQ 的解析式为：y， 联立方程组， 解得，（舍） ， P（3，0） ； 当点 P 与点 Q 在 BD 的两侧时， SPBDSBDQ， 点 P、点 Q 到直线 BD 的距离相等， F（0，） ，Q（0，） ， ， 在 y 轴上截取 HFFQ，过点 H 作 BD 的平行线，交抛物线于点 P和 P， HFFQ， H（0，） ， 直线 HP的解析式为 y， 联立方程组， 解得， 综上，当点 P 的横坐标为 3 或或时，SPBDSBDQ 3解： （1）把 A（2，t）代入 y2x 中，得 t
19、4， A（2，4） ， 把 A（2，4）代入 yax2中，得 a1， 抛物线的解析式为 yx2； （2）设 P 点的坐标为（m，0） ， 当 OAOP 时，有 m222+42， 解得，m2，或 m2， 此时 P 点的坐标为 P（2，0）或（2，0） ； 当 OAPA 时，有（m2）2+4222+42， 解得，m0（舍） ，或 m4， 此时 P 点坐标为（4，0） ， 综上， 在 x 轴上存在一点 P， 使OAP 是以 OA 为腰的等腰三角形， 其 P 点坐标为 （2， 0） 或 （2， 0）或（4，0） ； （3）过 A 点作直线 AB 平行 x 轴且交抛物线 yx2于点 B， B（2，4）
20、， AB4， ABOC， C（4，0） ， 设直线 BC 的解析式为：ycx+d（c0） ，则 ， 解得， 直线 BC 的解析式为：y， D（0，） ， 同理得，AC 的解析式为 y2x+8， 直线 BO 的解析式为 y2x， 直线 AD 的解析式为 y， OBAC， 当点 Q 与 B 点在直线 AC 同旁时， CAQ 的面积与CAB 的面积相等， BQAC， 即 Q 点在 OB 上，为 AD 与 OB 的交点， 联立方程组得：， 解得， 此时 Q（1，2） ， 当点 Q 与 B 点直线 AC 两旁时， 延长 BA 到 E， 使得 ABAE4， 过 E 作 EQAC， 与 AD 交于点 Q，
21、E（6，4） ， CAQ 的面积与CAB 的面积相等， EQAC， 设 EQ的解析式为 y2x+n， 把 E（6，4）代入 y2x+n，得 n16， EQ的解析式为 y2x+16， 联立方程组， 解得， Q（5，6） ； 综上，直线 AD 上存在一点 Q 使得CAQ 的面积与CAB 的面积相等，其 Q 点坐标为 Q（1，2）或 （5，6） 4解： （1）四边形 OBCD 是矩形，B（0，8） ，D（10，0） ， BCOD10，DCOB8，OBCC90， 由折叠可得：OAOD10，AEDE， OBC90，OB8，OA10， AB6， AC4， 设 AEDEx，则 CE8x， C90， x242
22、+（8x）2， 解得：x5， AEDE5， 点 A 的坐标为（6，8） ，点 E 的坐标为（10，5） ， 抛物线 yax2+bx 经过点 A（6，8） ，D（10，0） ，则，解得， 此抛物线的解析式为 yx2+x； （2）抛物线过 O、D（10，0）两点，则其对称轴为 x5， 设点 M（5，m） ，而点 A（6，8） 、点 E（10，5） ， 则 AE216+925，AM21+（m8）2，EM2（m5）2+25， 当 AEAM 时，则 251+（m8）2，解得：m82； 当 AEEM 时，同理可得：m5； 当 AMEM 时，同理可得：m； 故点 M 的坐标为（5，8+2）或（5，82）或（
23、5，5）或（5，2.5） ； （3）设直线 OA 的解析式 yk1x， 点 A 的坐标为（6，8） ， 6k18，解得：k1， 直线 OA 的解析式 yx， 同理可得：直线 OE 的表达式为 yx， OP1tt， P（t，0） ， 直线x 轴于点 P、点 F， G 是直线 l 与 OA，OE 的交点， 点 F、G 的坐标分别为（t，t） 、 （t，t） ， 则 FGttt， 当 0t8 时，点 Q 在线段 DC 上， 过点 Q 作 QS直线 l，垂足为 S，如图 1， 则 QSPD10t， SFGQSFGPDt（10t）t2+t； 当 8t9 时，点 Q 在线段 CA 上，且在直线 l 的右侧
24、， 设 FG 交 AC 于点 N，如图 2， 则 QNCNCQPDCQ（10t）（t8）182t SFDQNt（182t）t2+t； 当 t9 时，QN182t0，点 Q 与点 N 重合，此时QFG 不存在，故舍去， 当 9t10 时，点 Q 在线段 CA 上，且在直线 l 的左侧，设 FG 交 AC 于点 N，如图 3 则 QNCQCNCQPD（10t）2t18， SFGQNt（2t18）t2t； 综上所述：S 5解： （1）二次函数 yax2+x+c 的图象与 y 轴交于点 A（0，4） ，与 x 轴交于点 B、 C， 点 C 坐标为（8， 0） ， ， ， 二次函数的表达式为：yx2+x
25、+4； （2） ）A（0，4） ，C（8，0） ， AC4， 以 A 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（8，0） ， 以 C 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（84，0）或（8+4，0） 作 AC 的垂直平分线，交 x 轴于 N， ANNC， AN2AO2+NO2， AN216+（8AN）2， AN5， ON3， N 的坐标为（3，0） ， 综上所述，若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标分别 为（8，0）或（84，0）或（3，0）或（8+4，0） ； （3）抛物线 y
26、x2+x+4 与 x 轴交于 B，C 两点， 0 x2+x+4， x12，x28， 点 B（2，0） ， BO2， 设点 N 的坐标为（n，0） ，则 BNn+2，过 M 点作 MDx 轴于点 D， MDOA， BMDBAO， ， MNAC， ， ， OA4，BC10，BNn+2， MD（n+2） ， SAMNSABNSBMNBNOABNMD（n+2）4（n+2）2（n3）2+5， 当 n3 时，AMN 面积最大， N 点坐标为（3，0） 6解： （1）设抛物线解析式为：yax2+bx+c，将点 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3）分别代入得： ， 解得：， 故抛物线解析式为：yx22
27、x+3 由于 yx22x+3（x+1）2+4， 所以该抛物线的顶点坐标是（1，4） ； （2）由（1）知抛物线的顶点坐标为（1，4） ， 过点 D 作 DMy 轴，交 AC 于点 M， AC 的解析式为 yx+3，则点 M 的坐标为（1，2） ，则 DM2， SACDSADM+SCDM22+213 （3）如图 2，过点 D 作 DKx 轴于点 K， 设 D（x，x22x+3） ，则 K（x，0） 并由题意知点 D 位于第二象限 DKx22x+3，OKx BAC 是公共角， 当AOE 与ABC 相似时，有 2 种情况： AODABC tanAODtanABC3 3，解得 x1，x2（舍去） ，
28、D（，） AODACB tanAODtanACB2 2，解得 x1，x2（舍去） D（，2） 综上所述，当AOE 与ABC 相似时，点 D 的坐标是（，）或（，2） （4）如图 3，设 A 点移动后的对应点为 E，EN 与 AC 交于点 G， 当 0t1 时， OAOC，GEOC， AGE 为等腰直角三角形， AEEGt， SAEG； 当 1t2 时，如图 4，同理AFG 为等腰直角三角形， AFGFt1， MGMH1（t1）2t， SMHGMGMH， S五边形GFENH1SMHG1（2t）2+2t1； 当 2t时，如图 5， SS正方形MFEN1； 当t4 时，如图 6，正方形 MFEN 与
29、 BC 边交于 G，H， 过点 G 作 GKOB 于点 K， GKOC， GKBCOB， ， ， BK， AK4， KEGNAEAKt， GNHBOC， ， NH3t11， SGNHGNNH， S五边形MFEHG1SGNH1 综合以上可得 S 7解： （1）由 yx+4 知点 B（0，4） ，点 C（4，0） ， 将 B（0，4） ，C（4，0）代入， 可得， 解得， ； （2）如图，过点 E 作 x 轴的垂线交 BC 于点 N，如下图所示， 设点， 则点 N（a，a+4） ， ， ， ， 解得， 将 x1，x2代入抛物线解析式， 可得， ， ； （3）由题意得，当 F 点在直线 BC 的下方
30、的抛物线上时，一定有两个对应的 F 点满足BCF 面积为 S， 所以当 F 点在直线 BC 的上方的抛物线上时，此时无 F 点满足BCF 面积为 S 才符合题意，故只需讨论 当点 F 在直线 BC 的上方的情况即可， 设点， 由（2）同理可得， 当 m2 时 SBFC的最大值为， 当 SBFC取大于时，无法找到 F 点， 综上所述：当时，对应的点 F 有且只有两个 答： （1）； （ 2 ）， ； （3）当时，对应的点 F 有且只有两个 8解： （1）由点 A、B 的坐标知，AB312CD， 故点 D（2，4） ； （2）如图，设 C（m，m+3） ，则 D（m，m2m+3） ， 作 BHCD
31、 于 H，则 D（m，m2m+3） ， 则 CBCDm2+3m，BHm，CHm，m0， 1+（）2（m+3）2，m3， 故 C（3+，）或（3，） ； yx+3，BHm， BCm CDCBm， 又 CDy 轴， D（m，m2am+4a） ， 由点 B、D 的坐标得，直线 DB 解析式：yx+3， 解方程：x+3x2ax+4a， 整理得：mx2（m2+1a）x+m（1a）0，即mx（1a）（xm）0， 解得：xm 或 x，xE， 而 CDm+3（m2am+4a）m2+（a+）m1+a，且 CDCB， mm2+（a+）m1+a， 整理得：m2+（2a）m+1a0，m（1a）（m1）0， 解得：m1
32、 或 m1a （I）当 m1 时，C（1，） ，D（1，） ，F（0，4a） ，xE1a， 则 SDEFBF （xDxE）（ a1）1（1a）（ a2a） ， 而 SABCDBHCD1， 故 SDEFSABCD（ a2a）（ a）2， 0，故 SDEFSABCD没有最大值； （II） 当 m1a 时，C（1a，） ，D（1a，2a+1） ， 则 F（0，4a） ，xE1， 而 SDEFBF （xDxE）（a1）（1a）1（ a2a） ，SABCDBHCD（1a） （1a）（1a） 2， SDEFSABCD（ a2a）（1a） 23a2+a3（a）2+， SDEFSABCD的最大值为 9解： （
33、1）令 y0，可得 0 x2x3， 解得：x11，x24， 点 A（1，0） ，点 B（4，0） ， 令 x0，可得 y3， 点 C（0，3） ； （2）点 A（1，0） ，点 B（4，0） ，点 C（0，3） ， AB5，OB4，OC3， BC5， 当 BDBE 时，则 5tt， t， 当 BEDE 时，如图 1，过点 E 作 EHBD 于 H， DHBHBD， cosDBC， ， t， 当 BDDE 时，如图 2，过点 D 作 DFBE 于 F， EFBFBEt， cosDBC， ， t， 综上所述：t 的值为，和； （3）SBOCBOCO6， SBOC，SBOC， 如图 1，过点 E 作
34、 EHBD 于 H， sinDBC， ， HEt， 当 SBDESBOC时，则（5t）t， t11，t24， 当 SBDESBOC，时，则（5t）t， t25t+160， 方程无解， 综上所述：t 的值为 1 或 4 10解： （1）OB2OA4， A（2，0） ，B（4，0） ， 把 A（2，0） ，B（4，0）分别代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）如图，设 CP 与 x 轴相交于点 D， OC 平分ACP，AOCO， OAOD2， D（2，0） ， 把 x0 代入得，y4， C（0，4） ， 设直线 CD 的解析式为 ykx+d， 把 C（0，4） ，D（2，0）分别代
35、入 ykx+d 得：， 解得：， y2x4， 依题意得， 解得， P（6，8） ； （3）如图 2，过点 G 作 GHx 轴于点 H， GHy 轴 AHGAOC， ， 由 A（2，0） ，C（0，4） ， 得 G（1，2） ， 点 E 运动到点 B 的时间为4（2）16 秒， 点 F 运动到点 C 的时间为秒， 当 0t4 时，如图 2，过点 F 作 FMx 轴于点 M， 依题意得：， OCOB4，OBC45， FMMBt， EH1t，HG2，HM61t5t，EM6tt62t， SEFGSEGH+S梯形HGFMSEFM， ，EFG 的面积是ABC 的面积的， ， 解得：t11，t24， 当 4
36、t6 时，如图 3， SEFGSAFESAGEt， 综上所述，当 t1 或 t4 时，EFG 的面积是ABC 的面积的 11解： （1）点 A 在 x 轴的正半轴，且 OA4， 点 A（4，0） ， 抛物线 yax2+bx 经过 A（4，0） ，B（3，3） ， ， 解得， 抛物线解析式为：yx24x； （2）点 B（3，3） ， 直线 OB 解析式为 yx， 设点 M（m，m24m） ， 点 N（m，m） ，K（m，0） ， OKKN， KONKNO45， MPx 轴， MPNKON45， MPNKNOMNP45， MPMN， NPMN， MNP 的周长MN+MP+NP2MN+MN2（4mm
37、2m）+（4mm2m）（2+） （3m m2）（2+）（m）2， 当 m时，MNP 的周长的最大值为+， 此时点 M 坐标为（，） ； （3）存在点 Q 使得 SOCD：SOCQ3：2， 理由如下： 如图（2） ，在线段 CB 上截取 CE，连接 OE，过点 E 作 OC 的平行线交抛物线于点 Q，连接 OQ， SOCECEOD31，且 OCQE， SOCQ1， BDy 轴， OD3，点 C 纵坐标为3， 3x24x， x11，x23， 点 C（1，3） ， CD1， SOCD13， SOCD：SOCQ3：2， 点 O（0，0） ，点 C（1，3） ， 直线 OC 解析式为：y3x， CE，
38、点 E（，3） ， OCEQ， 设 EQ 的解析式为：y3x+b， 33+b， b2， EQ 的解析式为：y3x+2， 联立方程组可得， ， 点 Q 坐标为（1，5）或（2，4） 12解： （1）如图 1，连接 BC，AD， 点 B（4，0） ，D（2，0） ，点 A（0，m） ，C（0，n） ， OB4，OD2，AOm，OCn， CBODAO，COBDOA， ADOBCO， ， mn42， mn8； （2）AED 的重心恰好是原点 O，点 D（2，0） ，点 A（0，m） ， 点 E（2，m） ， 又抛物线 yx2+bx+c（b，c 为常数）经过点 B，C， ， 解得：m1，n8c，b5，
39、抛物线的解析式为 yx25x+8； （3）D（2，0） ，点 A（0，1） ， 直线 AD 的解析式为 yx1， 如图 2， 设与直线 AD 平行的直线 L 为 yx+k 与抛物线 yx25x+8 只有一个交点 P 时， 此时ADP 的面积最小，对应的平行四边形的面积2SADP，也最小， x25x+8x+k， 4（8k）0， k， 直线 L 解析式为：yx+， 联立方程组可得：， 解得：， 点 P（3，） ， 设点 Q（x，y） ， 当 AD 与 PQ 为对角线时，则， x5，y， 点 Q（5，） ； 当 AP 与 DQ 为对角线时，则， x5，y， 点 Q（5，） ； 当 AQ 与 PD 为
40、对角线时，则， x1，y， 点 Q（1，） ； 综上所述：点 Q 坐标为（5，）或（5，）或（1，） 13解： （1）由题意可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：yx23x8； （2）ACD 周长能取得最小值， 点 A（2，0） ，点 B（8，0） ， 对称轴为直线 x3， ACD 周长AD+AC+CD，AC 是定值， 当 AD+CD 取最小值时，ACD 周长能取得最小值， 点 A，点 B 关于对称轴直线 x3 对称， 连接 BC 交对称轴直线 x3 于点 D，此时 AD+CD 有最小值， 设直线 BC 解析式为：ykx8， 08k8， k1， 直线 BC 解析式为：yx8， 当 x3，y5，
41、 点 D（3，5） ； （3）存在， 点 A（2，0） ，点 C（0，8） ， 直线 AC 解析式为 y4x8， 如图， ACE 与ACD 面积相等， DEAC， 设 DE 解析式为：y4x+n， 543+n， n7， DE 解析式为：y4x+7， 联立方程组可得：， 解得：， 点 E（1，4+11）或（1，4+11） 14解： （1）二次函数 yx2+bx+3 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ， 1b+30， 解得：b2， 故答案为：2； （2）存在满足条件呢的点 P，使得 PMMNNH 二次函数解析式为 yx2+2x+3， 当 x0 时 y3， C（0，3） ， 当 y0 时，x2+
42、2x+30， 解得：x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 点 D 为 OC 的中点， D（0，） ， 直线 BD 的解析式为 yx+， 设 P（t，t2+2t+3） （0t3） ，则 M（t，t+3） ，N（t，t+） ，H（t，0） ， PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MNt+3（t+）t+，NHt+， MNNH， PMMN， t2+3tt+， 解得：t1，t23（舍去） ， P（，） ， P 的坐标为（，） ，使得 PMMNNH； （3）过点 P 作 PFx 轴于 F，交直线 BD 于 E， OB3，OD，BOD90， BD， co
43、sOBD， PQBD 于点 Q，PFx 轴于点 F， PQEBQRPFR90， PRF+OBDPRF+EPQ90， EPQOBD，即 cosEPQcosOBD， 在 RtPQE 中，cosEPQ， PQPE， 在 RtPFR 中，cosRPF， PRPF， SPQB2SQRB，SPQBBQPQ，SQRBBQQR， PQ2QR， 设直线 BD 与抛物线交于点 G， x+x2+2x+3，解得：x13（即点 B 横坐标） ，x2， 点 G 横坐标为， 设 P（t，t2+2t+3） （t3） ，则 E（t，t+） ， PF|t2+2t+3|，PE|t2+2t+3（t+）|t2+t+|， 如图 2， P
44、Ft2+2t+3，PEt2+t+， PQ2QR， PQPR， PEPF，即 6PE5PF， 6（t2+t+）5（t2+2t+3） ， 解得：t12，t23（舍去） ， P（2，3） 15解： （1）令 ymx4m0，解得 x4，故点 M（4，0） ， 抛物线 yax2+bx+c 过原点 O，则 c0， 故抛物线的表达式为 yax2+bx， 将点 M 的坐标代入上式得：16a+4b0，即 b4a， 故抛物线的表达式为 yax24ax， 则抛物线的对称轴为 x2； （2）由（1）知，OC2，则OBC 为边长为 2 的等边三角形， 则该三角形的高为 2sin60，故点 B 的坐标为（1，） ， 在
45、RtEBC 中，EBC90ECB906030， 故 OE2BC4，则点 E 的坐标为（2，0） ， 设切线 l 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 l 的表达式为 yx+， （3）存在，理由： 抛物线上有且只存在三点 D1、D2、D3，使得OD1MOD2MOD3M60， 则有一个点 D 为抛物线的顶点，如下图， 根据函数的对称轴，则OMD 为边长为 4 的等边三角形， 同理可得，点 D（2，2） ，即抛物线的顶点为 D， 将点 D 的坐标代入得：24ax8a，解得 a， 则抛物线的表达式为 yx22x， 联立并整理得：3x214x40， 解得 x，则 xQxP， 过点 N 作 NHy
46、轴交 PQ 于点 H， 设点 N（x，x22x） ，则点 H（x，x+） ， 则 SPQNSHNP+SHNQHN （xQxP） （x+x2+2x） （x2+ x+） ， a0， 故抛物线开口向下，PNQ 的面积存在最大值， 此时 x，则点 N 的坐标为（，） 16解： （1）B 的坐标为（1，0） ， OB1 OC3OB3，点 C 在 x 轴下方， C（0，3） 将 B（1，0） ，C（0，3）代入抛物线的解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+x3 （2）由抛物线 yax2+3ax+c 的对称轴是直线 x和 B（1，0）知，抛物线与 x 轴的另一交 点坐标 A（4，0） ； （3）
47、设点 D 的横坐标为 m，则点 D 的纵坐标为（0，m2+m3） A（4，0） ， OA4 sOA|yD|m2+m3|m2m+6（m+）2+ 即：s（m+）2+（4m0） 当 m时，s 的最大值是 17解： （1）yax22ax+a+4a（x22x+1）+4a（x1）2+4， 抛物线的对称轴为直线 x1，顶点 D（1，4） ， a0， 抛物线的开口向下； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为 x1， A（1，0） ， 对于 yax22ax+a+4， 令 x0，则 ya+4， C（0，a+4） ， 如图 1， 过点 D 作 DHy 轴于 H， CDH+DCH90， DCBC， BCD90， DCH+OCB90， CDHBCO， BOCCHD90， CDHBCO， ， 在 RtBDC 中，tanDBC， D（1，4） ， DH1， ， CO3， a+4
