1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 16 二次函数中周长与面积的最值问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 山东滨州市 中考真题)如图，抛物线的顶点为 A(h，1)，与 y 轴交于点 B 1 (0,) 2 ，点 F(2，1)为 其对称轴上的一个定点 (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)已知直线 l 是过点 C(0， 3)且垂直于 y 轴的定直线， 若抛物线上的任意一点 P(m， n)到直线 l 的距离为 d， 求证：PFd； (3)已知坐标平面内的点 D(4，3)，请在抛物线上找一点 Q，使DFQ 的周长最小，并求
2、此时DFQ 周长的 最小值及点 Q 的坐标 【答案】 解:(1)设抛物线的函数解析式为 2 ,ya xhk 由题意,抛物线的顶点为2, 1 ,A 2 21.ya x 又抛物线与y轴交于点 1 0, 2 B 21 021 2 a 1 8 a 抛物线的函数解析式为 21 21 8 yx (2)证明：P(m，n)， 22 1111 (2)1 8822 nmmm ， P(m， 2 111 822 mm)， 22 111115 ( 3) 822822 dmmmm ， F(2，1)， 2 22432 111117525 (2)1 822648824 PFmmmmmmm ， 2432 117525 6488
3、24 dmmmm， 2432 117525 648824 PFmmmm， d2=PF2， PF=d (3)如图，过点 Q 作 QH直线 l 于 H，过点 D 作 DN直线 l 于 N DFQ 的周长=DF+DQ+FQ，DF 是定值= 22 222 2 ， DQ+QF 的值最小时，DFQ 的周长最小， QF=QH， DQ+DF=DQ+QH， 根据垂线段最短可知，当 D，Q，H 共线时，DQ+QH 的值最小，此时点 H 与 N 重合，点 Q 在线段 DN 上， DQ+QH 的最小值为 6， DFQ 的周长的最小值为2 2 6 ，此时 Q(4，- 1 2 ) 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了
4、待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会 利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题 2(2020 辽宁朝阳市 中考真题)如图，抛物线 2 1 2 yxbxc 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C， 抛物线的对称轴为直线1x，点 C 坐标为0,4（） (1)求抛物线表达式； (2)在抛物线上是否存在点 P，使ABPBCO，如果存在，求出点 P 坐标；如果不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若点 P 在 x 轴上方，点 M 是直线 BP 上方抛物线上的一个动点，求点 M 到直线 BP 的最 大距离； (4)点G是线段AC上的动点， 点H是线段BC上的
5、动点， 点Q是线段AB上的动点， 三个动点都不与点, ,A B C 重合，连接,GH GQ HQ，得到GHQ，直接写出GHQ周长的最小值 【答案】 解：(1)抛物线对称轴为1x 1 1 2 2 b 1b 将(0,4)代入 2 1 2 yxxc 中， 4c 2 1 4 2 yxx (2)作PEx轴于点 E ,90ABPBCOPEBBOC PEBBOC 1 2 PEOB BEOC (此处也可以由等角的正切值相等得到) 设 2 1 ( ,4) 2 P mmm，则 2 1 42 2 PEmmBEm ， 当点 P 在 X 轴上方时： 2 1 4 1 2 22 mm m 解得 12 3,2mm (不符题意
6、，舍) 当点 P 在 x 轴下方时： 2 1 4 1 2 22 mm m 解得 12 5,2mm (不符题意，舍) 5 ( 3, ) 2 P或 7 ( 5,) 2 P (3)作MFx轴于点 F，交 BP 于点 R，作MN BP于点 N 2 11 4(4)(2) 22 yxxxx ( 4,0)A ，(2 0)B， 设 1BP ykxb 将 5 ( 3, ),(2,0) 2 P 代入得 1 1 5 3 2 02 kb kb 解得 1 1 ,1 2 kb 1 1 2 BP yx 设 2 1 ( ,4) 2 M aaa，则 1 ( ,1) 2 R aa 22 1111 (4)(1)3 2222 MRa
7、aaaa 90MNRRFB ，NRMFRB MNRBFR NRRF MNFB 1 tan 2 RFNR ABP FBMN 在Rt MNR中 :1:2: 5NR MN MR 22 5 55 MN MR 22 556 5515 5 () 555524 MNaaa 当 1 2 a 时，MN 最大为 5 5 4 (4)GHQ周长最小值是12 10 5 解： 作Q点关于AC的对称点 1 Q， 作Q关于CB的对称点 2 Q， 连接 12 QQ与AC于 1 G， 与CB交于点 1 H， 连接 1 QQ交AC于J，连接 2 QQ交CB于K，此时 11 QG H的周长最小，这个最小值= 2 QQ 1 QJJQ，
8、 2 =QK KQ 12 2QQJK 当JK最小时， 12 Q Q最小，如图 2 中： =90CJQCKQ C、J、Q、K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，JK是弦； JCK是定值 直径CQ最小时，弦JK最小 当点Q与点O重合时，CQ最小，此时JK最小，如图 3 中： 在tRCOA中，=90COA，4CO ，4AO 2222 444 2ACAOCO tRCOB，=90COB，=2BO 2222 422 5CBCOBO OJAC，OKCB 11 22 CB OKOC OB 4 5 5 OK 222 4 58 5 4() 55 CNCOOK JCOOCA，CJOCOA CJOCOA CJCO COC
9、A 2 COCJ CA，同理可得： 2 COCK CB CJ CACK CB CJCK CBCA JCKBCA CJKCBA JKCK ABCA 8 5 5 64 2 JK 6 10 = 5 JK QGH周长的最小值= 12 6 1012 10 22 55 QQJK 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及了待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴交点问题，待定 系数法求一次函数，相似三角形的判断与性质，圆的性质，勾股定理，中位线，三角函数等知识点，熟练 掌握二次函数的性质及相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题的关键 3(2020 云南九年级一模)如图，直线 yx+3 与
10、x 轴、y 轴分别交于点 B，点 C，经过 B，C 两点的抛物 线 yx2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P，点 M 为抛物线的对称轴上的一个动点 (1)求该抛物线的解析式； (2)当点 M 在 x 轴的上方时，求四边形 COAM 周长的最小值； (3)在平面直角坐标系内是否存在点 N，使以 C，P，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符 合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)直线3yx-与 x 轴、y 轴分别交于点 B，点 C， 点 B30，点 C03， 抛物线 2 yxbxc经过 B，C 两点， 930 3 bc c ，解得 4 3
11、 b c ， 抛物线的解析式为： 2 43yxx； (2)如图，连接 AM， 2 2 43=21yxxx， 抛物线的对称轴为直线 x2， 点 A 与点 B 关于对称轴对称， AMBM，点 A10， 点 C03，点 A 10，点 B 30， OA1，OC3，OB3， 四边形 COAM 周长OC+OA+AM+CM， 四边形 COAM 周长4+BM+CM， 当点 B，点 M，点 C 三点共线时，BM+CM 有最小值为 BC 的长， 四边形 COAM 周长的最小值4+BC， BC 22 OCOB 993 2， 四边形 COAM 周长的最小值4 3 2 ； (3) 2 2 43=21yxxx， 顶点 P
12、2，-1， 又点 C03， PC 22 2( 1 3) 2 5， 设点 M2,t， MC 22 (20)(3)t 2 613tt ， MP|t+1|， 以 C，P，M，N 为顶点的四边形为菱形， CPM 是等腰三角形， 若 MCMP，则 2 613tt |t+1|， t 3 2 ， 点 M 3 2, 2 ； 若 MPPC，则2 5|t+1|， 1 1 2 5t-， 2 1 2 5t-， 点 M 212 5，或 21 2 5，-； 若 MCPC，则 2 613tt 2 5， 解得： 3 1t(不合题意舍去)， 4 7t ， 点 M2 7，； 综上所述：点 M 的坐标为 3 2 2 ，或2 7，或
13、 212 5，或 21 2 5，- 【点睛】 本题主要考查二次函数与几何的综合运用，熟练掌握二次函数的知识及菱形、等腰三角形的分类讨论是解 题的关键 4(2020 海南海口市 九年级三模)如图 1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，且 OB OC3AO直线 yx+1 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E设直线 AD 上方的抛物线上的动点 P 的横坐标为 t (1)求该抛物线的表达式及点 D 的坐标； (2)如图 1，当 t 为何值时，SPAD 1 2 SDAB； (3)如图 2，过点 P 作 PFx 轴，交直线 AD 于点 F，PGAD 于点 G，
14、GHx 轴于点 H 求PFG 的周长的最大值； 当 PF 1 2 GH 时，求 t 的值 【答案】 解：(1)OBOC3AO3，则点 A、B 的坐标为：(1，0)、(3，0)， 二次函数表达式为：ya(x+1)(x3)a(x22x3)， 即3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3， 将抛物线的表达式与 yx+1 联立并解得：x2 或1， 故点 D(3，2)； (2)过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AD 于点 D， 设点 P(t，t2+2t+3)，则点 M(t，t+1)， SPAD 1 2 SDAB，即： 1 2 PM (xDxA) 1 2 1 2 AB yD， t2 +2
15、t+3t1 1 2 4 3， 解得：t0 或 1； (3)过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AD 于点 Q， 设点 P(t，t2+2t+3)，则点 Q(t，t+1)， 直线 AD 的倾斜角为 45 ，PFx 轴， PQF、PDG 均为等腰直角三角形， 则 PGGF，PQPF， PFG 的周长PF+2PG( 2+1)PF(2+1)PF(2+1)(t 2+2t+3t1)， ( 2+1)(t 1 2 )2+ 9 29 4 ， ( 2+1)0，当 t 1 2 时，PFG 的周长有最大值为 9 29 4 ； 由点 P(t，t2+2t+3)可知， 点 F、G 的坐标分别为(t2+2t+2，t2+2t+3
16、)、( 1 2 t2+ 3t 2 +1， 1 2 t2+ 3t 2 +2)， PF 1 2 GH，即：2(t2+t+2) 1 2 t2+ 3t 2 +2， 解得：t 4 3 或1(舍去1)， 故：t 4 3 【点睛】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代 数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 5(2020 河南九年级其他模拟)如图，抛物线 y=ax2+bx(a0)的图象过原点 O 和点 A(1， 3)，且与 x 轴交于 点 B，AOB 的面积为3 (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴上存
17、在一点 M，使AOM 的周长最小，求 M 点的坐标； (3)点 F 是 x 轴上一动点，过 F 作 x 轴的垂线，交直线 AB 于点 E，交抛物线于点 P，且 PE= 2 3 3 ，直接写 出点 E 的坐标(写出符合条件的两个点即可) 【答案】 解：(1)AOB 的面积为 3， 点 A(1，3)， 1 3 2 OB= 3，OB=2，B(2，0) 抛物线过点 A，B， 3 042 ab ab ，解得： 3 3 2 3 3 a b ， 2 32 3 33 yxx ； (2)抛物线的对称轴为 2 3 3 1 3 2 3 x 点 B 与点 O 关于对称轴1x对称， 由题意得直线 AB 与对称轴的交点就
18、是点 M设直线 AB 为：y kxm 直线 AB 过 A、B 两点， 3 02 km km ，解得： 3 3 2 3 3 k m ， 32 3 33 yx 当1x时， 32 33 333 y ， M(1， 3 3 )； (3)设 F(x，0)，则 E(x， 32 3 33 x )，P(x， 2 32 3 33 xx )， 则 PE= 2 32 332 32 3 () 33333 xxx， 整理得： 2 22xx ， 2 22xx 或 2 22xx， 解得：x1=0，x2=-1，x3= 117 2 ，x4= 117 2 E 的坐标为(0， 2 3 3 )或(1， 3 3 )或( 117 2 ，
19、3 351 6 )或( 117 2 ， 3 351 6 ) 【点睛】 本题是二次函数的综合题 解答(2)小题的关键是找出点 M 的位置， 解答(3)小题的关键是表示出 PE 的长度 6(2020 山西九年级专题练习)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A(0，3)、B(1，0)，其对称轴为 直线 l：x=2，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的 一个动点，设其横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式； (2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，
20、并求出 其最大值； (3)如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF 成为以点 P 为直角顶点的 等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)如图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D， 由对称性得：D(3，0)， 设抛物线的解析式为：y=a(x-1)(x-3)， 把 A(0，3)代入得：3=3a， a=1， 抛物线的解析式；y=x2-4x+3； (2)如图 2，设 P(m，m2-4m+3)， OE 平分AOB，AOB=90 ， AOE=45 ， AOE 是等腰直角三角形， AE=OA=3， E(3
21、，3)， 易得 OE 的解析式为：y=x， 过 P 作 PGy 轴，交 OE 于点 G， G(m，m)， PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3， S四边形AOPE=SAOE+SPOE， = 1 2 3 3+ 1 2 PGAE， = 9 2 + 1 2 3 (-m2+5m-3)， =- 3 2 m2+15 2 m， = 3 2 (m- 5 2 )2+ 75 8 ， - 3 2 0， 当 m= 5 2 时，S 有最大值是 75 8 ； (3)如图 3，过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 l 于 N， OPF 是等腰直角三角形，且 OP=PF， 易得OMPPNF， OM=PN，
22、P(m，m2-4m+3)， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m= 5+ 5 2 或 55 2 ， P 的坐标为( 5+ 5 2 ，1+ 5 2 )或( 55 2 ，1 5 2 )； 如图 4，过 P 作 MNx 轴于 N，过 F 作 FMMN 于 M， 同理得ONPPMF， PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2， 解得：x= 3+ 5 2 或 35 2 - ； P 的坐标为( 3+ 5 2 ，1 5 2 )或( 35 2 - ，1+ 5 2 )； 综上所述， 点 P 的坐标是： ( 5+ 5 2 ，1+ 5 2 )或( 55 2 ， 15 2 )或( 3+ 5 2 ，1 5 2 )或(
23、 35 2 - ，1+ 5 2 ) 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元 二次方程的方法， 解第(2)问时需要运用配方法， 解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题 7(2020 甘肃九年级一模)如图 1，抛物线 2 yxbxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 (0,2)C ， 连接AC，若2OCOA (1)求抛物线的解析式 (2)抛物线对称轴l上有一动点P，当PCPA最小时，求出点P的坐标， (3)如图 2 所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点过点M作直线l l，交抛物 线于点N， 连接CN，BN，
24、 设点M的横坐标为t 当t为何值时，BCN的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】 解：(1)抛物线 y=x2+bx+c 过点 C(0，2)， c=2； 又OC=2OA， OA=1，即 A(1，0)； 又点 A 在抛物线 y=x2+bx+2 上， 0=12+b 1+2，b=-3； 抛物线对应的二次函数的解析式为 y=x2-3x+2； (2)由题意可得：点 A 和点 B 关于直线 l 对称， 连接 BC，与直线 l 交于点 P， 则 PA+PC 的最小值为 PB+PC=BC， 设 BC 的解析式为 y=mx+n， 令 x2-3x+2=0，解得：x=1 或 2， B(2，0)，又 C(0，2)， 2
25、0 2 mn n ，解得： 1 2 m n ， 直线 BC 的解析式为：y=-x+2， 令 x= 3 2 ，代入，得：y= 1 2 ， 当 PC+PA 最小时，点P的坐标为( 3 2 ， 1 2 )； (3)如图所示， 点 M 是直线 l和线段 BC 的交点， M 点的坐标为(t，-t+2)(0t2)， MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t， SBCN=SMNC+SMNB= 1 2 MNt+ 1 2 MN(2-t) = 1 2 MN(t+2-t)=MN=-t2+2t(0t2)， SBCN=-t2+2t=-(t-1)2+1， 当 t=1 时，SBCN的最大值为 1 【点睛】 此题是二
26、次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、最短路径、函数图象交点以及图形面积的 求法等重要知识点；能够将图形面积最大(小)问题转换为二次函数的最值问题是解答(3)题的关键 8(2020 佛山市三水区三水中学附属初中九年级二模)如图(1)， 抛物线 yax2+bx 经过 A 和 B(3， 3)两点， 点 A 在 x 轴的正半轴，且 OA4 (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 是抛物线上一动点，且在直线 OB 的下方(不与 O、B 重合)，过 M 作 MKx 轴，交直线 BO 于点 N，过 M 作 MPx 轴，交直线 BO 于点 P，求出MNP 周长的最大值及周长取得最大值时点 M 的
27、坐标； (3)如图(2)， 过 B 作 BDy 轴于点 D， 交抛物线于点 C， 连接 OC， 在抛物线上是否存在点 Q 使得 SOCD： SOCQ 3：2，若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)点 A 在 x 轴的正半轴，且 OA4， 点 A(4，0)， 抛物线 yax2+bx 经过 A(4，0)，B(3，3)， 1640 933 ab ab ， 解得 1 4 a b ， 抛物线解析式为：yx24x； (2)点 B(3，3)， 直线 OB 解析式为 yx， 设点 M(m，m24m)， 点 N(m，m)，K(m，0)， OKKN， KONKNO45 ， MPx
28、 轴， MPNKON45 ， MPNKNOMNP45 ， MPMN， NP 2MN， MNP 的周长MN+MP+NP2MN+ 2MN2(4mm 2m)+ 2(4mm 2m)(2+ 2)(3mm 2) (2+ 2)(m 3 2 )2 9 4 ， 当 m 3 2 时，MNP 的周长的最大值为 99 2 + 24 ， 此时点 M 坐标为( 3 2 ， 15 4 )； (3)存在点 Q 使得 SOCD：SOCQ3：2， 理由如下： 如图(2)，在线段 CB 上截取 CE 2 3 ，连接 OE，过点 E 作 OC 的平行线交抛物线于点 Q，连接 OQ， SOCE 1 2 CE OD 12 3 23 1，
29、且 OCQE， SOCQ1， BDy 轴， OD3，点 C 纵坐标为3， 3x24x， x11，x23， 点 C(1，3)， CD1， SOCD 1 2 1 3 3 2 ， SOCD：SOCQ3：2， 点 O(0，0)，点 C(1，3)， 直线 OC 解析式为：y3x， CE 2 3 ， 点 E( 5 3 ，3)， OCEQ， 设 EQ 的解析式为：y3x+b， 335 3 +b， b2， EQ 的解析式为：y3x+2， 联立方程组可得 2 32 4 yx yxx ， 12 12 = 12 , 54 xx yy ， 点 Q 坐标为(1，5)或(2，4) 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，熟
30、练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意利用铅垂法进行求解 9(2020 浙江高照实验学校)如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B 与 y 轴 交于点 C(0，3)，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D (1)求二次函数的表达式； (2)在 y 轴上是否存在一点 P，使PBC 为等腰三角形？若存在请求出点 P 的坐标； (3)有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点 D 与点 M 同时 出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止
31、运动，问 点 M、N 运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积 【答案】 解：(1)把 A(1，0)和 C(0，3)代入 y=x2+bx+c， 10 3 bc c 解得：b=4，c=3， 二次函数的表达式为：y=x24x+3； (2)令 y=0，则 x24x+3=0， 解得：x=1 或 x=3， B(3，0)， BC=3 2， 点 P 在 y 轴上，当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1， 当 CP=CB 时，PC=3 2，OP=OC+PC=3+32或 OP=PCOC=323 P1(0，3+3 2)，P2(0，332)； 当 PB=PC 时，OP=OB=3， P3(0，-3
32、)； 当 BP=BC 时， OC=OB=3 此时 P 与 O 重合， P4(0，0)； 综上所述，点 P 的坐标为：(0，3+3 2)或(0，332)或(3，0)或(0，0)； (3)如图 2，设 AM=t，由 AB=2，得 BM=2t，则 DN=2t， SMNB= 1 2 (2t) 2t=t2+2t=(t1)2+1， 当点 M 出发 1 秒到达 D 点时，MNB 面积最大，最大面积是 1此时点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处 或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处 10(2020 北京八中乌兰察布分校八年级期末)如图，已知抛物线 2 3yaxbx与x轴交于点( 1,0)A
33、、 (3,0)B ，顶点为 M (1)求抛物线的解析式和点 M 的坐标； (2)点 E 是抛物线段 BC 上的一个动点，设BEC的面积为 S，求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得以 A、P、C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)抛物线 2 3yaxbx与x轴交于点( 1,0)A 、 (3,0)B ， 30 9330 ab ab 解得 1 2 a b 22 23(1)4yxxx ，则(1,4)M； (2)如图，作 / /EFy轴交BC于点F (3,0)B ，(0,3)C， 直线
34、BC解析式为：3yx 设 2 ( ,23)E mmm，则 ( ,3)F mm 22 (23)(3)3EFmmmmm 22 113327 (3 )3() 22228 SEF OBmmm 当 3 2 m 时，S最大 27 8 此时，点E的坐标是 3 ( 2 ， 15) 4 ； (3)设 (1, )Pn，( 1,0)A 、(0,3)C， 2 10AC， 22 4APn， 222 1 (3)610CPnnn 当ACAP时， 222 ACAPCP，即 22 104610nnn解得 2 3 n 当ACCP时， 222 ACCPAP，即 22 106104nnn解得 8 3 n 当APCP时， 222 AP
35、CPAC，即 22 461010nnn解得1n 或 2 综上所述，存在，符合条件的点P的坐标是 2 (1,) 3 或 8 (1, ) 3 或(1,1)或(1,2)， 【点睛】 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想 把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 11(2020 辽宁朝阳市 九年级二模)如图 1，已知抛物线 yax2+bx+3(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(3， 0)，与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否
36、存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请 直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 Q， 使得QAC 的周长最小？若存在， 求出 Q 点的坐标； 若不存在， 请说明理由 (4)如图 2，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标 【答案】 (1)抛物线 yax2+bx+3(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)， 30 9330 ab ab ，解得： 1 2 a b 所求抛物线解析式为：yx22x+3； (2)如答图 1， 抛物线解析式为：yx
37、22x+3， 其对称轴为 x 2 2 1， 设 P 点坐标为(1，a)，当 x0 时，y3， C(0，3)，M(1，0) 当 CPPM 时，(1)2+(3a)2a2，解得 a 5 3 ， P 点坐标为：P1(1， 5 3 )； 当 CMPM 时，(1)2+32a2，解得 a 10， P 点坐标为：P2(1， 10)或 P3(1，10)； 当 CMCP 时，由勾股定理得：(1)2+32(1)2+(3a)2，解得 a6， P 点坐标为：P4(1，6) 综上所述存在符合条件的点 P，其坐标为 P(1，10)或 P(1，10)或 P(1，6)或 P(1， 5 3 )； (3)存在，Q(1，2)，理由如
38、下： 如答图 2，点 C(0，3)关于对称轴 x1 的对称点 C的坐标是(2，3)，连接 AC，直线 AC与对称轴的交 点即为点 Q 设直线 AC函数关系式为：ykx+t(k0) 将点 A(1，0)，C(2，3)代入，得 0 23 kt kt ， 解得 1 1 k t ， 所以，直线 AC函数关系式为：yx+1 将 x1 代入，得 y2， 即：Q(1，2)； (4)过点 E 作 EFx 轴于点 F，设 E(a，a22a+3)(3a0) EFa22a+3，BFa+3，OFa S四边形BOCE 1 2 BFEF+ 1 2 (OC+EF)OF 1 2 (a+3)(a22a+3)+ 1 2 (a22a
39、+6)(a) 3 2 a2 9 2 a+ 9 2 3 2 (a+ 3 2 )2+ 63 8 ， 当 a 3 2 时，S四边形BOCE最大，且最大值为 63 8 此时，点 E 坐标为( 3 2 ，15 4 ) 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是(2)中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分 类进行求解，不要漏解 12 (2020 广西百色市 九年级一模)如图， 在平面直角坐标系中， RtABC的边BC在x轴上，90ABC， 以A为顶点的抛物线 2 yxbxc 经过点C(3，0)，交 y 轴于点E(0，3)，动点P在对称轴上 (1)求抛物线解析式和顶点A坐标； (2)若点
40、P从A点出发，沿AB方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t 秒，过点 P作PDAB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ当t为何值 时，ACQ的面积最大？最大值是多少？ (3)若点 M 是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点 P，使得以点 P，M，E，C为顶点的四边形是菱 形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)将点 C、E 的坐标代入二次函数表达式得： 930 3 bc c ，解得： 2 3 b c ， 故抛物线的表达式为： 2 yx2x3 ，变形为 2 14yx ，则点 A(1，4)； (2
41、)将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 AC 的表达式为：y2x+6， 点 P(1，4t)，则点 D( 2 2 t ，4t)，设点 Q( 2 2 t ， 2 4 4 t )， 2 22 1111 421 2444 ACQ SDQ BCttttt， 1 0 4 ，故 SACQ有最大值，当 t =2 时，其最大值为 1； (3)存在，设点 P(1，m)，点 M(x，y)， 当 EC 是菱形一条边时， 当点 M 在点 P 右方时， 点 E 向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 C， 则点 P 向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 M， 则 1+3x，m3y， 而
42、MPEP 得：1+(m3)2(x1)2+(ym)2， 解得：ym317， 故点 M(4，17)； 当点 M 在点 P 左方时， 同理可得：点 M(2，3+ 14)； 当 EC 是菱形一对角线时， 则 EC 中点即为 PM 中点， 则 x+13，y+m3， 而 PEPC，即 1+(m3)24+m2， 解得：m1， 故 x2，y3m312， 故点 M(2，2)； 综上，点 M(4，17)或(2，3+ 14)或 M(2，2) 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合，结合一次函数性质、菱形的性质计算是解题的关键 13(2020 全国九年级专题练习)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(4，0)，B(
43、0，4)，C(2，0)三 点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系 式，并求出 S 的最大值 (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 yx 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、 O 为 顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 【答案】 解：(1)设此抛物线的函数解析式为： 2 0yaxbxc a ， 将4,0A ，0, 4B，2,0C三点代入函数解析式得： 1640 4 420 abc c abc ，解得 1 2 1 4 a b c ， 所以此函数解析
44、式为： 2 1 4 2 yxx； (2)M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， M点的坐标为： 2 1 ,4 2 mmm ， AOMOBMAOB SSSS 2 1111 444 ()4 4 2222 mmm 2 2828mmm 2 4mm 2 24m 40m ， 当2m时，S有最大值为：4 84S 答：2m时S有最大值4S (3)设 2 1 ,4 2 P xxx 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQOB， Q的横坐标等于P的横坐标， 又直线的解析式为y x ，则,Q xx 由PQOB，得 2 1 44 2 xxx ， 解得0 x，4，22 5 (0 x不合题意，舍去) 如图，
45、当BO为对角线时，知A与P应该重合，4OP 四边形PBQO为平行四边形则4BQOP，Q横坐标为 4， 代入y x 得出Q为4, 4 由此可得4,4Q 或( 22 5,22 5) 或( 22 5,22 5) 或4, 4 【点睛】 本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法 14(2020 四川成都市 九年级其他模拟)图，二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象经过点 A(1，0)，并且与 直线 y 1 2 x2 相交于坐标轴上的 B、C 两点，动点 P 在直线 BC 下方的二次函数的图象上 (1)求此二次函数的表达式； (2)如图，连接 PC，PB，设PCB 的面积为 S
46、，求 S 的最大值； (3)如图， 抛物线上是否存在点 Q， 使得ABQ2ABC？若存在， 则求出直线 BQ 的解析式及 Q 点坐标； 若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)对于直线 y 1 2 x2， 令 x0，则 y2， 令 y0，即 1 2 x20，解得：x4， 故点 B、C 的坐标分别为(4，0)、(0，2)， 抛物线过点 A、B 两点，则 ya(x+1)(x4)， 将点 C 的坐标代入上式并解得：a 1 2 ， 故抛物线的表达式为 y 1 2 x2 3 2 x2； (2)如图 2，过点 P 作 PH/y 轴交 BC 于点 H， 设点 P(x， 1 2 x2 3 2 x2)，则点 H(x， 1 2 x2)， SSPHB+SPHC 1 2 PH(xBxC) 1 2 4 ( 1 2 x2 1 2 x2+ 3 2 x+2)x2+4x， 10，故 S 有最大值，当 x2 时，S 的最大值为 4； (3)当点 Q 在 BC 下方时，如图 2， 延长 BQ 交 y 轴于点 H，过点 Q 作 QCBC 交 x 轴于点 R，过点 Q 作 QKx 轴于点 K， ABQ2ABC
