1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 16 16 必考抛物线有关的压轴题要多练必考抛物线有关的压轴题要多练 ( (共共 8 8 道小题道小题) ) 1. （20202020 湖北黄石）湖北黄石）在平面直角坐标系中，抛物线 2 2yxkxk 的顶点为 N （1）若此抛物线过点3,1A ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方， 过 C 作CD垂直 x 轴于点 D，CD交AB于点 E，若CEED，求点 C 坐标； （
2、3）已知点 4 3 2,0 3 M ，且无论 k取何值，抛物线都经过定点 H，当60MHN时，求抛物线的 解析式 【答案】 （1） 2 24yxx （2）C（-2,4） （3） 2 (42 3)(84 3)yxx 【解析】 （1）把3,1A 代入 2 2yxkxk 得-9-3k-2k=1 解得 k=-2 抛物线的解析式为 2 24yxx ； （2）设 C（t, 2 24tt）,则 E（t, 2 2 2 t t ）, 设直线 AB的解析式为 y=kx+b，把 A（-3，1） ， （0,4）代入得 13 4 kb b 解得 1 4 k b 直线 AB的解析式为 y=x+4 E（t, 2 2 2 t
3、 t ）在直线 AB上 2 2 2 t t =t+4 解得 t=-2（舍去正值） ， C（-2,4） ； （3）由 2 2yxkxk =k（x-2）-x2, 当 x-2=0即 x=2 时，y=-4 故无论 k取何值，抛物线都经过定点 H（2，-4） 二次函数的顶点为 N（ 2 ,2 24 k k k） 1 如图，过 H点做 HIx轴，若 2 k 2 时，则 k4 4 3 2,0 3 M ，H（2，-4） MI= 4 3 3 ， HI=4 tanMHI= 4 3 3 3 43 MHI=30 60MHN NHI=30 即GNH=30 由图可知 tanGNH= 2 2 3 2 3 24 4 k GH
4、 kGN k 解得 k=4+2 3，或 k=4（舍） 2如图，若 2 k 2，则 k4 同理可得MHI=30 60MHN HNIH，即 2 24 4 k k 解得 k=4 不符合题意； 3若 2 k =2，N、H 重合，舍去 k=4+2 3 抛物线解析式为 2 (42 3)(84 3)yxx 2.（20202020 贵州黔西南）贵州黔西南）已知抛物线 yax 2bx6（a0）交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(1，0)，交 y 轴于 点 C （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1） ，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线
5、AC 于点 D，E，当 PDPE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2） ，点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平分AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标 【答案】 （1）yx 25x6，顶点坐标为(5 2 ，49 4 )； （2）P(3，12)； （3）( 535 2 ，7 2 )或( 535 2 ，7 2 ) 【解析】 （1）将点 A，B 坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出 OA=OC=6，进而得出OAC=45，进而判断出 PD=PE，即可得出当 PE 的长度最大时，PE+PD 取 最大值，设出点 E 坐标，表
6、示出点 P 坐标，建立 PE=-t 2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出 NFx 轴，进而求出点 N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论 【详解】解： （1）抛物线 yax 2bx6 经过点 A（6，0） ，B（1，0） ， 06 03666 ab ab ， ， 解得 a1，b5， 抛物线的解析式为 yx 25x6 yx 25x6(x 5 2 ) 249 4 ， 抛物线的解析式为 yx 25x6，顶点坐标为（5 2 ， 49 4 ） （2）由（1）知，抛物线的解析式为 yx 25x6， C（0，6） ，OC6 A（6，0） ， OA6，OAOC，OAC45 PD 平行于
7、 x 轴，PE 平行于 y 轴， DPE90，PDEDAO45， PED45， PDEPED， PDPE， PDPE2PE， 当 PE 的长度最大时，PEPD 取最大值 设直线 AC 的函数关系式为 ykxd， 把 A（6，0） ，C（0，6）代入得 06 6 kd d ， ， 解得 k1，d6， 直线 AC 的解析式为 yx6 设 E（t，t6） （0t6） ，则 P（t，t 25t6） ， PEt 25t6(t6)t26t(t3)29 10，当 t3 时，PE 最大，此时t 25t612， P（3，12） （3）如答图，设直线 AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F，连接 NF 点 F
8、在线段 MN 的垂直平分线 AC 上， FMFN，NFCMFC ly 轴， MFCOCA45， MFNNFCMFC90， NFx 轴 由（2）知直线 AC 的解析式为 yx6， 当 x 5 2 时，y 7 2 ， F（ 5 2 ， 7 2 ） ， 点 N 的纵坐标为 7 2 点 N 在抛物线上， x 25x67 2 ，解得，x1 535 2 或 x2 535 2 ， 点 N坐标为（ 535 2 ， 7 2 ）或（ 535 2 ， 7 2 ） 【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程， （2）中判断出 PD=PE， （3）中 NFx 轴是解本题的关键 3.（2020 甘
9、肃威武）甘肃威武）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2yaxbx交x轴于A，B两点，交y轴于 点C，且28OAOCOB，点P是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式； （2）若/PCAB，求点P的坐标； （3）连接AC，求PAC面积最大值及此时点P的坐标 【答案】 （1） 2 7 2 2 yxx； （2） （ 7 2 ，2） ； （3）PAC面积的最大值是 8； 点P的坐标为 （2，5） 【解析】 （1）由二次函数的性质，求出点 C 的坐标，然后得到点 A、点 B的坐标，再求出解析式即可； （2）由/PCAB，则点 P 的纵坐标为2，代入解析式，即可求出点 P 的坐标； （3
10、） 先求出直线 AC的解析式， 过点 P 作 PDy轴， 交 AC于点 D， 则 1 2 PAC SPD OA ， 设点 P为 （x， 2 7 2 2 xx） ，则点 D为（x， 1 2 2 x） ，求出 PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大 值，再求出点 P 的坐标即可 解： （1）在抛物线 2 2yaxbx中， 令0 x，则2y ， 点 C的坐标为（0，2） ， OC=2， 28OAOCOB， 4OA， 1 2 OB ， 点 A为（4，0） ，点 B为（ 1 2 ，0） ， 则把点 A、B 代入解析式，得 16420 11 20 42 ab ab ，解得： 1 7 2 a b
11、 ， 2 7 2 2 yxx； （2）由题意，/PCAB，点 C 为（0，2） ， 点 P 的纵坐标为2， 令 2y ，则 2 7 22 2 xx ， 解得： 1 7 2 x =-， 2 0 x ， 点 P 的坐标为（ 7 2 ，2） ； （3）设直线 AC 的解析式为y mxn ，则 把点 A、C代入，得 40 2 mn n ，解得： 1 2 2 m n ， 直线 AC的解析式为 1 2 2 yx ； 过点 P 作 PDy轴，交 AC于点 D，如图： 设点 P 为（x， 2 7 2 2 xx） ，则点 D为（x， 1 2 2 x） ， 22 17 2(2)4 22 PDxxxxx ， OA=
12、4， 22 11 (4 ) 428 22 APC SPD OAxxxx ， 2 2(2)8 APC Sx ， 当2x时， APC S取最大值 8； 22 77 2( 2)( 2)25 22 xx ， 点 P 的坐标为（2，5） 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二 次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题 4.（2021 海南海南模拟）模拟）已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y轴 交于点 C（0，3） ，顶点 D的坐标为（1，4） （1）求抛物线的解
13、析式 （2）在 y轴上找一点 E，使得EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标 （3）点 P 是 x轴上动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P、Q，使得以点 P、Q、B、D 为顶点， BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P、Q 坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）yx22x3； （2）满足条件的点 E 的坐标为（0，3） 、 （0，3+ 10） 、 （0，310） 、 （0， 4 3 ） ； （3）存在，P（1+2 2，0） 、Q（1+22，4）或 P（122，0） 、Q（122，4） 【解析】 （1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点 C 坐
14、标代入求解，即可得出结论； （2）先求出点 A，C坐标，设出点 E坐标，表示出 AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可； （3）利用平移先确定出点 Q 的纵坐标，代入抛物线解析式求出点 Q 的横坐标，即可得出结论 解： （1）抛物线的顶点为（1，4） ， 设抛物线的解析式为 ya（x1）24， 将点 C（0，3）代入抛物线 ya（x1）24 中，得 a43， a1， 抛物线解析式为 ya（x1）24x22x3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 yx22x3， 令 y0，则 x22x30， x1或 x3， B（3，0） ，A（1，0） ， 令 x0，则 y3， C（0，3） ， AC
15、10， 设点 E（0，m） ，则 AE 2 1m ，CE|m+3|， ACE是等腰三角形， 当 ACAE 时，10 2 1m ， m3或 m3（点 C的纵坐标，舍去） ， E（3，0） ， 当 ACCE时，10|m+3|， m310， E（0，3+ 10）或（0，310） ， 当 AECE时， 2 1m |m+3|， m 4 3 ， E（0， 4 3 ） ， 即满足条件的点 E 的坐标为（0，3） 、 （0，3+ 10） 、 （0，310） 、 （0， 4 3 ） ； （3）如图，存在，D（1，4） ， 将线段 BD 向上平移 4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B 的对应点落在抛
16、物线上，这样 便存在点 Q，此时点 D的对应点就是点 P， 点 Q的纵坐标为 4， 设 Q（t，4） ， 将点 Q的坐标代入抛物线 yx22x3 中得，t22t34， t1+2 2或 t122， Q（1+2 2，4）或（122，4） ， 分别过点 D，Q作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G， 抛物线 yx22x3 与 x 轴的右边的交点 B的坐标为（3，0） ，且 D（1，4） ， FBPG312， 点 P的横坐标为（1+2 2）21+22或（122）2122， 即 P（1+2 2，0） 、Q（1+22，4）或 P（122，0） 、Q（122，4） 【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析
17、式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和 性质是解题关键 5 （2021 福建福建模拟模拟）已知抛物 yax2+bx+c（b0）与 x 轴只有一个公共点 （1）若抛物线与 x 轴的公共点坐标为（2，0） ，求 a、c满足的关系式； （2）设 A 为抛物线上的一定点，直线 l：ykx+1k 与抛物线交于点 B、C，直线 BD 垂直于直线 y1， 垂足为点 D当 k0 时，直线 l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且ABC 为等腰直角三角形 求点 A 的坐标和抛物线的解析式； 证明：对于每个给定的实数 k，都有 A、D、C 三点共线 【答案】见解析。 【解析】 （1）抛物线与 x 轴的公共
18、点坐标即为函数顶点坐标，即可求解； （2）ykx+1kk（x1）+1 过定点（1，1） ，且当 k0 时，直线 l 变为 y1 平行 x 轴，与轴的交点 为（0，1） ，即可求解；计算直线 AD 表达式中的 k 值、直线 AC 表达式中的 k 值，两个 k 值相等即可求 解 解： （1）抛物线与 x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：ya（x2）2ax24ax+4a， 则 c4a； （2）ykx+1kk（x1）+1 过定点（1，1） ， 且当 k0 时，直线 l 变为 y1 平行 x 轴，与轴的交点为（0，1） ， 又ABC 为等腰直角三角形， 点 A 为抛物线的顶点； c1，顶点 A（1，
19、0） ， 抛物线的解析式：yx22x+1， ， x2（2+k）x+k0， x（2+k） ， xDxB（2+k） ，yD1； 则 D， yC（2+k2+k， C，A（1，0） ， 直线 AD 表达式中的 k 值为：kAD， 直线 AC 表达式中的 k 值为：kAC， kADkAC，点 A、C、D 三点共线 6 （2021 广西桂林模拟）广西桂林模拟）如图，已知A 的圆心为点（3，0） ，抛物线 yax2x+c 过点 A，与A 交于 B、C 两点，连接 AB、AC，且 ABAC，B、C 两点的纵坐标分别是 2、1 （1）请直接写出点 B 的坐标，并求 a、c 的值； （2）直线 ykx+1 经过点
20、 B，与 x 轴交于点 D点 E（与点 D 不重合）在该直线上，且 ADAE，请判断 点 E 是否在此抛物线上，并说明理由； （3）如果直线 yk1x1 与A 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明 RtBRARtASC（AAS） ，即可求解； （2）点 E 在直线 BD 上，则设 E 的坐标为（x，x+1） ，由 ADAE，即可求解； （3）分当切点在 x 轴下方、切点在 x 轴上方两种情况，分别求解即可 解： （1）过点 B、C 分别作 x 轴的垂线交于点 R、S， BAR+RAB90，RAB+CAS90， RABCAR，又 ABAC， RtBRAR
21、tASC（AAS） ， ASBR2，ARCS1， 故点 B、C 的坐标分别为（2，2） 、 （5，1） ， 将点 B、C 坐标代入抛物线 yax2x+c 并解得： a，c11， 故抛物线的表达式为：yx2x+11； （2）将点 B 坐标代入 ykx+1 并解得：yx+1，则点 D（2，0） ， 点 A、B、C、D 的坐标分别为（3，0） 、 （2，2） 、 （5，1） 、 （2，0） ， 则 AB，AD5， 点 E 在直线 BD 上，则设 E 的坐标为（x，x+1） ， ADAE，则 52（3x）2+（x+1）2， 解得：x2 或 6（舍去2） ， 故点 E（6，4） ， 把 x6 代入 yx
22、2x+114， 故点 E 在抛物线上； （3）当切点在 x 轴下方时， 设直线 yk1x1 与A 相切于点 H，直线与 x 轴、y 轴分别交于点 K、G（0，1） ，连接 GA， AHAB，GA， AHKKOG90，HKAHKA，KOGKHA， ，即：， 解得：KO2 或（舍去） ， 故点 K（2，0） ， 把点 K、G 坐标代入 yk1x1 并解得： 直线的表达式为：yx1； 当切点在 x 轴上方时， 直线的表达式为：y2x1； 故满足条件的直线解析式为：yx1 或 y2x1 7. （2020 湖北孝感）湖北孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 4460yaxaxaa与x轴交于A，B两
23、点（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C，顶点为点D （1）当6a时，直接写出点A，B，C，D的坐标： A_，B_，C_，D_； （2）如图 1，直线DC交x轴于点E，若 4 tan 3 AED ，求a的值和CE的长； （3）如图 2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的 垂线， 垂足为Q， 交AN于点F； 过点F作FHDE， 垂足为H 设点P的横坐标为t， 记fF P F H 用含t的代数式表示f； 设50tm m ，求f的最大值 【答案】 （1）3,0，1,0，0,18，2, 6； （2） 2 3 ； 25 6 ； （3） 2 28 4 33 f
24、tt ； 26 3 【解析】 （1）求出0y 时，x的值可得点 A、B 的坐标，求出0 x时，y的值可得点 C的坐标，将二次函 数的解析式化为顶点式即可得点 D 的坐标； （2）先求出顶点 D的坐标，从而可得 DK、OK的长，再利用正切三角函数可得 EK、OE、OC的长，从而 可得出点 C的坐标，然后将点 C的坐标代入二次函数的解析式可得 a的值，利用勾股定理可求出 CE 的长； （3）如图，先利用待定系数法求出直线 AN的解析式，从而可得点 F的坐标，由此可得出 PF的长，再 利用待定系数法求出直线 CE 的解析式，从而可得点 J 的坐标，由此可得出 FJ 的长，然后根据相似三角形 的判定与
25、性质可得 FHFJ OECE ，从而可得 FH 的长，最后根据f的定义即可得； 先将f的表达式化为顶点式，从而得出其增减性，再利用二次函数的性质即可得 【详解】 （1）当6a时， 2 62418yxx 当0y 时， 2 624180 xx，解得1x或3x 则点 A的坐标为( 3,0)A ，点 B的坐标为( 1,0)B 当0 x时，18y 则点 C的坐标为(0,18)C 将 2 62418yxx化成顶点式为 2 6()62yx 则点 D的坐标为( 2, 6)D 故答案为：3,0，1,0，0,18，2, 6； （2）如图，作DKx轴于点K 将 2 446yaxaxa化成顶点式为 2 (2)6ya
26、x 则顶点 D 的坐标为( 2, 6)D 6DK ，2OK 在Rt DKE中，tan DK AED EK ，即 64 3EK 解得 9 2 EK 95 2 22 KOEEKO 在RtCOE中，tan OC AED OE ，即 4 5 3 2 OC 解得 10 3 OC 10 (0,) 3 C， 2222 105 ()( ) 3 2 2 5 6 CEOCOE 将点 10 (0,) 3 C代入 2 446yaxaxa得： 10 46 3 a 解得 2 3 a ； （3）如图，作FP与ED的延长线交于点J 由（2）可知， 2 3 a ， 10 0, 3 C 2 2810 333 yxx 当0y 时，
27、 2 2810 0 333 xx，解得5x 或1x 5,0A ，10B , NQ为 OC的中点 5 0, 3 N 设直线 AN的解析式为 11 yk xb 将点5,0A ， 5 0, 3 N 代入得： 11 1 50 5 3 kb b ，解得 1 1 1 3 5 3 k b 则直线 AN的解析式为 15 33 yx 2 2810 , 333 P ttt 15 , 33 F tt 22 15281025 ()3 3333333 PFttttt 由（2）知， 2 5 OE 5 ,0 2 E ， 10 0, 3 C 设直线 CE的解析式为 22 yk xb 将点 5 ,0 2 E ， 10 0, 3
28、 C 代入得： 22 2 5 0 2 10 3 kb b ，解得 2 2 4 3 10 3 k b 则直线 CE的解析式为 410 33 yx 410 , 33 J tt 1541055 () 333333 FJttt FHDE，/JF y轴 90FHJEOC，FJHECO FJHECO FHFJ OECE ，即 55 3 2 2 6 5 3 5 t FH 解得1FHt 2 25 31 33 fPFFHttt 即 2 28 4 33 ftt ； 将 2 28 4 33 ftt 化成顶点式为 2226 3 33 tf 由二次函数的性质可知，当3t 时，f随 t的增大而增大；当3t 时，f随 t的
29、增大而减小 50tm m 50m 因此，分以下两种情况： 当53m 时 在5tm 内，f随 t的增大而增大 则当tm时，f取得最大值，最大值为 2226 3 33 m 又当53m 时， 2 0 2 3 3 m 222626 3 333 m 当30m 时 在53t 内，f随 t的增大而增大；在3tm 内，f随 t的增大而减小 则当3t 时，f取得最大值，最大值为 26 3 综上，f的最大值为 26 3 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、相似 三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造相似三角形求出FH的长是解题 关键 8
30、. （20202020 山东济南模拟山东济南模拟） ）已知直线 1: 210 lyx交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过,A B 两点，交x轴于另一点C，4BC ，且对于该二次函数图象上的任意两点 111 ,P x y， 222 ,P x y，当 12 5xx时，总有 12 yy （1）求二次函数的表达式； （2）若直线 2: (10)lymxn n，求证：当2m时， 21 / /ll； （3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线 3: 2 lyxq过点C且交直线AE于点F，求 ABE与 CEF面积之和的最小值 【答案】 （1） 2 21210yxx； （2）详见解析； （3） ABE
31、FCE SS的最小值为40 2 40 【解析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出 A，B 两点的坐标，再根据 BC=4， 得出点 C 的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； （2）利用反证法证明即可； （3）先求出 q 的值，利用/CF AB，得出FCEABE，设04 BEtt，然后用含 t的式子表示 出 ABEFCE SS的面积，再利用二次函数的性质求解即可 解： （1）对于 1: 210 lyx， 当0 x时，10y ，所以0,10A； 当0y 时，2100 x，5x ，所以5,0B， 又因为4BC ，所以9,0C或1,0C， 若抛物线过9,0C，则当57x时
32、，y随x的增大而减少，不符合题意，舍去 若抛物线过1,0C，则当3x 时，必有y随x的增大而增大，符合题意 故可设二次函数的表达式为 2 10yaxbx， 依题意，二次函数的图象过5,0B，1,0C两点， 所以 255100 100 ab ab ，解得 2 12 a b 所求二次函数的表达式为 2 21210yxx （2）当2m时，直线 2: 2(10) lyxn n与直线 1: 210 lyx不重合， 假设 1 l和 2 l不平行，则 1 l和 2 l必相交，设交点为 00 ,P x y， 由 00 00 210 2 yx yxn 得 00 2102 xxn， 解得10n，与已知10n矛盾，
33、所以 1 l与 2 l不相交， 所以 21 /ll （3）如图， 因为直线 3: 2 lyxq过1,0C，所以2q =， 又因为直线 1: 210 lyx，所以 31 /ll，即/CF AB， 所以FCEABE，CFEBAE， 所以FCEABE，所以 2 FCE ABE SCE SBE ， 设04 BEtt，则4CEt ， 11 105 22 ABE SBE OAtt， 所以 2 22 2 (4)5(4) 5 FCEABE CEtt SSt BEtt ， 所以 2 5(4) 5 ABEFCE t SSt t 80 1040t t 2 2 2 1040 240 t t 所以当 2 2t 时， ABEFCE SS的最小值为40 2 40 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知 识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用
