1、专题 16 几何体的几何特征与点线面关系 【压轴综述】【压轴综述】 在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与 垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题正确揭示 空间图形与平面图形的联系， 并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类 问题的关键 要善于将空间问题转化为平面问题： 这一步要求我们具备较强的空间想象能力， 对几何体的结构特征要牢牢抓住. 立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结 合，具有一定的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较多 见. 一.
2、折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新 图形的新特征处理. 二.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； (2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线 垂直数量积为零列出方程组求出法向量； (4)将空间位置关系转化为向量关系； (5)根据定理 结论求出相应的角. 三.几何体的切接、截面问题： (1)求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确 切点和接点的位置， 确定有关元素间的数量关系， 并作出合适的截面图， 如球内切于正方体， 切点为正方体各
3、个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点 均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图 形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步 将空间问题转化为平面内的问题； (2)转化后如何算？因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值 不等式、坐标法，甚至导数都是可以考虑使用的工具 四.角的计算问题 1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、 向量法等，依据题目选择方法求出结果 2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二
4、定角,根据异面直 线所成角的定义找出所成角 三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角 四 结论 3.线面角的计算：(1)利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证 -三计算”. (2)利用向量法求线面角的方法 (i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其 补角)； (ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其 补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷高考文科T3 理科T3)埃及胡夫金字塔是
5、古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面 三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( ) A. B. C. D. 例 2.(2020全国卷高考文科T12 理科T10 )已知A,B,C为球O的球面上的三个点, O1为ABC的外接圆,若O1的面积为 4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 ( ) A.64 B.48 C.36 D.32 例 3. (2020全国卷文科T11 理科T10)已知ABC是面积为的等边三角形,且其顶 点都在球O的球面上.若球O的表面积为 16,则O到平面ABC的距离为 ( )
6、A. B. C.1 D. 例 4.(2020全国卷理科T7)如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点 在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为 ( ) A.E B.F C.G D.H 5.(2020全国卷理科T8 文科T9)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 ( ) A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2 例 6.(2020 新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针 投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点
7、A且与OA垂直的平面,在点A处放置 一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬 40,则晷针与点A处水平面所 成的角为 ( ) A.20 B.40 C.50 D.90 例 7.(2020浙江高考T6)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平 面”是“m,n,l两两相交”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 例 8.(2020全国卷文理科T16)设有下列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行
8、. p4:若直线l平面,直线m平面,则ml. 则下述命题中所有真命题的序号是 . p1p4 p1p2 p2p3 p3p4 例 8.(2020浙江宁波高三)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱 VA上的点(不含端点)， 记直线PB与直线AC所成角为， 直线PB与平面ABC所成角为 ，二面角P ACB的平面角为，则( ) A, B, C, D, 例 9(2021 湖南长沙高三)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA 平 面ABCD，PAAB，点E为PA的中点，则下列判断正确的是( ) APB与CD所成的角为60 BBD 平面PAC CPC平面BDE D :1:4
9、B CDEP ABCD VV 例 10(2021 江苏省新海高级中学高三)如图直角梯形ABCD中，/AB CD，ABBC， 1 1 2 BCCDAB，E为AB中点以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的 位置，且3PC 则( ) A平面PED 平面PCD BPCBD C二面角PDCB的大小为 3 DPC与平面PED所成角的正切值为 2 2 例 11.(2020全国卷高考文科T19)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC 是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90. (1)证明:平面PAB平面PAC; (2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥P-ABC的体积. 例 12.(2
10、020 全国卷文科 T20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C 是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F. (1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F; (2)设O为A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN= ,求四棱锥B-EB1C1F的体 积. 例 13(2021 安徽高三)如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是梯形， ,/AB CD ABAD， 22CDABAD (1)求证：BD 平面 1 BCC； (2)在线段 11 C D上
11、是否存在一点 E，使 /AE面 1 BC D若存在，确定点 E 的位置并证明； 若不存在，请说明理由 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 宁夏长庆高级中学高三)设ab、是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则 下列正确的个数为( ) 若 ,ab a ，则/b；若,/aa，则； 若，则/a；若，则 A1 B2 C3 D4 2(2021 浙江高三月考)在矩形ABCD中，2 3AB ，3AD，E、F 分别为边AD、BC 上的点，且2AEBF，现将ABE沿直线BE折成 1 ABE，使得点 1 A在平面BCDE 上的射影在四边形CDEF内(不含边界)，设二面角 1 ABEC的大小为，直线 1 A
12、B与平 面BCDE所成的角为，直线 1 AE与直线BC所成角为，则( ) A B C D 3(2021 重庆高三)九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面 为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵 1111 ABCABC D 中， 1 5AAAC，3AB ，4BC ， 则在堑堵 111 ABCABC中截掉阳马 111 CABB A后 的几何体的外接球的表面积是( ) A25 B50 C125 2 3 D200 4(2018 届湖南省郴州市二中)已知三棱锥的底面是直角三角形， ，平面， 是的中点 若此三棱锥的体积为， 则异面直线与 所成角的大小为(
13、) A 45 B 90 C 60 D 30 5.(2020 湖北高三月考)如图，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点， 10PC ，6AB，7EF ，则异面直线AB与PC所成的角为( ) A30 B60 C0 D120 6 (2020 广东广雅中学高三)在正方体 1111 ABCDABC D 中， 点O是四边形ABCD的中心， 关于直线 1 AO ，下列说法正确的是( ) A 11 /AO DC B 1 AOBC C 1 /AO平面 11 BCD D 1 AO 平面 11 AB D 7(2020 安徽高三)如图，在正方体 111 ABCDABC D 中，F是棱 11 AD 上动点，下
14、列说法 正确的是( ) A对任意动点F，在平面 11 ADD A内不存在 与平面CBF平行的直线 B对任意动点F，在平面ABCD内存在 与平面CBF垂直的直线 C当点F从 1 A运动到 1 D的过程中，FC与平面ABCD所成的角变大 D当点F从 1 A运动到 1 D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变小 8(2020 江苏镇江高三期中)在直三棱柱 111 ABCABC中， 90BAC， 1 2ABACAA，,E F分别是 11 ,BC AC的中点，D在线段 11 BC上，则下面说法中正 确的有( ) A/ /EF平面 11 AAB B B若D是 11 BC上的中点，则BD EF C直线EF与
15、平面ABC所成角的正弦值为 2 5 5 D直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 3 2 2 9(2021 江苏高三期末)如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，E，F 是线段 11 B D上 的两个动点，且 1 2 EF ，则下列结论中正确的是( ) AACBE B/ /EF平面 ABCD CAEF的面积与 BEF的面积相等 D三棱锥EABF的体积为定值 10 如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 过A点作平面 1 ABD的垂线， 垂足为点H， 有下面三个结论：点H是 1 ABD的中心；AH垂直于平面 11 CB D；直线 1 AC与直线 1 BC
16、所成的角是 90.其中正确结论的序号是_. 11 九章算术中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称 为邪.在四棱锥PABCD 中， 底面ABCD 为邪田， 两畔CD AB，分别为 1， 3， 正广AD 为2 3 ，PD 平面ABCD， 则邪田ABCD的邪长为_； 邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为_. 12.已知球内接三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABC为等边三角形， 且边长为3， 又球的体积为 32 3 ，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为_. 13(2021 安徽高三开学考试)如图，在正方体ABCDABCD 中. (1)求证：平面/ACD平面ACB ；(2)求证：DB平面ACD. 14(2021 全国高三专题练习)如图，四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，四边形 ABCD中，ABAD，4ABAD， 2CD ，45CDA ()求证：平面PAB 平面PAD ； ()设ABAP (1)若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长； (2)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明 理由
