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2021年高考数学压轴讲与练 专题16 几何体的几何特征与点线面关系(原卷版)

1、专题 16 几何体的几何特征与点线面关系 【压轴综述】【压轴综述】 在立体几何中,判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与 垂直的位置关系),计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题正确揭示 空间图形与平面图形的联系, 并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类 问题的关键 要善于将空间问题转化为平面问题: 这一步要求我们具备较强的空间想象能力, 对几何体的结构特征要牢牢抓住. 立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现,往往与不等式、导数、三角函数等相结 合,具有一定的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较多 见. 一.

2、折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量,这是两个图形的桥梁,再结合新 图形的新特征处理. 二.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线 垂直数量积为零列出方程组求出法向量; (4)将空间位置关系转化为向量关系; (5)根据定理 结论求出相应的角. 三.几何体的切接、截面问题: (1)求解与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接解题时要认真分析图形,明确 切点和接点的位置, 确定有关元素间的数量关系, 并作出合适的截面图, 如球内切于正方体, 切点为正方体各

3、个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点 均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面,把空间问题转化为平面图 形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步 将空间问题转化为平面内的问题; (2)转化后如何算?因为已经是平面内的问题,那么方法就比较多了,如三角函数法、均值 不等式、坐标法,甚至导数都是可以考虑使用的工具 四.角的计算问题 1. 二面角的平面角及其求法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、 向量法等,依据题目选择方法求出结果 2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二

4、定角,根据异面直 线所成角的定义找出所成角 三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角 四 结论 3.线面角的计算:(1)利用几何法:原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证 -三计算”. (2)利用向量法求线面角的方法 (i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其 补角); (ii)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其 补角),取其余角就是斜线和平面所成的角. 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷高考文科T3 理科T3)埃及胡夫金字塔是

5、古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面 三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( ) A. B. C. D. 例 2.(2020全国卷高考文科T12 理科T10 )已知A,B,C为球O的球面上的三个点, O1为ABC的外接圆,若O1的面积为 4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 ( ) A.64 B.48 C.36 D.32 例 3. (2020全国卷文科T11 理科T10)已知ABC是面积为的等边三角形,且其顶 点都在球O的球面上.若球O的表面积为 16,则O到平面ABC的距离为 ( )

6、A. B. C.1 D. 例 4.(2020全国卷理科T7)如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点 在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为 ( ) A.E B.F C.G D.H 5.(2020全国卷理科T8 文科T9)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 ( ) A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2 例 6.(2020 新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针 投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点

7、A且与OA垂直的平面,在点A处放置 一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬 40,则晷针与点A处水平面所 成的角为 ( ) A.20 B.40 C.50 D.90 例 7.(2020浙江高考T6)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平 面”是“m,n,l两两相交”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 例 8.(2020全国卷文理科T16)设有下列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行

8、. p4:若直线l平面,直线m平面,则ml. 则下述命题中所有真命题的序号是 . p1p4 p1p2 p2p3 p3p4 例 8.(2020浙江宁波高三)设三棱锥VABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱 VA上的点(不含端点), 记直线PB与直线AC所成角为, 直线PB与平面ABC所成角为 ,二面角P ACB的平面角为,则( ) A, B, C, D, 例 9(2021 湖南长沙高三)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA 平 面ABCD,PAAB,点E为PA的中点,则下列判断正确的是( ) APB与CD所成的角为60 BBD 平面PAC CPC平面BDE D :1:4

9、B CDEP ABCD VV 例 10(2021 江苏省新海高级中学高三)如图直角梯形ABCD中,/AB CD,ABBC, 1 1 2 BCCDAB,E为AB中点以DE为折痕把ADE折起,使点A到达点P的 位置,且3PC 则( ) A平面PED 平面PCD BPCBD C二面角PDCB的大小为 3 DPC与平面PED所成角的正切值为 2 2 例 11.(2020全国卷高考文科T19)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC 是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90. (1)证明:平面PAB平面PAC; (2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥P-ABC的体积. 例 12.(2

10、020 全国卷文科 T20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C 是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F. (1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F; (2)设O为A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN= ,求四棱锥B-EB1C1F的体 积. 例 13(2021 安徽高三)如图,在直四棱柱 1111 ABCDABC D中,底面ABCD是梯形, ,/AB CD ABAD, 22CDABAD (1)求证:BD 平面 1 BCC; (2)在线段 11 C D上

11、是否存在一点 E,使 /AE面 1 BC D若存在,确定点 E 的位置并证明; 若不存在,请说明理由 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 宁夏长庆高级中学高三)设ab、是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则 下列正确的个数为( ) 若 ,ab a ,则/b;若,/aa,则; 若,则/a;若,则 A1 B2 C3 D4 2(2021 浙江高三月考)在矩形ABCD中,2 3AB ,3AD,E、F 分别为边AD、BC 上的点,且2AEBF,现将ABE沿直线BE折成 1 ABE,使得点 1 A在平面BCDE 上的射影在四边形CDEF内(不含边界),设二面角 1 ABEC的大小为,直线 1 A

12、B与平 面BCDE所成的角为,直线 1 AE与直线BC所成角为,则( ) A B C D 3(2021 重庆高三)九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底面 为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,在如图所示的堑堵 1111 ABCABC D 中, 1 5AAAC,3AB ,4BC , 则在堑堵 111 ABCABC中截掉阳马 111 CABB A后 的几何体的外接球的表面积是( ) A25 B50 C125 2 3 D200 4(2018 届湖南省郴州市二中)已知三棱锥的底面是直角三角形, ,平面, 是的中点 若此三棱锥的体积为, 则异面直线与 所成角的大小为(

13、) A 45 B 90 C 60 D 30 5.(2020 湖北高三月考)如图,E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点, 10PC ,6AB,7EF ,则异面直线AB与PC所成的角为( ) A30 B60 C0 D120 6 (2020 广东广雅中学高三)在正方体 1111 ABCDABC D 中, 点O是四边形ABCD的中心, 关于直线 1 AO ,下列说法正确的是( ) A 11 /AO DC B 1 AOBC C 1 /AO平面 11 BCD D 1 AO 平面 11 AB D 7(2020 安徽高三)如图,在正方体 111 ABCDABC D 中,F是棱 11 AD 上动点,下

14、列说法 正确的是( ) A对任意动点F,在平面 11 ADD A内不存在 与平面CBF平行的直线 B对任意动点F,在平面ABCD内存在 与平面CBF垂直的直线 C当点F从 1 A运动到 1 D的过程中,FC与平面ABCD所成的角变大 D当点F从 1 A运动到 1 D的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小 8(2020 江苏镇江高三期中)在直三棱柱 111 ABCABC中, 90BAC, 1 2ABACAA,,E F分别是 11 ,BC AC的中点,D在线段 11 BC上,则下面说法中正 确的有( ) A/ /EF平面 11 AAB B B若D是 11 BC上的中点,则BD EF C直线EF与

15、平面ABC所成角的正弦值为 2 5 5 D直线BD与直线EF所成角最小时,线段BD长为 3 2 2 9(2021 江苏高三期末)如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,E,F 是线段 11 B D上 的两个动点,且 1 2 EF ,则下列结论中正确的是( ) AACBE B/ /EF平面 ABCD CAEF的面积与 BEF的面积相等 D三棱锥EABF的体积为定值 10 如图, 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1, 过A点作平面 1 ABD的垂线, 垂足为点H, 有下面三个结论:点H是 1 ABD的中心;AH垂直于平面 11 CB D;直线 1 AC与直线 1 BC

16、所成的角是 90.其中正确结论的序号是_. 11 九章算术中的“邪田”意为直角梯形,上、下底称为畔,高称为正广,非高腰边称 为邪.在四棱锥PABCD 中, 底面ABCD 为邪田, 两畔CD AB,分别为 1, 3, 正广AD 为2 3 ,PD 平面ABCD, 则邪田ABCD的邪长为_; 邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为_. 12.已知球内接三棱锥PABC中,PA 平面ABC,ABC为等边三角形, 且边长为3, 又球的体积为 32 3 ,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为_. 13(2021 安徽高三开学考试)如图,在正方体ABCDABCD 中. (1)求证:平面/ACD平面ACB ;(2)求证:DB平面ACD. 14(2021 全国高三专题练习)如图,四棱锥PABCD中,PA 底面ABCD,四边形 ABCD中,ABAD,4ABAD, 2CD ,45CDA ()求证:平面PAB 平面PAD ; ()设ABAP (1)若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长; (2)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明 理由