1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 8：与相似三角形相关的综合题：与相似三角形相关的综合题 1已知抛物线 yx2+ax+b 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）填空：a b ； （2）如图 1，已知 E（，0） ，过点 E 的直线与抛物线交于点 M、N，且点 M、N 关于点 E 对称，求直 线 MN 的解析式； （3）如图 2，已知 D（0，1） ，P 是第一象限内抛物线上一点，作 PHy 轴于点 H，若PHD 与BDO 相似，请求出点 P 的横坐标 2如图，抛物线 yax2+2x+c 经过 A（1，0） ，B
2、两点，且与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线与直线 y x1 交于 A，E 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）坐标轴上是否存在一点 Q，使得AQE 是以 AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 （3）P 点在 x 轴上且位于点 B 的左侧，若以 P，B，C 为顶点的三角形与ABE 相似，求点 P 的坐标 3如图，直线 yx+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）设点 M（m，0）为线段 OA 上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与
3、直线 AB 及抛物线分别交于 点 P，N 求 PN 的最大值； 若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，请直接写出点 M 的坐标 4如图，抛物线 yx2+x+2 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称， 点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q （1）求点 A、点 B、点 C 的坐标； （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交直线 BD 于点 M，试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平 行四边形； （3） 点 P 在线段 AB 上运动过程中， 是否存
4、在点 Q， 使得以点 B、 Q、 M 为顶点的三角形与BOD 相似？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 5如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线的 对称轴与直线 BC 交于点 D （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|BMCM|的值最大，求出点 M 的坐标； （3）点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F 问是否存在点 E，使得 以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，直接写出点 E 的坐标 6如图，在平面
5、直角坐标系 xOy 中，将抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+1 相交于点 A（0，1）和点 B （3，2） ，交 x 轴于点 C，顶点为点 F，点 D 是该抛物线上一点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，若点 D 在直线 AB 上方的抛物线上，求DAB 的面积最大时点 D 的坐标； （3）如图 2，若点 D 在对称轴左侧的抛物线上，且点 E（1，t）是射线 CF 上一点，当以 C、B、D 为顶 点的三角形与CAE 相似时，求所有满足条件的 t 的值 7如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 O、A（4，0） 、B（5，5）三点，直线 l 交抛物线于点 B，交 y 轴于点 C
6、（0，4） 点 P 是抛物线上一个动点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 关于直线 OB 的对称点恰好落在直线 l 上，求点 P 的坐标； （3）M 是线段 OB 上的一个动点，过点 M 作直线 MNx 轴，交抛物线于点 N当以 M、N、B 为顶点 的三角形与OBC 相似时，直接写出点 N 的坐标 8如图，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知 A（1，0） ，且直线 BC 的 解析式为 yx2，作垂直于 x 轴的直线 xm，与抛物线交于点 F，与线段 BC 交于点 E（不与点 B 和 点 C 重合） （1）求抛物线的解析式； （2）若CEF
7、是以 CE 为腰的等腰三角形，求 m 的值； （3）点 P 为 y 轴左侧抛物线上的一点，过点 P 作 PMBC 交直线 BC 于点 M，连接 PB，若以 P、M、B 为顶点的三角形与ABC 相似，求 P 点的坐标 9如图，以 D 为顶点的抛物线 yax2+2x+c 交 x 轴于点 A，B（6，0） ，交 y 轴于点 C（0，6） （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 BC 上有一点 P，使 PO+PA 的值最小，求点 P 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 10如图，在平面直角坐
8、标系中，已知点 A 的坐标为（2，4） ，直线 x2 与 x 轴相交于点 B，连结 OA，抛 物线 C：yx2沿射线 OA 方向平移得到抛物线 C，抛物线 C与直线 x2 交于点 P，设抛物线 C的顶点 M 的横坐标为 m （1）求抛物线 C的解析式（用含 m 的式子表示） ； （2）连结 OP，当 tan（OABAOP）时，求点 P 的坐标； （3）点 Q 为 y 轴上的动点，以 P 为直角顶点的MQP 与OAB 相似，求 m 的值 11如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx2 的图象分别交 x、y 轴于点 A、B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，点 P 为第四象限内抛物线上的一
9、个动点 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）过点 P 作 PMy 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 C、D，若以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、 C、D 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标； （3）当PBA2OAB 时，求点 P 的坐标 12在平面直角坐标系中，抛物线 yx2kx2k（k 为常数）的顶点为 N （1）如图，若此抛物线过点 A（3，1） ，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线与 y 轴交于点 B， 求ABO 的度数； 连接 AB，点 P 为线段 AB 上不与点 A，B 重合的一个动点，过点 P 作 CDx 轴交抛物线在第四象限 部分于点 C，交 y
10、 轴于点 D，连接 PN，当BPNBNA 时，线段 CD 的长为 （3）无论 k 取何值，抛物线都过定点 H，点 M 的坐标为（2，0） ，当MHN90时，请直接写出 k 的 值 13如图 1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，且 B 点坐标为（0，4） ，以点 A 为顶点的抛 物线解析式为 y（x+2）2 （1）求一次函数的解析式； （2）如图 2，将抛物线的顶点沿线段 AB 平移，此时抛物线顶点记为 C，与 y 轴交点记为 D，当点 C 的 横坐标为1 时，求抛物线的解析式及 D 点的坐标； （3）在（2）的条件下，线段 AB 上是否存在点 P，使以点 B，D，P 为顶点的三
11、角形与AOB 相似，若 存在，求出所有满足条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由 14已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交于 A（3，0） 、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3m） （m0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ； （2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接 AC、OP 相交于点 Q，求 的最大值； （3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D、C 为顶点的三角形与BOC 相似 15如图，已知抛物线经 yax2+bx3 过 A（1，0） ，B（3，0） ，C 三点 （1）
12、求抛物线解析式； （2）如图 1，点 P 是 BC 上方抛物线上一点，作 PQx 轴交 BC 于 Q 点请问是否存在点 P 使得BPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3） 如图 2， 连接 AC， 点 D 是线段 AB 上一点， 作 DEBC 交 AC 于 E 点， 连接 BE， 若BDECEB， 求 D 点坐标 16如图，将抛物线 W1：yx2+3 平移后得到 W2，抛物线 W2经过抛物线 W1的顶点 C，且与 x 轴相交于 A、B 两点，其中 B（1，0） ，抛物线 W2顶点是 D （1）求抛物线 W2的关系式； （2）设点 E 在抛物线 W2上，
13、连接 AC、DC，如果 CE 平分DCA，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线 W1沿 x 轴方向平移，点 C 的对应点为 F，当DEF 与ABC 相似时， 请求出平移后抛物线的表达式 参考答案参考答案 1解： （1）抛物线的表达式为：y（x1） （x3）x24x+3， 故答案为：4，3； （2）设点 M、N 的横坐标为 m，n， 直线 MN 的表达式为：yk（x）， 联立并整理得：x2（4+k）x+（3k）0， 则 m+n4+k， 点 M、N 关于点 E 对称，则 yM+yNkmk+knkk（m+n）5k0， 即（4+k）k5k0， 解得：k0（舍去）或 1， 故直线 MN
14、的表达式为：yx； （3）设点 P（m，m24m+3） ，则 PHm，HD|m24m+31|， 而 OB3，OD1，则 tanDOB， 若PHD 与BDO 相似，则 tanHPD或 3， 即或 4，即或 3， 解得：m或或 2解： （1）将 A（1，0） ，C（0，3）代入 yax2+2x+c， 得， 解得， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3； （2）联立， 解得，或， E（4，5） ， 如图 1，当点 Q 在 x 轴上时，设 Q（m，0） ， AE 为底边， QAQE， QA2QE2， 即（m+1）252+（m4）2， 解得，m4， Q1（4，0） ； 当点 Q 在 y 轴上时，设 Q（0
15、，n） ， AE 为底边， QAQE， QA2QE2， 即 n2+1242+（n+5）2， 解得，n4， Q2（0，4） ； 综上所述，Q1（4，0） ，Q2（0，4） ； （3）如图 2，过点 E 作 EHx 轴于点 H， A（1，0） ，E（4，5） ， AHEH5，AE5， BAE45， 又 OBOC3， ABC45，AB4，BC3， 设 P（t，0） ，则 BP3t， BAEABC45， 只可能存在PBCBAE 和PBCEAB 两种情况， 当PBCBAE 时， ， t， P1（，0） ； 当PBCEAB 时， ， t， P2（，0） ， 综上所述，点 P 的坐标为（，0）或（，0） 3
16、解： （1）直线 yx+c 交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B， 02+c，解得 c2， B（0，2） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B， 将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式并解得： yx2+x+2； （2）M（m，0） ，则 P（m，） ，N（m，m2+m+2） ， PNm2+m+2m2+4m（0m3） ； 当 m时，线段 PN 有最大值为 3； 由（1）可知直线解析式为 yx+2， M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N， P（m，m+2） ，N（m，m2+m+2） ， PMm+2，AM3m，PNm2
17、+m+2（m+2）m2+4m， BPN 和APM 相似，且BPNAPM， BNPAMP90或NBPAMP90， 当BNP90时，则有 BNMN， N 点的纵坐标为 2， m2+m+22，解得 m0（舍去）或 m， M（，0） ； 当NBP90时，过点 N 作 NCy 轴于点 C， 则NBC+BNC90，NCm，BCm2+m+22m2+m， NBP90， NBC+ABO90， ABOBNC， RtNCBRtBOA， ， 解得 m0（舍去）或 m， M（，0） ； 综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似时，点 M 的坐标为（，0）或（，0） 4解： （1）抛物线 yx2+x+2，当
18、 x0 时，y2，因此点 C（0，2） ， 当 y0 时，即：x2+x+20，解得 x14，x21，因此点 A（1，0） ，B（4，0） ， 故：A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，2） ； （2）点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 D（0，2） ，CD4， 设直线 BD 的关系式为 ykx+b，把 D（0，2） ，B（4，0）代入得， ，解得，k，b2， 直线 BD 的关系式为 yx2， 设 M（m，m2） ，Q（m，m2+m+2） ， QMm2+m+2m+2m2+m+4， 当 QMCD 时，四边形 CQMD 是平行四边形； m2+m+44， 解得 m10（舍去） ，m22， 答：m
19、2 时，四边形 CQMD 是平行四边形； （3）在 RtBOD 中，OD2，OB4，因此 OB2OD， 若MBQ90时，如图 1 所示， 当QBMBOD 时，QP2PB， P（m，0）即点 P 的横坐标为 m， 则 QPm2+m+2，PB4m， 于是m2+m+22（4m） ， 解得，m13，m24（舍去） ， 当 m3 时，PB431， PQ2PB2， 点 Q 的坐标为（3，2） ； 若MQB90时，如图 2 所示，此时点 P、Q 与点 A 重合， Q（1，0） ； 由于点 M 在直线 BD 上，因此QMB90，这种情况不存在QBMBOD 综上所述，点 P 在线段 AB 上运动过程中，存在点
20、Q，使得以点 B、Q、M 为顶点的三角形与BOD 相 似， 点 Q（3，2）或（1，0） 5解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3） ， ， 解得， 抛物线的表达式为 yx24x+3； （2）抛物线对称轴是线段 AB 的垂直平分线， AMBM， 由三角形的三边关系，|BMCM|AMCM|AC， 点 A、C、M 三点共线时，|BMCM|最大， 设直线 AC 的解析式为 ymx+n， 则， 解得， 直线 AC 的解析式为 y3x+3， 又抛物线对称轴为直线 x2， x2 时，y32+33， 故，点 M 的坐标为（2，3） ； （3） ）OBOC3
21、，OBOC， BOC 是等腰直角三角形， EFy 轴，直线 BC 的解析式为 yx+3， DEF 只要是直角三角形即可与BOC 相似， D（2，1） ，A（1，0） ，B（3，0） ， 点 D 垂直平分 AB 且到点 AB 的距离等于AB， ABD 是等腰直角三角形， ADB90， 如图， 点 F 是直角顶点时，点 F 的纵坐标与点 D 的纵坐标相同，是 1， x24x+31， 整理得 x24x+20， 解得 x2， 当 x2时，y（2）+31+， 当 x2+时，y（2+）+31， 点 E1（2，1+）E2（2+，1） ， 点 D 是直角顶点时， 易求直线 AD 的解析式为 yx1， 联立，
22、解得， 当 x1 时，y1+32， 当 x4 时，y4+31， 点 E3（1，2） ，E4（4，1） ， 综上所述，存在点 E1（2，1+）或 E2（2+，1）或 E3（1，2）或 E4（4，1） ，使以 D、 E、F 为顶点的三角形与BCO 相似 6解： （1）将点 A（0，1）和点 B（3，2）代入抛物物线 yx2+bx+c 中 得， 解得 yx2+2x+1 （2）如图 1 所示：过点 D 作 DMy 轴交 AB 于点 M， 设 D（a，a2+2a+1） ，则 M（a，a+1） DMa2+2a+1（a+1）a2+3a SABD（a2+3a）3（a）2+， 有最大值， 当时， 此时 图 1
23、（3）OAOC，如图 2，CFy 轴， ACEACO45， BCD 中必有一个内角为 45，由题意可知，BCD 不可能为 45， 若CBD45，则 BDx 轴， 点 D 与点 B 于抛物线的对称轴直线 x1 对称，设 BD 与直线1 交于点 H，则 H（1，2） B（3，2） ，D（1，2） 此时BCD 是等腰直角三角形，因此ACE 也是等腰直角三角形， （i）当AEC90时，得到 AECE1， E（1.1） ，得到 t1 （ii）当CAE90 时，得到：ACAE， CE2，E（1.2） ，得到 t2 图 2 若CDB45，如图 3，中的情况是其中一种，答案同上 以点 H 为圆心，HB 为半径
24、作圆，则点 B、C、D 都在圆 H 上， 设圆 H 与对称左侧的物线交于另一点 D1， 则CD1BCDB45（同弧所对的圆周角相等） ，即 D1也符合题意 设 由 HD1DH2 解得 n11（含去） ，n23（舍去） ，（舍去） ， ， 则， （i）若ACECD1B， 则， 即， 解得（舍去） （ii）ACEBD1C 则， 即， 解得（舍去） 综上所述：所有满足条件的 t 的值为 t1 或 t2 或或 图 3 7解： （1）设抛物线的解析式为：yax（x4） ，且过点 B（5，5） 55a a1， 抛物线解析式为：yx（x4）x24x； （2）点 B（5，5） ，点 C（0，4） ，O（0，0
25、） 直线 BC 解析式为：yx4， 直线 OB 解析式为：yx， 直线 l 关于直线 OB 对称的直线解析式为 yx+， 联立方程组可得： 或 点 P（，） ； （3）如图， 点 B（5，5） ，点 C（0，4） ，O（0，0） OC4，BO5， 设点 M（m，m） ，则点 N（m，m24m） ， MN5mm2，BM（5m） ， MNy 轴， BMNBOC135 以 M、N、B 为顶点的三角形与OBC 相似， 或， 若，则， m15（舍去） ，m2， 点 N 的坐标为（，） ， 若，则， m15（舍去） ，m2， 点 N 坐标为（，） ， 综上所述：点 N 坐标为： （，）或（，） 8解： （
26、1）直线 BC 的解析式为 yx2， C（0，2） ，B（4，0） ， 将 A（1，0） ，B（4，0）代入 yax2+bx2， 得， 解得， yx2； （2） ， ， 若以 C 为顶点，则 CE2CF2， ， 解得：m12，m24（舍去） ， 若以 E 为顶点，则 EC2EF2， ， 解得：m34，m44+（舍去） ， 综合以上得 m2 或 m4 （3）AC，BC2， AC2+BC225AB2， 当点 P 与点 A 重合时，点 M 与点 C 重合，此时 P1（1，0） ， 如图，当BPMABC 时， 过点 M 作 HRx 轴，作 PHHR 于点 H，BRHR 于点 R， PMBPHMBRM9
27、0， BMRMPH， PHMMRB， 又ABHR， ABCBMR， tanBMRtanABC， 令 BRa，MR2a， 又ABCBMR， tanBMRtanABC， ， PH4a，HM2a，PQ3a， HR4a， P（44a，3a） ， 又点 P 在抛物线上， 将 P（44a，3a）代入 yx2 得： （44a）23a， a（8a13）0， a10（舍） ，a2 符合条件的点 P 为 P1（1，0）或 9解： （1）将 B（6，0） ，C（0，6）代入 yax2+2x+c，得：， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+2x+6 （2）当 y0 时，x2+2x+60， 解得：x12，x26， 点
28、A 的坐标为（2，0） 点 B 的坐标为（6，0） ，点 C 的坐标为（0，6） ， 直线 BC 的解析式为 yx+6 如图 1，作 O 关于 BC 的对称点 O，则点 O的坐标为（6，6） O 与 O关于直线 BC 对称， POPO， PO+PA 的最小值PO+PAAO10 设直线 AO的解析式为 ykx+m， 将 A（2，0） ，Q（6，6）代入 ykx+m，得：， 解得：， 直线 AO的解析式为 yx+ 联立直线 AO和直线 BC 的解析式成方程组，得：， 解得：， 点 P 的坐标为（，） （3）yx2+2x+6（x2）2+8， 点 D 的坐标为（2，8） 又点 C 的坐标为（0，6）
29、，点 B 的坐标为（6，0） ， CD2， BC6， BD4， CD2+BC2BD2， BCD90 点 A 的坐标（2，0） ，点 C 的坐标为（0，6） ， OA2，OC6， 2， 又AOCDCB90， AOCDCB， 当 Q 的坐标为（0，0）时，AQCDCB 如图 2，连接 AC，过点 C 作 CQAC，交 x 轴于点 Q ACQ 为直角三角形，COAQ， ACQAOC 又AOCDCB， ACQDCB， ，即， AQ20， 点 Q 的坐标为（18，0） 综上所述：当 Q 的坐标为（0，0）或（18，0）时，以 A，C，Q 为顶点的三角形与BCD 相似 10解： （1）设直线 OA 的解析
30、式为 ykx，将点 A（2，4）代入 ykx 中，得 2k4，k2， 直线 OA 的解析式为 y2x， 点 M 在射线 OA 上，且点 M 的横坐标为 m， 点 M（m，2m） ， 抛物线 C是抛物线 C：yx2平移所得， 抛物线 C的解析式为 y（xm）2+2m； （2）如图 1，连接 OP，过点 O 作直线 OH 交 BA 的延长线于点 H，使HOAAOP， OHAOABHOAOABAOP， 则 tanOHA，则 sinOHA， 在 RtOBH 中，OH， HOAAOP， 点 A 到 OH 的距离等于点 A 到 OP 的距离，设这个距离为 h， 设点 P 的坐标为（2，t） ，则 OP，
31、则 SOAHSOBHSOBA242tOHhh， 解得：h， 同理 SAOPSOABSOBP242tOPh， 整理得：24t2202t+3990， 解得：t或（舍去） ， 故点 P 的坐标为： （2，） ； （3）如图 2，MQP 与OAB 相似， ，即； 由（1）知：抛物线 C的解析式为 y（xm）2+2m，点 M（m，2m） ， 当 x2 时，y（xm）2+2mm22m+4， 故点 P（2，m22m+4） ， 过点 Q 作 QGAB 交 BA 的延长线于点 G，作 MNAB 于点 N， 则 GQOB2，PN（m22m+4）2mm24m+4； MPN+PMN90，MPN+QPG90， QPGP
32、MN，而PGQMNP90， PGQMNP， ，即， 解得：m0 或 1 或 3 或 4（舍去 0） ， 故 m1 或 3 或 4 11解： （1）令 x0，得，则 B（0，2） ， 令 y0，得，解得 x4， 则 A（4，0） ， 把 A（4，0） ，B（0，2）代入 yx2+bx+c（a0）中， 得，解得 抛物线的解析式为： （2）PMy 轴， ADC90 ACDBCP， 以点 P、B、C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，存在两种情况： 当CBP90时，如图，过 P 作 PNy 轴于 N， ABO+PBNABO+OAB90， PBNOAB， AOBBNP90， RtPB
33、NRtBAO 设 ，化简得 解得 x0（舍去）或 当时， ，5） ； 当CPB90时，如图 2，则 PBx 轴，所以 B 和 P 是对称点 所以当 y2 时，即，解得 x0（舍去）或 ，2） 综上，点 P 的坐标是，5）或，2） （3）设点 A 关于 y 轴的对称点为 A，则 ABAB BAOBAO 直线 AB 交抛物线于 P PBABAO+BAO2BAO A（4，0） ， A（4，0） 设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0） B（0，2） 解得 直线 AB 的解析式为 由方程组得 x23x0 解得 x0（舍去）或 x3 当 x3 时， 所以点 P 的坐标是（3，） 12解： （1）将点
34、 A 的坐标代入 yx2kx2k 并解得 k2， 故抛物线的表达式为 yx22x4； （2）对于 yx22x4，令 x0，则 y4，故点 B（0，4） ， 而点 A（3，1） ， 点 A、B 横坐标的差和纵坐标的差相等，AB 与 x 轴的夹角为 45， 故ABO45； 由抛物线的表达式知，点 N（1，5） ， 由点 A、B、N 的坐标知，BN212+（5+4）22，AB3， BPNBNA， ，即 BP， 由知，ABO45，故BPD 为等腰直角三角形， 故 BDBP，故点 D（0，） ， 当 y时，即 x22x4， 解得 x1（舍去负值） ， 故 CD 的长为 x1+， 故答案为 1+； （3）
35、yx2kx2kx2k（x+2） ， 当 x2 时，yx2kx2k4，即点 H（2，4） ， 如图，过点 H 作 y 轴的平行线交过点 N 与 x 轴的平行线于点 G，HG 交 x 轴于点 K， 由抛物线的表达式知，点 N（k，2k） ， NHG+MHG90，MHG+HMO90， NHGHMO， tanNHGtanHMO，即， ，解得 k4 或6， 当 k4 时，点 N 的坐标为（2，4）和点 H 重合，故舍去 k4， 故 k6 13解： （1）抛物线解析式为 y（x+2）2， 点 A 的坐标为（2，0） ， 设一次函数解析式为 ykx+b（k0） ， 把 A（2，0） ，B（0，4）代入 yk
36、x+b， 得， 解得， 一次函数解析式为 y2x+4； （2）点 C 在直线 y2x+4 上，且点 C 的横坐标为1， y2（1）+42， 点 C 坐标为（1，2） ， 设平移后的抛物线解析式为 ya（xh）2+k（a0） ， a1，顶点坐标为 C（1，2） ， 抛物线的解析式是 y（x+1）2+2， 抛物线与 y 轴的交点为 D， 令 x0，得 y1， 点 D 坐标为（0，1） ； （3）存在， 过点 D 作 P1DOA 交 AB 于点 P1， BDP1BOA， P1点的纵坐标为 1，代入一次函数 y2x+4， 得， P1的坐标为（，1） ； 过点 D 作 P2DAB 于点 P2， BP2D
37、AOB90， 又DBP2ABO（公共角） ， BP2DBOA， ， 直线 y2x+4 与 x 轴的交点 A（2，0） ，B（0，4） ， 又D（0，1） ， OA2，OB4，BD3， ， ， ， 过 P2作 P2My 轴于点 M， 设 P2（a，2a+4） ， 则 P2M|a|a，BM4（2a+4）2a， 在 RtBP2M 中 ， ， 解得（舍去） ， ， ， P2的坐标为（，） ， 综上所述：点 P 的坐标为： （，1）或（，） 14解： （1）抛物线与 x 轴交点为 A（3，0） 、B（1，0） ， 抛物线解析式为：ya（x+3） （x1） ， 将点 C（0，3m）代入上式，得 a3（1）
38、3m， ma， 抛物线的解析式为：ym（x+3） （x1）mx2+2mx3m； （2）当 m2 时，C（0，6） ，抛物线解析式为 y2x2+4x6，则设 P（x，2x2+4x6） ， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 由题意可得， 解得， 直线 AC 的解析式为 y2x6， 如图 1，过点 P 作 PNx 轴，交 AC 于 N，则 PNOC， 点 N（x，2x6） ， PN（2x6）（2x2+4x6）2x26x， PNOC， ， ， 当 x时，的最大值为； （3）ymx2+2mx3mm（x+1）24m， 顶点 D 坐标为（1，4m） ， 如图 2，过点 D 作 DEx 轴于点 E，则
39、DE4m，OE1，AEOAOE2， 过点 D 作 DFy 轴于点 F，则 DF1，CFOFOC4m3mm， 由勾股定理得： AC2OC2+OA29m2+9， CD2CF2+DF2m2+1， AD2DE2+AE216m2+4， ACD 与BOC 相似，且BOC 为直角三角形， ACD 必为直角三角形， i）若点 A 为直角顶点，则 AC2+AD2CD2， 即： （9m2+9）+（16m2+4）m2+1， 整理得：m2， 此种情形不存在； ii）若点 D 为直角顶点，则 AD2+CD2AC2， 即： （16m2+4）+（m2+1）9m2+9， 整理得：m2， m0， m， 此时，可求得ACD 的三
40、边长为：AD2，CD，AC； BOC 的三边长为：OB1，OC，BC， 两个三角形对应边不成比例，不可能相似， 此种情形不存在； iii）若点 C 为直角顶点，则 AC2+CD2AD2， 即： （9m2+9）+（m2+1）16m2+4， 整理得：m21， m0， m1， 此时，可求得ACD 的三边长为：AD2，CD，AC3； BOC 的三边长为：OB1，OC3，BC， ， 满足两个三角形相似的条件， m1 综上所述，当 m1 时，以 A、D、C 为顶点的三角形与BOC 相似 15解： （1）抛物线经 yax2+bx3 过 A（1，0） ，B（3，0） ， ， 解得：， 抛物线解析式 yx2+4
41、x3； （2）存在点 P 使得BPQ 为等腰三角形， B（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， ， 解得：k1，b3， 直线 BC 的解析式为 yx3， 设 P（a，a2+4a3） ，则 Q（a，a3） ，可分三种情况考虑： 当 PBBQ 时，由题意得 P、Q 关于 x 轴对称， a2+4a3+a30， 解得：a2，a3（舍去） ， P（2，1） ， 当 PQBQ 时， （a2+3a）22（a3）2， a，a（舍去） ，a3（舍去） ， P（，45） ， 当 PQPB 时，有（a2+3a）2（a3）2+（a24a+3）2， 整理得：a21+（a1）2， 解得 a
42、1 P（1，0） 综上所述：P 点坐标为 P1（1，0） ，P2（2，1） ，P3（，45） ； （3）BDECEB， ABEACB， BAECAB， ABEACB， ， 又AC， AE， DEBC，设 D（m，0） ， ， ， m， D（，0） 16解： （1）抛物线 W1：yx2+3 的顶点为 C， C（0，3） 设抛物线 W2的关系式为 yx2+bx+c， 抛物线 W2经过抛物线 W1的顶点 C（0，3） ，B（1，0） ， ， 解得， 抛物线 W2的关系式为 yx22x+3； （2）新抛物线解析式为：yx22x+3（x+1）2+4， 抛物线 W2的顶点 D 的坐标为（1，4） ， 令
43、y0，x22x+30， x13，x21， A（3，0） ， OAOC3， ACOCAO45， 过点 D 作 DHOC， DH1，HO4， CHOHOC1， HDCDCH45， DCA90， CE 平分DCA， DCEACE45， ECACAO45， CEOA， 点 E 纵坐标为 3， x22x+33， x12，x20， 点 E（2，3） ； （3）如图 2， 点 E（2，3） ，点 C（0，3） ，点 A（3，0） ，点 B（1，0） ，点 D 坐标（1，4） ， DEDC，AC3，AB3+14， DECDCE， ECAB， ECACAB， DECCAB， DEF 和ABC 相似， 或， 或， EF或， 点 F（，3）或（，3） ， 将抛物线 W1沿 x 轴方向平移，点 C 的对应点为 F， 平移后解析式为：y（x+）2+3 或+3
