1、13.3.2等边三角形题型一：等边三角形的性质【例题1】（2022河北沧州八年级期末）如图，ABC是等边三角形，ADBC于点D，点E在AC上，且AEAD，则DEC的度数为（ ）A105B95C85D75变式训练【变式1-1】（2022湖北荆州八年级期末）如图，在等边ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（）A1B2C3D4【变式1-2】（2022湖南永州八年级期末）如图，ABC是等边三角形，AD是角平分线，ADE是等边三角形，有下列结论：ABED，E
2、F=FD，BE=DB，其中正确的是（）ABCD【变式1-3】（2022山东泰安七年级期末）如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，下列三个结论：；点在线段的中垂线上；其中正确的结论的个数是（）A3B4C5D6【变式1-4】（2021山东九年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，的中点，则的面积是（ ）A1BCD【变式1-5】（2021江苏八年级期中）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=度题型二：等边三角形的判定【例题2】（2022四川乐山八年级期末）如图，在ABC中，已知D是边BC的中点，DEAB，DFAC，点
3、E、F为垂足，且BE=CF，BDE=30求证：ABC是等边三角形变式训练【变式2-1】（2022福建泉州八年级期末）如图，在ABC中，ABAC，D为AC的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为E，F，且DEDF求证：ABC是等边三角形【变式2-2】（2022江西萍乡八年级开学考试）如图，在RtABC中，ACB90，D是AB上的一点，BDBC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F(1)求证：BE垂直平分CD；(2)若点D是AB的中点，求证：CBD是等边三角形【变式2-3】（2021湖南长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在中， 与相交于点(1)求BOC的度数；(2)求证：ABC为等
4、边三角形【变式2-4】（2019义乌市稠州中学教育集团八年级月考）已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.题型三：等边三角形的判定与性质【例题3】（2019宁南三峡白鹤滩学校八年级月考）图1、图2中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形.(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2) 如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论. 图1 图2变式训练【变式3-1】（2020雷州市第八中学八年级期末）如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（ ）ABCD【变式3-2】（2021广西南宁三中九年级
5、开学考试）如图，在的同侧，点为的中点，若，则的最大值是_【变式3-3】（2020全国八年级课时练习）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图（1），在中，则探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：为等边三角形；与之间的数量关系为_（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即
6、可题型四：含30的直角三角形【例题4】（2021陕西铜川八年级期末）如图，在中，AD是边BC的垂直平分线，那么AC的长度是_变式训练【变式4-1】（2022山东泰安七年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，则的长是_【变式4-2】（2020辽宁锦州八年级期末）如图，ABC中，ABAC，C30，ADAB交BC于点D，若AD4，则BC的长为_【变式4-3】（2021四川成都三模）如图，在ABC中，AB=AC=6，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高，则CD的长为 _【变式4-4】（2020西安市教育局八年级月考）如图，已知：MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B
7、1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2. A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=l，则A6B6A7的边长为（ ）A6B12C32D64题型五：体验真题【真题1】（2022海南中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（）ABCD【真题2】（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，AOE15，OE平分AOB，DEOB交OA于点D，ECOB，垂足为C若EC2，则OD的长为（）A2B2C4D4+2【真题3】（2022广西中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB
8、CD2米，ADBC3米，B(1)求证：ABCCDA ；(2)求草坪造型的面积13.3.2等边三角形题型一：等边三角形的性质【例题1】（2022河北沧州八年级期末）如图，ABC是等边三角形，ADBC于点D，点E在AC上，且AEAD，则DEC的度数为（ ）A105B95C85D75【答案】A【分析】先利用等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质得出，再利用AEAD得出，最后利用三角形外角的性质即可求出DEC的度数【详解】解：ABC是等边三角形，ADBC，AEAD，故选A【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及外角的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键
9、变式训练【变式1-1】（2022湖北荆州八年级期末）如图，在等边ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系AO=1，则OC=2证明AOPCOD求解即可【详解】解：ABC和ODP都是等边三角形，C=A=DOP=60，OD=OP，CDO+COD=120，COD+AOP=120，CDO=AOP，ODCPOA（AAS），AP=OC，AP=OC=ACAO=2故选：B【点睛】此题考查了等边
10、三角形的性质和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上【变式1-2】（2022湖南永州八年级期末）如图，ABC是等边三角形，AD是角平分线，ADE是等边三角形，有下列结论：ABED，EF=FD，BE=DB，其中正确的是（）ABCD【答案】A【分析】ABC是等边三角形，ADE是等边三角形，得到ABACBC，BAC60，AEADED，EAD60，由AD是角平分线，根据等腰三角形三线合一，得到BADDAC30，ADBC，进一步求得AF平分EAD，根据等腰三角形三线合一，则ABED，EFDF，结论得证，作出判断【详解】解：ABC是等边三角形，ADE是等边三角形，A
11、BACBC，BAC60，AEADED，EAD60，AD是角平分线，BADDAC30，ADBC，EABEADBAD30，DAFEADEAB30，AF平分EAD，ABED，EFDF，故正确， AB垂直平分DE，BEDB，故正确，故选：A【点睛】此题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题【变式1-3】（2022山东泰安七年级期末）如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，下列三个结论：；点在线段的中垂线上；其中正确的结论的个数是（）A3B4C5D6【答案】C【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PAPBPDPC，APBDPCPABPD
12、C60，APD90，PADPDA45，则根据“SAS”可证明APCBPD，则可对进行判断；根据线段垂直平分线的判定可对进行判断；计算出BPC150，再利用PBPC和三角形内角和可计算出PBC15，则可对进行判断；由于ABC75，BAD105加上BDCA，则可判断ABD与BCA不全等，从而可对进行判断；求出ABCBAD75105180，根据平行线的判定方法可对进行判断；延长CP交AB于H，计算出CHB90，则可对进行判断【详解】解：ABP和CDP是两个等边三角形，APD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PAPBPDPC，APBDPCPABPDC60，APD90，PADPDA45，APCBPD150
13、，在APC和BPD中，APCBPD（SAS），所以正确；PBPC，点P在线段BC的中垂线上，所以正确；BPACPD60，APD90，BPC150，PBPC，PBC15，所以正确；ABC601575，BADPABPAD6045105，BDAC，ABCBAD，ABD与BCA不全等，所以错误；ABCBAD75105180，ADBC，所以正确；延长CP交AB于H，如图，PCB15，ABC75，ABCPCB90，CHB90，PCAB，所以正确正确的有5个，故选：C【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定
14、方法是解决此类问题的关键【变式1-4】（2021山东九年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，的中点，则的面积是（ ）A1BCD【答案】D【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是【详解】分别是，的中点,且ABC是等边三角形,ADFDBEFECDFE,DEF的面积是故选D【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质【变式1-5】（2021江苏八年级期中）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=度【答案】：【分析】根据等边三角形三个角相等，可知ACB=60，根据等腰三角形底角相
15、等即可得出E的度数【详解】解：ABC是等边三角形，ACB=60，ACD=120，CG=CD，CDG=30，FDE=150，DF=DE，E=15故答案为15【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.题型二：等边三角形的判定【例题2】（2022四川乐山八年级期末）如图，在ABC中，已知D是边BC的中点，DEAB，DFAC，点E、F为垂足，且BE=CF，BDE=30求证：ABC是等边三角形【答案】见解析【分析】利用“HL”证明BED和CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得BC，然后根据等角对等边得到ABAC，再求得B60，即可详解【详解】证明：D是BC的中点，BDCD，DEAB
16、，DFAC，BED和CFD都是直角三角形，在RtBED和RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL），BC，ABAC（等角对等边）BDE30，DEAB，B60，ABC是等边三角形【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明BEDCFD变式训练【变式2-1】（2022福建泉州八年级期末）如图，在ABC中，ABAC，D为AC的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为E，F，且DEDF求证：ABC是等边三角形【答案】见解析【分析】只要证明RtADERtCDF，推出AC，推出BABC，又ABAC，即可推出ABBCAC；【详解】证明：DEAB，DFBC，垂
17、足分别为点E，F，AEDCFD90，D为AC的中点，ADDC，在RtADE和RtCDF中，RtADERtCDF（HL），AC，BABC，ABAC，ABBCAC，ABC是等边三角形【点睛】本题考查了HL证明三角形全等以及全等三角形的性质、等边三角形的判定，解题的关键是证明RtADERtCDF【变式2-2】（2022江西萍乡八年级开学考试）如图，在RtABC中，ACB90，D是AB上的一点，BDBC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F(1)求证：BE垂直平分CD；(2)若点D是AB的中点，求证：CBD是等边三角形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证RtEBCRtEBD，
18、得出BE是DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，再根据DB=BC，即可证明结论（1）解：证明：ACB=90，且DEAB，EDB=ACB=90，在RtEBC和RtEBD中，RtEBCRtEBD（HL），CBE=DBE，BD=BC，BDC是等腰三角形，BFCD，CF=DF，BE垂直平分CD（2）D是AB的中点，ACB=90，DC=DB，又BD=BC，DC=DB=BC，CBD是等边三角形【点睛】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键【变式2-3】（2021湖南长沙市中雅培粹
19、学校八年级阶段练习）如图，在中， 与相交于点(1)求BOC的度数；(2)求证：ABC为等边三角形【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余求出和，然后利用三角形外角的性质求出BOC的度数即可；（2）求出，可得，即可证明ABC为等边三角形(1)解：，；(2)证明：，且，在中，为等边三角形【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键【变式2-4】（2019义乌市稠州中学教育集团八年级月考）已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求
20、证:是等边三角形.【答案】证明见解析.【详解】分析：由等腰三角形的性质得到B=C再用HL证明RtADERtCDF，得到A=C，从而得到A=B=C，即可得到结论详解：AB=AC， B=CDEAB， DFBC，DEA=DFC=90D为的AC中点，DA=DC又DE=DF，RtAEDRtCDF(HL)，A=C，A=B=C，ABC是等边三角形点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质解题的关键是证明A=C题型三：等边三角形的判定与性质【例题3】（2019宁南三峡白鹤滩学校八年级月考）图1、图2中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形.(1) 如图1，线
21、段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2) 如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论. 图1 图2【答案】（1）相等，证明见解析；（2）CEF的形状是等边三角形.【分析】（1）等边三角形的性质可以得出ACN、MCB两边及夹角分别对应相等，；两个三角形全等，得出线段ANBM；（2）平角的定义得出MCN60，通过证明ACEMCF，得出CECF，根据等边三角形的判定得出CEF的形状.【详解】(1)ACM与CBN都是等边三角形,AC=MC,CN=CB,ACM=BCN=60.MCN=60,ACN=MCB,在ACN和MCB中,AC=MC, ACN=MCB,CN=
22、CB,ACNMCB(SAS),AN=BM.(2)ACM=60,MCN=60,ACM=MCN,ACNMCB,CAE=CMB.在ACE和MCF中,CAE=CMF，AC=MC, ACE=MCF,ACEMCF(ASA),CE=CF,CEF的形状是等边三角形.【点睛】本题主要考查边角边定理和角边角定理，熟练掌握这两个知识点并熟练运用是解答此题的关键.变式训练【变式3-1】（2020雷州市第八中学八年级期末）如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（ ）ABCD【答案】A【分析】可设A=x，根据在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，再利用已知得出BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案
23、【详解】如图，在上取点D，使，连接设，则，又，为等边三角形，故选A【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，此题的关键是正确作出辅助线，得出BDQ为等边三角形【变式3-2】（2021广西南宁三中九年级开学考试）如图，在的同侧，点为的中点，若，则的最大值是_【答案】14【分析】如图，作点A关于CM的对称点A，点B关于DM的对称点B，证明AMB为等边三角形，即可解决问题【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，为等边三角形，的最大值为，故答案为【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题【
24、变式3-3】（2020全国八年级课时练习）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图（1），在中，则探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：为等边三角形；与之间的数量关系为_（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可【答案】（1）；（2），证明详见解析；（3）【分析】（1
25、）只要证明ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似【详解】（1），为边上的中线，是等边三角形，（2）证明：如图，连接，都是等边三角形，；（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键题型四：含30的直角三角形【例题4】（2021陕西铜川八年级期末）如图，在中，AD是边BC的垂直平分线，那么AC的长度是_【答案】【分析】根据垂直平分线的
26、性质得出AB=AC，结合得出，再根据的角所对的直角边是斜边的一半，即可得出AC长【详解】解：AD是边BC的垂直平分线，AB=AC，AB=2BD，BD=2，AC=AB=4，故答案为：【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键变式训练【变式4-1】（2022山东泰安七年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，则的长是_【答案】2【分析】直角三角形内角和求得CEF的度数，对顶角相等求得DEA，再求出A，根据含30的直角三角形性质可求出AE，再根据线段垂直平分线的性质求得AE=BE【详解】解：ACB=90 ，F=30，CEF=DEA=60
27、，AB的垂直平分线DE交AC于E，ADE=90，AE=BE，A=30，AE=2DE=2，BE=2.【点睛】此题考查了含30的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键根据线段的垂直平分线的性质找出相等的边长【变式4-2】（2020辽宁锦州八年级期末）如图，ABC中，ABAC，C30，ADAB交BC于点D，若AD4，则BC的长为_【答案】12【分析】由等腰三角形的性质得出B=C=30，BAD=90；易证得DAC=C=30，即CD=AD=4RtABD中，根据30角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8；由此可求得BC的长【详解】解：AB=AC，B=C=30，ABAD，BD=2AD
28、=24=8，B+ADB=90，ADB=60，ADB=DAC+C=60，DAC=30，DAC=C，DC=AD=4，BC=BD+DC=8+4=12，故答案为：12【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键【变式4-3】（2021四川成都三模）如图，在ABC中，AB=AC=6，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高，则CD的长为 _【答案】3【分析】由ABC=ACB=15，可知CAD=30，再利用含30角的直角三角形的性质可得答案【详解】解：ABC=ACB=15，CAD=30，CD是腰AB上的高，
29、CDAD，在RtACD中，CAD=30，AC=6，CD=AC=3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，熟记性质是解题的关键【变式4-4】（2020西安市教育局八年级月考）如图，已知：MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2. A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=l，则A6B6A7的边长为（ ）A6B12C32D64【答案】C【详解】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质【分析】如图，A1B1A2是等边三角形，
30、 A1B1=A2B1，3=4=12=602=120MON=30，1=18012030=30又3=60，5=1806030=90MON=1=30，OA1=A1B1=1A2B1=1A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，11=10=60，13=604=12=60，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A31=6=7=30，5=8=90A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16以此类推：A6B6=32B1A2=32，即A6B6A7的边长为32故选C题型五：体验真题【真题1】（2022海南中考真题）如图，直线，是等边三角形
31、，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（）ABCD【答案】B【分析】根据等边三角形的性质可得A=60，再由三角形外角的性质可得AEF=1-A=80，从而得到BEF=100，然后根据平行线的性质，即可求解【详解】解：是等边三角形，A=60，1=140，AEF=1-A=80，BEF=180-AEF=100，2=BEF=100故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键【真题2】（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，AOE15，OE平分AOB，DEOB交OA于点D，ECOB
32、，垂足为C若EC2，则OD的长为（）A2B2C4D4+2【答案】C【分析】过点E作EHOA于点H，根据角平分线的性质可得EHEC，再根据平行线的性质可得ADE的度数，再根据含30角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明ODDE，即可求出OD的长【详解】解：过点E作EHOA于点H，如图所示：OE平分AOB，ECOB，EHEC，AOE15，OE平分AOB，AOC2AOE30，DEOB，ADE30，DE2HE2EC，EC2，DE4，ADE30，AOE15，DEO15，AOEDEO，ODDE4，故选：C【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解
33、题的关键【真题3】（2022广西中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 ABCD2米，ADBC3米，B(1)求证：ABCCDA ；(2)求草坪造型的面积【答案】(1)见解析(2)草坪造型的面积为【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；（2）过点A作AEBC于点E，利用含30的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出，即可求出草坪造型的面积(1)在和中，；(2)过点A作AEBC于点E，草坪造型的面积，所以，草坪造型的面积为【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键
