1、人教版八年级上册数学期末复习：几何证明 专题练习题一选择题（共3小题）1（2023秋鹿寨县期中）如图，AD、BE是ABC的角平分线，EFAD，EGAB，EHBC，垂足分别为F，G，H下列说法：EB平分GEH；AGDH；当ADBC时，CE2EF；F是AD的中点；SBECS四边形BGEH其中正确的个数是（）A2B3C4D52（2021秋柳州期末）如图，在等腰ABC与等腰ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N下列结论：BDCE；BPE1802；AP平分BPE；若60，则PEAP+PD其中一定正确的结论的个数是（）A1B2C3D43（2022秋
2、柳江区期中）如图，ABC中，点D，E分别在ABC和ACB的平分线上，连接BD，DE，EC，若D+E295，则A等于（）A65B60C55D50二填空题（共4小题）4（2023秋柳州期末）如图，在等边ABC中，CDAB于D，E是线段CD上一点，F是边AC上一点，且满足BEEF，G是AF的中点，连接EG，则下列四个结论：ADBD；BEF150；AFECBE；EGEC；当ABE15时，EGFG，其中正确的有 （填序号）5（2023秋鹿寨县期中）在ABC中，已知BC6，BC边上的高h4，ABC两个内角的角平分线相交于点O，过O作ODBC于点D，则OD的最大值是 6（2021秋柳州期末）如图，在RtAB
3、C中，ACB90，ACBC，以BC为边在BC的右侧作等边BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP当AP+BP的值最小时，CBP的度数为 7（2021秋柳州期末）如图，在ABC中，ABAC，B40，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作ADE40，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，ADE的形状也在改变，当ADE是等腰三角形时，BDA的度数是 三解答题（共7小题）8（2023秋鹿寨县期末）在ABC中，B60，D是BC上一点，且ADAC（1）如图1，延长BC至E，使CEBD，连接AE求证：ABAE；（2）如图2，在AB边上取一点F，使DFDB，求证：AFBC
4、；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PAPF，猜想PC与BD的数量关系并证明9（2023秋融水县校级期中）如图，已知ABC中，ABAC10cm，BC8cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？10（2023秋鹿寨县期中）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点
5、且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，ABC与ADE都是等腰三角形，其中BACDAE，则ABDACE（SAS）初步把握如图2，ABC与ADE都是等腰三角形，ABAC，ADAE，且BACDAE，则有 深入研究如图3，已知ABC，以AB、AC为边分别向外作等边ABD和等边ACE，并连接BE，CD，求证：BECD拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形ABC和ADE中，ABAC，
6、AEAD，BACDAE90，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由11（2022城中区校级开学）如图，已知B（1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且BDCBAC（1）求证：ABDACD；（2）求证：DA平分CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DCDA+DB，在此过程中，BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出BAC的度数？12（2022鹿寨县校级开学）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过C作CBx轴于B（1）求a，b的值；（2）在y轴上是否存在点P，
7、使得ABC和OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由；（3）若过B作BDAC交y轴于D，且AE，DE分别平分CAB，ODB，如图2，图3求：CAB+ODB的度数；求：AED的度数13（2022秋柳江区期中）已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BCCE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由，14（2021秋柳州期末）已知等边ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的
8、动点（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为1cm/s，到达终点时停止运动设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ当t2时，求AQP的度数当t为何值时PBQ是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQPC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由参考答案与试题解析一选择题（共3小题）1（2023秋鹿寨县期中）如图，AD、BE是ABC的角平分线，EFAD，EGAB，EHBC，垂足分别为F，G，H下列说法：EB平分GEH；AGDH；当ADBC时，CE2EF；F是AD的中点；SBECS四边形BGEH其中正确的个数是
9、（）A2B3C4D5【分析】根据角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可【解答】解：BE是ABC的角平分线，EGAB，EHBC，EGEH，BGEBHE90，BEBE，GEBHEB，即EB平分GEH，故符合题意；如图，当ABC90时，点D，H可以重合，此时AGDH，也不能判断F是AD的中点，故不符合题意；如图，延长EF交AB于点I，EFAD，AD是ABC的角平分线，IAFEAF，AFIAFE90，AFAF，AFIAFE（ASA），FIFE，IE2EF，AIAE，同理可证ABDACD，ABAC，ABAIACAE，BICE，ADBC，EFBC，FEBCBE，BE是ABC的角
10、平分线，IBECBE，IBEIEB，BIIECE，CE2EF，故符合题意；若ABC90，C40，BE是ABC的角平分线，GEEH，BGCH，SBGESCHE，SBGE+SBHESCHE+SBHE，SBECS四边形BGEH，故不符合题意，故选：A【点评】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是本题的关键2（2021秋柳州期末）如图，在等腰ABC与等腰ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N下列结论：BDCE；BPE1802；AP平分BPE；若60，则PEAP+PD其中一定正确的结论的个数是（）A1
11、B2C3D4【分析】由“SAS”可证BADCAE，可得BDCE；由全等三角形的性质可得ABDACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得BPEACB+ABC180；由全等三角形的性质可得SBADSCAE，由三角形面积公式可得AHAF，由角平分线的性质可得AP平分BPE；由全等三角形的性质可得BDACEA，由“SAS”可证AOEAPD，可得AOAP，可证APO是等边三角形，可得APPO，可得PEAP+PD，即可求解【解答】解：BACDAE，BADCAE，且ABAC，ADAE，BADCAE（SAS）BDCE，故符合题意；BADCAE，ABDACE，BAC，ABC+ACB180，BPEPBC+PCBP
12、BC+ACB+ACPPBC+ACB+ABP，BPEACB+ABC180，故不符合题意；如图，过点A作AHBD，AFCE，BADCAE，SBADSCAE，BDAHCEAF，且BDCE，AHAF，且AHBD，AFCE，AP平分BPE，故符合题意；如图，在线段PE上截取OEPD，连接AO，BADCAE，BDACEA，且OEPD，AEAD，AOEAPD（SAS）APAO，BPE180120，且AP平分BPE，APO60，且APAO，APO是等边三角形，APPO，PEPO+OE，PEAP+PD，故符合题意故选：C【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的
13、判定和性质以及角之间的关系，证明BADCAE是解本题的关键3（2022秋柳江区期中）如图，ABC中，点D，E分别在ABC和ACB的平分线上，连接BD，DE，EC，若D+E295，则A等于（）A65B60C55D50【分析】根据四边形的内角和可得BCE+CBD65，再根据角平分线的定义可得ACB+ABC130，再根据三角形内角和定理可得A的度数【解答】解：D+E295，D+E+BCE+CBD360，BCE+CBD65，点D，E分别在ABC和ACB的平分线上，BCEACB，CBDABC，ACB+ABC652130，A18013050，故选：D【点评】本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，角平
14、分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键二填空题（共4小题）4（2023秋柳州期末）如图，在等边ABC中，CDAB于D，E是线段CD上一点，F是边AC上一点，且满足BEEF，G是AF的中点，连接EG，则下列四个结论：ADBD；BEF150；AFECBE；EGEC；当ABE15时，EGFG，其中正确的有 （填序号）【分析】根据等腰三角形的“三线合一”可以得到ADBD，即正确；根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AEBE，再根据三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的和可以得到CEFAFE30和CEB90+BAE，再根据BEFCEB+CEF即可求得，即错误；根据SSS可以得到C
15、BECAE，由全等三角形的对应边相等可得CBEFAE，再根据AFEFAE即可求得，即正确；根据等腰三角形的“三线合一”可以得到EGAF，再根据直角三角形中30角所对直角边是斜边的一半即可为求得，即正确；根据已知条件ABE15可以得到FAE45，再根据CGE90可以得到GEFAFE45，由等角对等边即可求得，即正确【解答】解：如图：连接AE，ABC是等边三角形，ACBC，BACACB60，CDAB，CD是等边ABC的底边AB上的高，ADBDAB，故正确；ACDBCDACB6030，CDAB，ADBD，CD是线段AB的垂直平分线，AEBEABEBAE，BEEF，AEEF，FAEAFE，AFE是EF
16、C的外角，AFEACD+CEF，ACD30，CEFAFEACDFAE30，CDAB，BDC90，CEB是DBE的外角，CEBBDC+ABE90+BAE，BAC60，BEFCEB+CEF90+BAE+FAE3090+BAC3090+6030120，故错误；在CBE和CAE中，CBECAE（SSS），CBEFAE，AFEFAE，AFECBE，故正确；AEEF，G是AF的中点EG是等腰EAF的底边AF上的中线，EGAF，CGE90，ACD30EGEC，故正确；ABE15，ABEBAE，BAE15，BAC60，FAEBACBAE601545，FAEAFE，AFE45，CGE90，GEFAFE45，EG
17、FG，故正确；其中正确的有故答案为：【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键5（2023秋鹿寨县期中）在ABC中，已知BC6，BC边上的高h4，ABC两个内角的角平分线相交于点O，过O作ODBC于点D，则OD的最大值是 【分析】过点O作ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，根据角平分线的性质得到ODOEOF，根据三角形的面积公式计算，得到答案【解答】解：过点O作ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，点O是ABC两个内角的角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，ODOEOF，ABOF+ACOE+BCODABAH，即ABOD+ACOD+BCOD64，OD，
18、AB+AC10，OD的最大值是，故答案为：【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键6（2021秋柳州期末）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，以BC为边在BC的右侧作等边BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP当AP+BP的值最小时，CBP的度数为 15【分析】连接AD交CE于Q，连接BQ，由等边三角形的轴对称性知CE是BD的垂直平分线，得BPDP，则当点P与Q重合时，AP+BP的值最小，即可解决问题【解答】解：连接AD交CE于Q，连接BQ，BCD是等边三角形，点E是BD的中点，CE是BD的垂直平分线，BPDP，当点P与
19、Q重合时，AP+BP的值最小，ACBC，BCCD，ACCD，ACDACB+BCD90+60150，CDA15，由等边三角形的轴对称性可知：CBQCDQ15，CBP15，故答案为：15【点评】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键7（2021秋柳州期末）如图，在ABC中，ABAC，B40，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作ADE40，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，ADE的形状也在改变，当ADE是等腰三角形时，BDA的度数是110或80【分析】分为三种情况：当ADAE时，ADEAED40，根
20、据AEDC，得出此时不符合；当DADE时，求出DAEDEA70，求出BAC，根据三角形的内角和定理求出BAD，根据三角形的内角和定理求出BDA即可；当EAED时，求出DAC，求出BAD，根据三角形的内角和定理求出ADB【解答】解：ABAC，BC40，当ADAE时，ADEAED40，AEDC，此时不符合；当DADE时，即DAEDEA（18040）70，BAC1804040100，BAD1007030；BDA1803040110；当EAED时，ADEDAE40，BAD1004060，BDA180604080；当ADE是等腰三角形时，BDA的度数是110或80，故答案为：110或80【点评】此题主要
21、考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题三解答题（共7小题）8（2023秋鹿寨县期末）在ABC中，B60，D是BC上一点，且ADAC（1）如图1，延长BC至E，使CEBD，连接AE求证：ABAE；（2）如图2，在AB边上取一点F，使DFDB，求证：AFBC；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PAPF，猜想PC与BD的数量关系并证明【分析】（1）证明ABDAEC（SAS），由全等三角形的性质得出ABAE；（2）延长BC到E，使CEBD，由（1）知，ABAE，证得ABE是等边三角
22、形，同理，DBF是等边三角形，则可得出结论；（3）在CP上取点E，使CEBD，连接AE，证明APEPFD（AAS），得出PEDF，则可得出结论【解答】（1）证明：ACAD，ADCACD，180ADC180ACD，即ADBACE，在ABD和AEC中，ABDAEC（SAS），ABAE；（2）延长BC到E，使CEBD，由（1）知，ABAE，EB60，EAB180EB60，ABE是等边三角形，同理，DBF是等边三角形，ABBEBFBDCE，ABBFBECE，即AFBC；（3）猜想：PC2BD，理由如下：在CP上取点E，使CEBD，连接AE，由（1）可知：ABAE，AEBB60，AEP180AEB120
23、，DFDB，DFBB60，PDFDFB+B120，AEPPDF，又PAPF，PAFPFA，APE180BPAF120PAF，PFD180DFBPFA120PFA，APEPFD，在APE和PFD中，APEPFD（AAS），PEDF，又DFDB，PEDB，又PCPE+CE，PC2BD【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题9（2023秋融水县校级期中）如图，已知ABC中，ABAC10cm，BC8cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C
24、向A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？【分析】（1）经过1秒后，PB3cm，PC5cm，CQ3cm，由已知可得BDPC，BPCQ，ABCACB，即据SAS可证得BPDCQP（2）可设点Q的运动速度为x（x3）cm/s，经过t sBPD与CQP全等，则可知PB3tcm，PC（83t）cm，CQxtcm，据（1）同理可得当BDPC，BPCQ或BDCQ，BPPC时两三角形全等，求x的解即可【解答】解：（1）结论：BPD与CQP全等理由：经过1
25、秒后，PB3cm，PC5cm，CQ3cm，ABC中，ABAC，ABCACB，在BPD和CQP中，BPDCQP（SAS）（2）设点Q的运动速度为x（x3）cm/s，经过t sBPD与CQP全等；则可知PB3tcm，PC（83t）cm，CQxtcm，ABAC，BC，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：当BDPC，BPCQ时，当BDCQ，BPPC时，两三角形全等；当BDPC且BPCQ时，83t5且3txt，解得x3，x3，舍去此情况；BDCQ，BPPC时，5xt且3t83t，解得：x；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使BPD与CQP全等【点评】
26、本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件10（2023秋鹿寨县期中）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，ABC与
27、ADE都是等腰三角形，其中BACDAE，则ABDACE（SAS）初步把握如图2，ABC与ADE都是等腰三角形，ABAC，ADAE，且BACDAE，则有 ABDACE深入研究如图3，已知ABC，以AB、AC为边分别向外作等边ABD和等边ACE，并连接BE，CD，求证：BECD拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形ABC和ADE中，ABAC，AEAD，BACDAE90，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由【分析】初步把握易证BADCAE，再证BADCAE（SAS）即可；深入研究易证DACBAE，再证ABEADC（SAS），即可得出结论；拓展延伸易证CAEBAD，再证ABDAC
28、E（SAS），得BDCE，ABDACE，再由三角形的外角性质证出BPCBAC90，则BDCE即可【解答】初步把握解：BACDAE，BAC+DACDAE+DAC，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），故答案为：ABD，ACE；深入研究证明：ABD和ACE都是等边三角形，ABAD，AEAC，BADCAE60，BAD+BACCAE+BAC，即DACBAE，在ABE和ADC中，ABEADC（SAS），BECD；拓展延伸解：BDCE，BDCE，理由如下：BACDAE90，BAC+BAEDAE+BAE，即CAEBAD，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BDCE，ABDACE
29、，BPC+ABDBAC+ACE，BPCBAC90，BDCE【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型11（2022城中区校级开学）如图，已知B（1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且BDCBAC（1）求证：ABDACD；（2）求证：DA平分CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DCDA+DB，在此过程中，BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出B
30、AC的度数？【分析】（1）根据BDCBAC，DFBAFC，再结合ABD+BDC+DFBBAC+ACD+AFC180，即可得出结论（2）过点A作AMCD于点M，作ANBE于点N运用“AAS”证明ACMABN得AMAN根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CPBD，连接AP证明ACPABD得ADP为等边三角形，从而求BAC的度数【解答】证明：（1）BDCBAC，DFBAFC，又ABD+BDC+DFBBAC+ACD+AFC180，ABDACD；（2）过点A作AMCD于点M，作ANBE于点N则AMCANB90OBOC，OABC，ABAC，ABDACD，ACMAB
31、N （AAS）AMANDA平分CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）BAC的度数不变化在CD上截取CPBD，连接APCDAD+BD，ADPDABAC，ABDACD，BDCP，ABDACPADAP；BADCAPADAPPD，即ADP是等边三角形，DAP60BACBAP+CAPBAP+BAD60【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强12（2022鹿寨县校级开学）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过C作CBx轴于B（1）求a，b的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得ABC和OCP的面积相等
32、，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由；（3）若过B作BDAC交y轴于D，且AE，DE分别平分CAB，ODB，如图2，图3求：CAB+ODB的度数；求：AED的度数【分析】（1）根据非负数的性质得a+20，b20，解得a2，b2即可；（2）如图2，利用三角形面积公式求得ABC的面积与OPC的面积，列等式解答即可；（3）作EMAC，如图3，则ACEMBD，根据平行线的性质得CAEAEM，BDEDEM，则AEDCAE+BDE，而CAECAB，BDEODB，所以AED（CAB+ODB），而由ACBD得到CABOBD，于是CAB+ODBOBD+ODB90，进而得出AED45【解答】解：（1）（a
33、+2）2+0，a+20，b20，a2，b2；（2）存在，理由如下：a2，b2，A（2，0）C（2，2），SABCABAC424，设P（0，t），SOPCOP2|t|2|t|4，t4或t4，P（0，4）或P（0，4）；（3）作EMAC，如图3，ACBD，ACEMBD，CAEAEM，BDEDEM，AEDCAE+BDE，AE，DE分别平分CAB，ODB，CAECAB，BDEODB，AED（CAB+ODB），ACBD，CABOBD，CAB+ODBOBD+ODB90；AED9045【点评】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的定义也考查了平
34、行线的性质和三角形面积公式13（2022秋柳江区期中）已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BCCE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由，【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念得到ABAC，ADAE，证明BADEAC，利用SAS定理证明ABDACE，根据全等三角形的性质得到BDCE，进而证明结论；（2）证明ABDACE，根据全等三角形的性质得到BDCE，进而证明结论【解答】（1）证明：ABC和A
35、DE是等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADEAC在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BDCE，BCBD+CDCE+CD；（2）解：结论BCCE+CE不成立，猜想BCCECD，理由如下：BACDAE90，BAC+DACDAE+DAC，即BADEAC在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BDCE，BCBDCDCECD【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型14（2021秋柳州期末）已知等边ABC的边
36、长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为1cm/s，到达终点时停止运动设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ当t2时，求AQP的度数当t为何值时PBQ是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQPC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由【分析】（1）由ABC是等边三角形知AQBC，B60，从而得AQB90，BPQ是等边三角形，据此知BQP60，继而得出答案；由题意知APBQt，PB4t，再分PQB90和BPQ90两种情况分别求解可得（2）过点Q作QFAC，
37、交AB于F，知BQF是等边三角形，证QFPPAC120、BPQACP，从而利用AAS可证PQFCPA，得APQF，据此知APBQ，根据BQ+CQBCAC可得答案【解答】解：（1）根据题意得APPBBQCQ2，ABC是等边三角形，AQBC，B60，AQB90，BPQ是等边三角形，BQP60，AQPAQBBQP906030；由题意知APBQt，PB4t，当PQB90时，B60，PB2BQ，得：4t2t，解得t；当BPQ90时，B60，BQ2BP，得t2（4t），解得t；当t秒或t秒时，PBQ为直角三角形；（2）ACAP+CQ，理由如下：如图所示，过点Q作QFAC，交AB于F，则BQF是等边三角形，BQQF，BQFBFQ60，ABC为等边三角形，BCAC，BACBFQ60，QFPPAC120，PQPC，QCPPQC，PQCB+BPQ，PCQACB+ACP，BACB，BPQACP，在PQF和CPA中，PQFCPA（AAS），APQF，APBQ，BQ+CQBCAC，AP+CQAC【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形与等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质等知识点声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/5 21:35:22；用户：且歌且行05；邮箱：18706874782；学号：20704693 第 31 页 共 31 页
