1、专题04 分式与分式方程一 选择题1. （2022湖南长沙）下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 2（2022天津）计算的结果是（）A1BCD3（2022浙江杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离已知f，v，则u（）ABCD4（2022湖南怀化）代数式x，x2，中，属于分式的有（）A2个B3个C4个D5个5（2022四川凉山）分式有意义的条件是（）Ax3Bx3Cx3Dx06（2022四川南充）已知，且，则的值是（）ABCD7（2022云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的
2、树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同设实际每天植树x棵则下列方程正确的是（）ABCD8（2022山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（）ABCD9（2022四川德阳）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）Aa1 Ba1且a0 Ca1 Da1且a210（2022四川遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（）A0B4或6C6D0或411（2022浙
3、江丽水）某校购买了一批篮球和足球已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元根据题意可列方程，则方程中x表示（）A足球的单价B篮球的单价C足球的数量D篮球的数量二填空题12（2022北京）方程的解为_13（2022湖北黄冈）若分式有意义，则x的取值范围是_14（2022浙江湖州）当a1时，分式的值是_15（2022四川自贡）化简： _16（2022四川泸州）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是_17（2022浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，若，则x的值为_18（2022江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，
4、甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为_19（2022浙江金华）若分式的值为2，则x的值是_20（2022四川成都）分式方程的解是_21（2022重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_22（2022
5、湖南衡阳）计算：_23.（2022浙江台州）如图的解题过程中，第步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是_先化简，再求值：，其中解：原式24（2022四川成都）已知，则代数式的值为_25（2022湖南常德）方程的解为_三解答题26（2022江苏宿迁）解方程：27（2022四川泸州）化简：28（2022新疆）先化简，再求值：，其中29（2022四川乐山）先化简，再求值：，其中30（2022湖南邵阳）先化简，再从1，0，1，中选择一个合适的值代入求值31（2022陕西）化简：32（2022湖南株洲）先化简，再求值：，其中33（2022江苏扬州）计算：(1) (2)34（2022江西
6、）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：解：原式解：(1)上面的运算过程中第_步出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程35（2022重庆）计算：(1)；(2)36（2022江苏连云港）化简：37（2022四川达州）化简求值：，其中38（2022浙江舟山）观察下面的等式：，(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的39（2022四川凉山）先化简，再求值：，其中m为满足1m4的整数40（2022山东滨州）先化简，再求值：，其中41（2022重庆）计算：(1)；(2)42（2022山东泰安）（1）若单项式与单项式是一多项
7、式中的同类项，求、的值；（2）先化简，再求值：，其中43（2022四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度44（2022湖南怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元(1)求每件雨衣和每
8、双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？45（2022重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追
9、上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度46（2022重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同
10、求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？47（2022四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度48（2022江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？49（2022四川广元）先化简，再求值：（1），其中x是不等式组的整数解50（2022湖南娄底）先化简，再求值：，其中是满足条件的合适
11、的非负整数专题04 分式与分式方程一选择题1. （2022湖南长沙）下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键2（2022天津）计算的结果是（）A1BCD【答案】A【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可【详解】解：
12、故选：A【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则3（2022浙江杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离已知f，v，则u（）ABCD【答案】C【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u【详解】解：，即，故选：C【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则4（2022湖南怀化）代数式x，x2，中，属于分式的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据
13、逐个判断即可【详解】分母中含有字母的是，分式有3个，故选：B【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键5（2022四川凉山）分式有意义的条件是（）Ax3Bx3Cx3Dx0【答案】B【分析】根据分式的分母不能为0即可得【详解】解：由分式的分母不能为0得：，解得，即分式有意义的条件是，故选：B【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键6（2022四川南充）已知，且，则的值是（）ABCD【答案】B【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，代入计算即可得出结果【详解】解：，ab0，ab0，原式=，故选：B【点睛】题目主要考查完全公式的
14、计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键7（2022云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同设实际每天植树x棵则下列方程正确的是（）ABCD【答案】B【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据题意，可列方程：，故选：B【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列
15、出方程8（2022山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（）ABCD【答案】D【分析】设总工程量为，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可【详解】解：设规定日期为天，由题意可得，整理得，或或则选项均正确，故选：D【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题
16、意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程9（2022四川德阳）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）Aa1 Ba1且a0 Ca1 Da1且a2【答案】D【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案.【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x为正数所以-a-10，解得a-1，且a-2.（因为当a=-2时，方程不成立.）【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a-2这个信息10（2022四川遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（）A0B4或6C6D0或4【答案】D【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情
17、况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可【详解】方程两边同乘，得，整理得，原方程无解，当时，；当时，或，此时，解得或，当时，无解；当时，解得；综上，m的值为0或4；故选：D【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键11（2022浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元根据题意可列方程，则方程中x表示（）A足球的单价B篮球的单价C足球的数量D篮球的数量【答案】D【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，
18、从而可以确定x的含义【详解】解：由可得：由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价，表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键二填空题12（2022北京）方程的解为_【答案】x=5【解析】【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解【详解】解：方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=500. 故原方程的解为：x=5【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验
19、根13（2022湖北黄冈）若分式有意义，则x的取值范围是_【答案】【分析】根据分式有意义的条件即可求解【详解】解：分式有意义，解得故答案为：【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键14（2022浙江湖州）当a1时，分式的值是_【答案】2【分析】直接把a的值代入计算即可【详解】解：当a=1时，故答案为：2【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可15（2022四川自贡）化简： _【答案】【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可【详解】=故答案为【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键16（2022四川
20、泸州）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是_【答案】【分析】先解分式方程得，再把代入不等式计算即可【详解】去分母得：解得：经检验，是分式方程的解把代入不等式得：解得故答案为：【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则17（2022浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，若，则x的值为_【答案】【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可【详解】解：，又，即，解得，经检验是方程的解，故答案为：【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键18（2022江西）甲、乙两人在社区进行核
21、酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为_【答案】【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得故答案为：【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键19（2022浙江金华）若分式的值为2，则x的值是_【答案】4【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可；【详解】解：由题意得：去分母：去括号：移项，合并同类项：系数化为1：经检验，
22、x=4是原方程的解，故答案为：4；【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键20（2022四川成都）分式方程的解是_【答案】【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解【详解】解：解：化为整式方程为：3x1x4，解得：x3，经检验x3是原方程的解，故答案为：【点睛】此题考查了分式方程的解法注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键21（2022重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红
23、枫初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_【答案】【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x甲、乙两山需红枫数量、，故丙山的红枫数量为，设香樟和红枫价格分别为、，实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为，故答案为：【点睛】本题考查未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键22（20
24、22湖南衡阳）计算：_【答案】2【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分【详解】解：【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键23.（2022浙江台州）如图的解题过程中，第步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是_先化简，再求值：，其中解：原式【答案】5【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解【详解】解：依题意得：，即，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括号得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，故答案为：5【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验24（2022四川成都）已知，则代数式的值为_【答案】
25、【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；【详解】解：，移项得，左边提取公因式得，两边同除以2得，原式故答案为：【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键25（2022湖南常德）方程的解为_【答案】【分析】根据方程两边同时乘以，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验【详解】解：方程两边同时乘以，解得经检验，是原方程的解故答案为：【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验三解答题26（2022江苏宿迁）解方程：【答案】x1【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化
26、为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可【详解】解：，2xx2+1，x1，经检验x1是原方程的解，则原方程的解是x1【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根27（2022四川泸州）化简：【答案】【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可【详解】解：【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键28（2022新疆）先化简，再求值：，其中【答案】1【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可【详解】解：，原式【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键29（20
27、22四川乐山）先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x的值即可求解【详解】，原式=【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键30（2022湖南邵阳）先化简，再从1，0，1，中选择一个合适的值代入求值【答案】，【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值【详解】解：=，x+10，x-10，x0，x1，x0当x=时，原式=【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则31（
28、2022陕西）化简：【答案】【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可【详解】解：原式【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键32（2022湖南株洲）先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】先将括号内式子通分，再约分化简，最后将代入求值即可【详解】解：，将代入得，原式【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和完全平方公式是解题的关键33（2022江苏扬州）计算：(1) (2)【答案】(1) (2)【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可；（2）先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简；(1)解：原式=(2)解：原式=【
29、点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键34（2022江西）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：解：原式解：(1)上面的运算过程中第_步出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程【答案】(1)(2)见解析【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可(1)第步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：；(2)解：原式【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键35（2022重庆）计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法
30、则进行计算，再合并同类项即可；（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可(1)解：=(2)解： =【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键36（2022江苏连云港）化简：【答案】【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键37（2022四川达州）化简求值：，其中【答案】，【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a的值代入计算即可求值【详解】解：原
31、式；当时，原式【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键38（2022浙江舟山）观察下面的等式：，(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，；右边第一个分数的分母为3，4，5，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可
32、证明(1)解：第一个式子，第二个式子，第三个式子，第（n+1）个式子；(2)解：右边=左边，【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律39（2022四川凉山）先化简，再求值：，其中m为满足1m4的整数【答案】，当时，式子的值为；当时，式子的值为【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得【详解】解：原式，又为满足的整数，或，当时，原式，当时，原式，综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键40（2022山东滨州）先化简，
33、再求值：，其中【答案】，0【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算【详解】解：；，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键41（2022重庆）计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解(1)解：原式(2)解：原式【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键42（2022山东泰安）（1）若单项式与单项式是一多项式中的同类项，求、的值；
34、（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）m=2，n=-1；（2），【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得和的值；（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值【详解】解：（1）由题意可得，可得：，解得：，把代入，可得：，解得：，的值为2，的值为；（2）原式，当时，原式【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式的结构是解题关键43（2022四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为
35、此进行了电力抢修演练现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，依题意，得：，解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时【点睛】本题考查了分式
36、方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键44（2022湖南怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式(3)在（2）的情况下，今年该部
37、门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣元，每双雨鞋元(2)(3)最多可购买套【分析】（1）根据题意，设每件雨衣元，每双雨鞋元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套元，根据费用=单价套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式，求解后根据实际意义取值即可(1)解：设每件雨衣元，每双雨鞋元，则，解得，经检验，是原分式方程的根，答：每件雨衣元，每双雨鞋元；(2)解：根据题意，一套原价为元，下降20%后的现价为元，则；(3)解：，购买的套数在范围内，即，解得，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买套【点
38、睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键45（2022重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度【答案】(1) (2)千米/时【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半
39、小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可(1)解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，由题意得：，解得：，则（千米/时），答：甲骑行的速度为千米/时；(2)设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，由题意得：，解得，经检验是分式方程的解，则（千米/时），答：甲骑行的速度为千米/时【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键46（2022重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修
40、建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，根据工效问题公式：工作总量工作时间工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设乙
41、施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，则有解得甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米(2)水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同两队修建的长度都为18002900(米)乙施工队技术更新后，修建长度为900360540(米)解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米则有解得经检验，是原方程的解，
42、符合题意乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键47（2022四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度【答案】张老师骑车的速度为千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时，根据题意得：，解之得，经检验是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为千米/小时【点睛
