专题06解三角形-五年(2017-2021)高考数学真题分项详解(新高考地区专用)(解析版)

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1、 专题专题 06 解三角形解三角形 【2021 年】年】 一、【2021浙江高考】我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角 形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3,4,记大正方 形的面积为 1 S,小正方形的面积为 2 S,则 1 2 S S _. 【答案】25 【解析】 【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积,然后计算其比值即可. 【详解】由题意可得,大正方形的边长为: 23 345a , 则其面积为: 2 1 525S , 小正方形的面积: 2 1 2543 41 2 S , 从而 1 2 25 25

2、1 S S . 故答案为:25. 【2021 浙江高考】 在ABC中,60 ,2BAB, M 是BC的中点,2 3AM , 则AC _, cos MAC_. 【答案】 (1). 2 13 (2). 2 39 13 【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC,进而可得AC,再由余弦定理可得cosMAC. 【详解】由题意作出图形,如图, 在ABM中,由余弦定理得 222 2cosAMABBMBM BAB , 即 2 1 12422 2 BMBM ,解得=4BM(负值舍去) , 所以=2=2=8BCBMCM, 在ABC中,由余弦定理得 222 1 2cos4642 2 852 2 ACABBC

3、AB BCB , 所以2 13AC ; 在AMC中,由余弦定理得 222 52 12 162 39 cos 2132 2 32 13 ACAMMC MAC AM AC . 故答案为:2 13; 2 39 13 . 二、【2021江苏高考】记 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,.已知2= ,点 D 在边 AC 上, = (1)证明: = ; (2)若 = 2,求cos 【答案】解:(1)证明:由正弦定理知, sin = sin = 2, = 2, = 2, 2= , 2 = 2, 即 = , = = ; (2)由(1)知 = , = 2, = 2 3, = 1 3, 在 中,由余弦定理知

4、,cos = 2:2;2 2 = 2:(2 3) 2;2 22 3 = 132;92 122 , 在 中,由余弦定理知,cos = 2:2;2 2 = 2:(1 3) 2;2 21 3 = 102;92 62 , + = , cos + cos = 0, 即13 2;92 122 + 102;92 62 = 0, 得112= 32+ 62, 2= , 32 11 + 62= 0, = 3或 = 2 3, 在 中,由余弦定理知,cos = 2:2;2 2 = 2:2; 2 , 当 = 3时,cos = 7 6 1(舍); 当 = 2 3时,cos = 7 12; 综上所述,cos = 7 12

5、【知识点】余弦定理、正弦定理 【解析】(1)利用正弦定理求解; (2)要能找到隐含条件:和互补,从而列出等式关系求解 本题考查正弦定理及余弦定理的内容,是一道好题 【2020 年】年】 一、【2020北京高考】2020年 3 月 14日是全球首个国际圆周率日( ).历史上,求圆周率的方法有 多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔卡西的方法是:当正整数 n充分大时,计算单位 圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n边形(各边均与圆相切的正 6n 边形)的周长,将它们的算术平均数作 为2的近似值按照阿尔卡西的方法,的近似值的表达式是( ) A. 3(sin 30 + tan 30 )

6、 B. 6(sin 30 + tan 30 ) C. 3(sin 60 + tan 60 ) D. 6(sin 60 + tan 60 ) 【答案】A 【知识点】解三角形的实际应用、合情推理(归纳、类比推理) 【解析】 【分析】 本题考查数学中的文化,考查圆的内接和外切多边形的边长的求法,考查运算 能力,属于基础题 设内接正 6n 边形的边长为 a,外切正 6n 边形的边长为 b,运用圆的性质,结 合直角三角形的锐角三角函数的定义,可得所求值 【解答】 解:如图,设内接正 6n边形的边长为 a,外切正 6n边形的边长为 b, 可得 = 2 360 12 = 2 30 , = 2 360 12

7、= 2 30 , 则2 6:6 2 = 6(sin 30 + tan 30 ), 即 3(sin 30 + tan 30 ), 故选:A 【2020北京高考(理) 】在 中, + = 11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知, 求: ()的值; ()和 的面积 条件: = 7, = 1 7; 条件: = 1 8, = 9 16 注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分 【答案】解:选择条件, ()由余弦定理得2= 2+ 2 2,即2 2= 49 14 ( 1 7) = 49 + 2, ( + )( ) = 49 + 2, + = 11, 11 11 = 49 + 2, 即11

8、13 = 49, 联立 + = 11 11 13 = 49,解得 = 8, = 3, 故 = 8 ()在 中, 0, = 1 cos2 = 43 7 , 由正弦定理可得 = , = = 743 7 8 = 3 2 , = 1 2 = 1 2 8 3 3 2 = 63 选择条件, ()在 中, 0, 0, = ( + ), = 1 8, = 9 16, = 1 cos2 = 37 8 , = 1 cos2 = 57 16 , 由正弦定理可得 = , = = 6 5, + = 11, = 6, = 5, 故 = 6; ()在 中, = ( + ), = sin( + ) = + = 37 8 9

9、16 + 57 16 1 8 = 7 4 , = 1 2 = 1 2 6 5 7 4 = 157 4 【知识点】三角形面积公式、两角和与差的三角函数公式、余弦定理、正弦定理 【解析】本题考查了同角的三角函数的关系,两角和的正弦公式,正余弦定理,三角形的面积公式等知识, 考查了运算能力求解能力,转化与化归能力,属于中档题 选择条件()由余弦定理求出( + )( ) = 49 + 2,再结合 + = 11,即可求出 a的值, ()由正弦定理可得 sinC,再根据三角形的面积公式即可求出, 选择条件()根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得 = = 6 5,再结合 + = 11,即可求出 a的 值,

10、 ()由两角和的正弦公式求出 sinC,再根据三角形的面积公式即可求出 二、【2020浙江高考】在锐角 中,角,的对边分别为,.已知2sin 3 = 0 (1)求角 B; (2)求cos + cos + cos的取值范围 【答案】解:(1) 2sin = 3, 2sinsin = 3sin, sin 0, sin = 3 2 , , = 3, (2) 为锐角三角形, = 3, = 2 3 , , 为锐角三角形, 解得, , , , cos + cos + cos的取值范围为(3:1 2 , 3 2 【知识点】求正弦型函数的值域或最值、辅助角公式(三角函数的叠加及应用(北师))、利用正弦定理解三

11、 角形、两角和与差的余弦公式 【解析】本题考查了正弦定理,三角函数的化简,三角函数的性质,属于较难题 (1)根据正弦定理可得sin = 3 2 ,结合角的范围,即可求出, (2)根据两角和与差的余弦公式,以及利用正弦函数的性质即可求出 三、 【2020天津高考】在 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,.已知 = 22, = 5, = 13 ()求角 C 的大小; ()求 sinA 的值; ()求sin(2 + 4)的值 【答案】解:()由余弦定理以及 = 22, = 5, = 13, 则 = 2:2;2 2 = 8:25;13 2225 = 2 2 , (0,), = 4; ()由正弦

12、定理,以及 = 4, = 22, = 13, 可得 = = 22 2 2 13 = 213 13 ; ()由 , , 为锐角, = 11 14, sin( ) = = 3 2 11 14 ( 1 2) 53 14 = 43 7 【知识点】利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式,属基础题 (1)利用余弦定理可得2= 2+ 2 2,代入已知条件即可得到关于 b的方程,解方程即可; (2)sin( ) = ,根据正弦定理可求出 sinC,然后求出 cosC,代入即可得解 【2019北京高考(文) 】在 中, = 3,

13、= 2, = 1 2 (1)求 b,c 的值; (2)求sin( + )的值 【答案】解:(1) = 3, = 2, = 1 2 由余弦定理,得2= 2+ 2 2 = 9 + ( 2)2 2 3 ( 2) ( 1 2), = 7, = 2 = 5; (2)在 中, = 1 2, = 3 2 , 由正弦定理有: = , = = 3 3 2 7 = 33 14 , sin( + ) = sin( ) = = 33 14 【知识点】利用正弦定理解三角形、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题 (1)利用余弦定理可得2= 2+ 2 2,代入已知条件即可

14、得到关于 b的方程,解方程即可; (2)sin( + ) = sin( ) = ,根据正弦定理可求出 sinA 二、 【2019 浙江高考】 在 中, = 4, = 3, 点 D 在线段 AC 上, 若, 则 = ; 【答案】122 5 72 10 【知识点】余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式 【解析】 【分析】 本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形,考查三角函数的恒等变换,化简整理的运算能力,属于中档 题 解直角三角形 ABC,可得 sinC,cosC,在三角形 BCD中,运用正弦定理可得 BD;再由三角函数的诱导公 式和两角和差公式,计算可得

15、所求值 【解答】 解:如图所示, 在直角三角形 ABC中, = 4, = 3,可得 = 5, = 4 5, 在 中,由正弦定理可得 3 2 2 = ,可得 = 122 5 ; 根据三角形内角和可知 = 135 , sin = sin(135 ) = 2 2 ( + ) = 2 2 (4 5 + 3 5) = 72 10 , 即有cos = cos(90 ) = sin = 72 10 , 故答案为122 5 ;72 10 三、 【2019天津高考(理) 】在 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,.已知 + = 2, 3 = 4 ()求 cosB的值; ()求sin(2 + 6)的值 【

16、答案】解:()在三角形 ABC中,由正弦定理得 = ,所以 = , 又由3 = 4, 得3 = 4,即3 = 4, 又因为 + = 2,得 = 4 3 , = 2 3 , 由余弦定理可得 = 2:2;2 2 = 2:4 9 2;16 9 2 22 3 = 1 4; ()由()得 = 1 2 = 15 4 , 从而2 = 2 = 15 8 , 2 = cos2 sin2 = 7 8, 故sin(2 + 6) = 2 6 + 2 6 = 15 8 3 2 7 8 1 2 = 35:7 16 【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余 弦定理解三角形

17、 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正余弦公式,以及正弦定 理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题 ()根据正余弦定理可得; ()根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得 【2019 天津高考 (文) 】 在 中, 内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, .已知 + = 2, 3 = 4 ()求 cosB的值; ()求sin(2 + 6)的值 【答案】解:()在三角形 ABC中,由正弦定理得 = ,所以 = , 又由3 = 4, 得3 = 4,即3 = 4, 又因为 + = 2,得 = 4 3 , = 2 3 , 由余弦定理可得 =

18、 2:2;2 2 = 2:4 9 2;16 9 2 22 3 = 1 4; ()由()得 = 1 2 = 15 4 , 从而2 = 2 = 15 8 , 2 = cos2 sin2 = 7 8, 故sin(2 + 6) = 2 6 + 2 6 = 15 8 3 2 7 8 1 2 = 35:7 16 【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余 弦定理解三角形 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正余弦公式,以及正弦定 理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题 ()根据正余弦定理可得; ()根据二倍角

19、的正余弦公式以及和角的正弦公式可得 四、【2019上海高考】在 中, = 3,3 = 2,且 = 1 4,则 = 【答案】10 【知识点】正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查学生的转化和计算能力,属于基础题 利用正弦定理可得 = 2,利用余弦定理即可得出结论 【解答】 解: 3 = 2, 由正弦定理可得:3 = 2, 由 = 3,可得: = 2, = 1 4, 由余弦定理可得:1 4 = 32:22;2 232 , 解得: = 10 故答案为: 10 【2018 年】年】 一、 【2018 北京高考 (理) 】 在 中, 内角 A,

20、B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 = 7, = 8, = 1 7 (1)求 A; (2)求 AC边上的高 【答案】解:(1) , ,即 A 是锐角, = 1 7, = 1 cos2 = 1 ( 1 7) 2 = 43 7 , 由正弦定理, = , 得 = = 743 7 8 = 3 2 , 又 A 为锐角, 则 = 3 ; (2)由余弦定理得2= 2+ 2 2, 即64 = 49 + 2+ 2 7 1 7, 即2+ 2 15 = 0, 得( 3)( + 5) = 0, 解得 = 3或 = 5(舍), 则 AC边上的高 = = 3 3 2 = 33 2 【知识点】由一个三角函数值求其

21、他三角函数值、利用正弦定理解三角形、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查正弦定理,余弦定理,属于中档题 (1)由正弦定理,进行求解即可; (2)利用余弦定理求出 c 的值,即可求出 h 【2018北京高考(文) 】若 的面积为 3 4 (2+ 2 2),且为钝角,则 = ; 的取值范围 是 【答案】 3 (2,+) 【知识点】正切型函数的定义域、值域和最值、三角形面积公式、利用正弦定理解决范围与最值问题、两 角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】 【分析】 本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,考查计算能力,属于中档题 利用余弦定理,转化求解即可 【解答】 解: 的面积为 3 4

22、 (2+ 2 2 ), 可得: 3 4 (2+ 2 2) = 1 2, = 3, 可得: = 3,所以 = 3, 为钝角, (0, 6 ), 所以 1 (3,+), = = sin( + ) = + 1 = 1 2 + 3 2 1 (2,+), 故答案为: 3;(2,+) 二、 【2018浙江高考】在 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,.若 = 7, = 2, = 60, 则 = (1) , = (2) 【答案】 21 7 3 【知识点】余弦定理、正弦定理 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理,属于简单题 由正弦定理得 7 60 = 2 ,由此能求出 sinB,由余弦定理得

23、60 = 4:2;7 22 ,由此能求出 c 【解答】 解:在 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c = 7, = 2, = 60, 由正弦定理得: = ,即 7 60 = 2 , 解得 = 2 3 2 7 = 21 7 由余弦定理得: = 2:2;2 2 ,即60 = 4:2;7 22 , 解得 = 3或 = 1(舍), 故答案为: 21 7 ;3 三、【2018天津高考(理) 】 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,.已知 ()求角 B 的大小; ()设 = 2, = 3,求 b和的值 【答案】解:()在 中,由正弦定理得 = ,得 = , 又 = ( 6 ), = ( 6

24、), 即 = cos( 6) = 6 + 6 = 3 2 + 1 2, = 3, 又 (0,), = 3 ()在 中, = 2, = 3, = 3, 由余弦定理得 = 2+ 2 2 = 7, 由 = ( 6),得 = 3 7 , , = 2 7 , 2 = 2 = 43 7 , 2 = 22 1 = 1 7, sin(2 ) = 2 2 = 43 7 1 2 1 7 3 2 = 33 14 【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式、 二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式,考查正余弦定理的运用,考查运算求

25、解能力,是中档题 ()由正弦定理得 = ,结合 = ( 6),由此能求出 B ()由余弦定理得 = 7,由 = ( 6),得 = 3 7 , = 2 7 ,由此能求出sin(2 ) 【2017 年】年】 一、【2017北京高考(理) 】在 中,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,且2+ 2= 2+ .若 ,则 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】正弦定理及变形、利用余弦定理判断三角形的形状 【解析】 【分析】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题 由已知2+ 2= 2+ ,利用余弦定理可得 = 1

26、2,可得 = 3,由sin = sin 2,利用正弦定理 可得 = 2,代入2+ 2= 2+ ,可得 = .由此可以确定三角形形状 【解答】 解:因为2+ 2= 2+ ,所以 = 2+ 2 2, 利用余弦定理可得 = 2:2;2 2 = 1 2, 因为, 故, 因为,利用正弦定理可得 = 2, 代入2+ 2= 2+ 可得( )2= 0,故 = , 所以 为等边三角形 故选 C 【2017北京高考(理) 】在 中, = 60, = 3 7. (1)求 sinC 的值; (2)若 = 7,求 的面积 【答案】解:(1) = 60, = 3 7, 由正弦定理可得 = 3 7 = 3 7 3 2 =

27、33 14 ; (2) = 7,则 = 3, , = 5, = 6, = 3 5 ()求 b和 sinA的值; ()求sin(2 + 4)的值 【答案】解:()在 中, , 故由 = 3 5,可得 = 4 5 由已知及余弦定理, 有2= 2+ 2 2cos = 25 + 36 2 5 6 4 5 = 13, = 13 由正弦定理 = ,得 = = 313 13 = 13, = 313 13 ; ()由()及 ,得 = 213 13 , 2 = 2 = 12 13,2 = 1 2 2 = 5 13 故sin(2 + 4) = 2 4 + 2 4 = 12 13 2 2 5 13 2 2 = 72

28、 26 【知识点】二倍角正弦公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、利用正弦定理解三角形、利用余弦定 理解三角形 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,同角三角函数关系,考查倍角公式的应用, 属于中档题 ()由已知结合同角三角函数基本关系式求得 cosB,再由余弦定理求得 b,利用正弦定理求得 sinA; ()由同角三角函数基本关系式求得 cosA,再由倍角公式求得 sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案 【2017天津高考(文) 】在 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,.已知 = 4, = 5(2 2 2) ()求 cosA的值; ()求sin(2 )的值

29、 【答案】()解:由 = ,得 = , 又 = 4, 两式作比得: 4 = , = 2 由 = 5(2 2 2),得2+ 2 2= 5 5 , 由余弦定理,得 = 2:2;2 2 = ; 5 5 = 5 5 ; ()解:由(),可得 = 25 5 , 代入 = 4,得 = 4 = 5 5 由()知,A 为钝角,则 B为锐角, = 1 sin2 = 25 5 , 于是2 = 2 = 4 5,2 = 1 2 2 =3 5, 故sin(2 ) = sin2cos cos2sin = 4 5 ( 5 5 ) 3 5 25 5 = 25 5 【知识点】二倍角正弦公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、利

30、用正弦定理解三角形、两角和与差 的正弦公式、利用余弦定理解三角形 【解析】本题考查正,余弦定理在解三角形中的应用,三角函数二倍角公式及和差角公式的应用, 属于中档题 ()由正弦定理得 = ,结合 = 4,得 = 2.再由 = 5(2 2 2),得 2+ 2 2= 5 5 ,代入余弦定理的推论可求 cosA 的值; ()由()可得 = 25 5 , 代入 = 4, 得 sinB, 进一步求得.利用倍角公式求 sin2B, cos2B, 展开两角差的正弦可得sin(2 )的值 四、【2017上海高考】已知函数() = cos2 sin2 + 1 2, (0,) (1)求()的单调递增区间; (2)

31、设 为锐角三角形,角 A 所对边 = 19,角 B所对边 = 5,若() = 0,求 的面积 【答案】解:(1)函数() = cos2 sin2 + 1 2 = 2 + 1 2, (0,), 由2 2 2, , 解得 1 2 , , (0,), 可得()的单调递增区间为 2 ,); (2)设 为锐角三角形, 角 A 所对边 = 19,角 B所对边 = 5, 若() = 0,即有2 + 1 2 = 0,A为锐角, 解得2 = 2 3,即 = 1 3, 由余弦定理可得2= 2+ 2 2, 化为2 5 + 6 = 0, 解得 = 2或 3, 若 = 2,则 = 19:4;25 2192 0, 即有 B为钝角, = 2不成立, 则 = 3,经检验符合条件, 的面积为 = 1 2 = 1 2 5 3 3 2 = 153 4 【知识点】三角形面积公式、判断余弦型函数的单调性或求解单调区间、二倍角余弦公式、利用余弦定理 解三角形 【解析】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,考 查运算能力,属于中档题 (1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间,可得所求单调增区间; (2)由() = 0,解得 A,再由余弦定理解方程可得 c,再由三角形的面积公式,计算即可得到所求值

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