1、 1 【典例分析】 例 1 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0，c0）交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，设过点 A，B，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D （1）如图 1，已知点 A，B，C 的坐标分别为（-2，0） ， （8，0） ， （0，-4） ； 求此抛物线的函数解析式； 若点 M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求BDM 面积的最大值； （2）如图 2，若 a=1，c=-4，求证：无论 b 取何值，点 D 的坐标均不改变 思路点拨 （2）连接 AD、BC，如图 2若 a=1，c=-4，则抛物线的解析式为 y=x2+bx-4，可得 C（0，-4） ，OC=
2、4设 点 A（x1，0） ，B（x2，0） ，则 OA=-x1，OB=x2，且 x1、x2是方程 x 2+bx-4=0 的两根，根据根与系数的关系 可得 OAOB=4由 A、D、B、C 四点共圆可得ADC=ABC，DAB=DCB，从而可得ADO CBO，根据相似三角形的性质可得 OCOD=OAOB=4，从而可得 OD=1，即可得到 D（0，1） ，因而无论 b 取何值，点 D 的坐标均不改变 2 满分解答 （1）抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（-2，0） ，B（8，0） ，C（0，-4） ， 420 6480 4 abc abc c ，解得 1 4 3 2 4 a b c 抛物线的解析
3、式为 y= 1 4 x2- 3 2 x-4； 过点 M 作 MEy 轴，交 BD 于点 E，连接 BC，如图 1 D（0，4） 设直线 BD 的解析式为 y=mx+n B（8，0） ，D（0，4） ， 3 80 4 mn n ， 解得 1 2 4 m n ， （2）连接 AD、BC，如图 2 若 a=1，c=-4，则抛物线的解析式为 y=x2+bx-4， 则 C（0，-4） ，OC=4 设点 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 则 OA=-x1，OB=x2，且 x1、x2是方程 x2+bx-4=0 的两根， OAOB=-x1x2=-（-4）=4 4 考点：圆的综合题 例 2 已知抛物线经过
4、A(3，0), B(4，1)两点，且与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的函数关系式及点 C 的坐标； （2）如图（1）,连接 AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点 P，使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角 形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2）,连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合）经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标 思路点拨 (1)用待定系数法求解; (2) 假设存在，分两种情况讨论 (3)根据面积公式,列出二次函数,求函数的最值. 满分解答 5 （1）将 A(3,
5、0),B(4,1)代人 得 C(0,3) 当ABP=90O时,过 B 作 BPAC,BP 交抛物线于点 P. A(3,0),C(0,3) 直线 AC 的函数关系式为 将直线 AC 向上平移 2 个单位与直线 BP 重合. 则直线 BP 的函数关系式为 由,得 又 B(4,1), P2(-1,6). 综上所述,存在两点 P1(0,3), P2(-1,6). 6 (3)OAE=OAF=45O,而OEF=OAF=45O, OFE=OAE=45O, OEF=OFE=45O, OE=OF,EOF=90O 点 E 在线段 AC 上, 设 E = = = = 当时,取最小值, 7 此时, 例 3 如图，在平
6、面直角坐标系中，圆 D 与 y轴相切于点 C(0，4)，与 x轴相交于 A、B两点，且 AB6. (1)求 D 点的坐标和圆 D的半径； (2)求 sin ACB的值和经过 C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式； (3)设抛物线的顶点为 F，证明直线 AF与圆 D相切 思路点拨 （1）连接 CD，过点 D作 DEAB，垂足为 E，连接 AD依据垂径定理可知 AE=3，然后依据切线的性质 可知 CDy 轴，然后可证明四边形 OCDE为矩形，则 DE=4，然后依据勾股定理可求得 AD 的长，故此可求 得D的半径和点 D的坐标； （2）先求得 A（2，0） 、B（8，0） 设抛物线的解析式为 y=
7、a（x2） （x8） ，将点 C的坐标代入可求得 a 的值根据三角形面积公式得：SABC= BC ACsinACB= AB CO，代入计算即可； （3）求得抛物线的顶点 F的坐标，然后求得 DF和 AF 的长，依据勾股定理的逆定理可证明DAF为直角三 角形，则DAF=90 ，故此 AF是D的切线 满分解答 （2）如图 1所示： D（5，4） ，E（5，0） ，A（2，0） 、B（8，0） 8 设抛物线的解析式为 y=a（x2） （x8） ，将点 C的坐标代入得：16a=4，解得：a，抛物线的解析式 为 yx2x+4 SABC= BC ACsinACB= AB CO，sinACB= = 例 4
8、如图，已知二次函数 2 2 yxm4m（m0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点 （1）写出 A、B 两点的坐标（坐标用 m 表示） ； （2）若二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以 AB 为直径的M 与 y 轴交于 C、D 两点，求 CD 的长 思路点拨 （1）解关于 x 的一元二次方程 2 2 xm4m0，求出 x 的值，即可得到 A、B 两点的坐标。 （2）由二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上，A、B 是抛物线与 x 轴的交点，根据抛物线的对称 9 性及圆的半径处处相等可知 PM 是 AB 的垂直平分线，且 MP=MA=MB=
9、1 2 AB，得出点 P 的坐标为（m， 2m） ，又根据二次函数的顶点式为 2 2 yxm4m（m0） ，得出顶点 P 的坐标为： （m，4m2） ，则 2m=4m2，解方程求出 m 的值，再把 m 的值代入 2 2 yxm4m，即可求出二次函数的解析式。 （3）连接 CM根据（2）中的结论，先在 RtOCM 中，求出 CM，OM 的长度，利用勾股定理列式求出 OC 的长，再根据垂径定理得出弦 CD 的长等于 OC 的 2 倍。 满分解答 （1） 2 2 yxm4m，当 y=0 时， 2 2 xm4m0。 解得 x1=m，x2=3m。 m0，A、B 两点的坐标分别是（m，0） ， （3m，0
10、） 。 （3）如图，连接 CM， 在 RtOCM 中， COM=90 ，CM=2m=21 2 =1，OM=m= 1 2 ， 10 2 222 13 OCCMOM1 22 。 CD=2OC=3。 例 5 已知圆 P 的圆心在反比例函数 图象上，并与 x 轴相交于 A、B 两点 且始终与 y 轴相切于 定点 C(0，1) （1）求经过 A、B、C 三点的二次函数图象的解析式; （2）若二次函数图象的顶点为 D，问当 k 为何值时，四边形 ADBP 为菱形 思路点拨 （1）连接 PC，过 P 点作 PHx 轴，垂足为 H，根据圆的切线性质，可知 PC 轴，由勾股定理及垂径定 理，C (0，1)可得到
11、 A，B即可 （2）根据菱形的对角线互相平分，则有，得到关于 的方程即可 满分解答 (1)连结 PC、PA、PB，过 P 点作 PHx 轴，垂足为 H 1 分 P 与 轴相切于点 C (0，1)， 11 PC 轴 P 点在反比例函数的图象上， P 点坐标为（k，1） 2 分 PA=PC=k 在 RtAPH 中，AH=， OA=OHAH=k A（k，0） 3 分 由P 交 x 轴于 A、B 两点，且 PHAB，由垂径定理可知，PH 垂直平分 AB （2）由(1)知抛物线顶点 D 坐标为（k， 1） DH=1 若四边形 ADBP 为菱形则必有 PH=DH10 分 PH=1，1=1 又k1，k=11
12、 分 12 当 k 取时，PD 与 AB 互相垂直平分，则四边形 ADBP 为菱形 12 分 例 6 如图，二次函数 y=x2+px+q（p0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，-1） ，ABC 的面积为 5 4 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ACBD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若 不存在，请说明理由。 思路点拨 （1）由ABC 的面积为 5 4 ，可得 AB OC= 5 2 ，又二次
13、函数 y=x2+px+q（p0）的图象与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于点 C（0，-1）可求得该二次函数的关系式； （2）根据直线与圆的位置的位置关系确定 m 的取值范围 （3）四边形 ABCD 为直角梯形，要分类讨论，即究竟那条边为底可以分别以 AC、BC 为底进行讨论 满分解答 由直角坐标系上两点间的距离公式可得 x2-x1=AB= ， ， 13 （2）设ABC 的外接圆交 y 轴于另一点 D，如图 由得 x1=2， ， 连接 AD， 在ABC 的外接圆中， ， ADC=ABC，DAB=DCB， AODCOB， ， ， DO=1， CO=DO=1， 又ABCD， AB 过AB
14、C 外接圆的圆心，即 AB 为ABC 外接圆的直径， ABC 外接圆的直径为， 14 直线与ABC 的外接圆相切， ； 【变式训练】 1如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点 A、B、C、D 分别是“果 圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 y=x26x16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被 y 轴截得的线 段 CD 的长为_ 【答案】20 【解析】 15 【分析】 抛物线的解析式为 y=x2-6x-16， 可以求出 AB=10； 在 RtCOM中可以求出 CO=4； 则： CD=CO+OD=4+16=20 【详解】 OM=5，OM=3，则：CO=4， 则：C
15、D=CO+OD=4+16=20 故答案是：20. 【点睛】 考查的是抛物线与 x 轴的交点，涉及到圆的垂径定理 2如图，抛物线 2 yxx与 x 轴交于 O、A 两点半径为 1 的动圆P，圆心从 O 点出发沿抛物线向靠 近点 A 的方向移动； 半径为 2 的动圆Q，圆心从 A 点出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动两圆同时出 发，且移动速度相等， 当运动到 P、Q 两点重合时同时停止运动设点 P 的横坐标为 t若P 与Q 相离， 则 t 的取值 范围是 16 【答案】 1 0 2 t 【解析】 试题分析： 连接 OP、 PQ、 AQ 抛物线 y=x2x 与 x 轴交于 O， A 两点， O 与
16、 A 关于抛物线的对称轴 1 2 x 对称，又动圆（P）的圆心从 O 点出发沿抛物线向靠近点 A 的方向移动；动圆（Q）的圆心从 A 点 出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动， 两圆同时出发， 且移动速度相等， OP=AQ， P 与 Q 也关于直线 1 2 x 对称，四边形 OPQA 是等腰梯形，作等腰梯形 OPQA 的高 PM、QN，则 OM=AN=t，解方程 2 0 xx ， 得 1 0 x ， 2 1x ，A（1，0） ，OA=1，ON=OAAN=1t，点 Q 的横坐标是 1t； 若P 与Q 相离，分两种情况：P 与Q 外离，则 PQ2+1，即 PQ3 考点：二次函数综合题 3如图，抛物
17、线过点 A(2，0)、B(6，0)、C(1， 3)，平行于 x轴的直线 CD交抛物线于 C、D，以 AB为 直径的圆交直线 CD于点 E、F，则 CE+FD的值是_ 17 【答案】4 4如图，抛物线 y 1 2 x2 5 2 x 与 x 轴交于 O，A 两点. 半径为 1 的动圆（P） ，圆心从 O 点出发沿抛物 线向靠近点 A 的方向移动；半径为 2 的动圆（Q） ，圆心从 A 点出发沿抛物线向靠近点 O 的方向移动. 两 圆同时出发，且移动速度相等，当运动到 P，Q 两点重合时同时停止运动. 设点 P 的横坐标为 t . PQ A y x O （1）点 Q 的横坐标是 （用含 t 的代数式
18、表示） ； 18 （2）若P 与Q 相离，则 t 的取值范围是 . 【答案】 （1）5t； （2）0t1，2t 5 2 . 【解析】 试题分析： （1）如图，抛物线 y 1 2 x2 5 2 x 与 x 轴交于 O，A 两点，两圆刚开始分别在 O，A 点，所以 5 op xx ；设点 P 的横坐标为 t，所以点 Q 的横坐标=5t 考点：二次函数和圆 点评：本题考查二次函数和圆，掌握二次函数的性质和圆相离，会判断两圆相离，圆心距与两圆半径之间 的关系是本题关键 5如图，抛物线的图象与 x 轴交于点 A,B，交 y 轴于点 C，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 运动，运动的速度为每秒 1 个
19、单位长度，运动时间为 t 秒，作BCP 的外接圆M，当圆 心 M 落在该抛物线上时，则 t=_ 秒. 【答案】6 【解析】PBC 的外接圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线 y=-x 上，求出直线 y=-x 与抛物线的交点，即可推 出点 M 坐标，由此即可解决问题. 解：PBC 的外接圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线 y=-x 上 由 2 11 6 42 yx yxx ，解得 4 4 x y 或 6 6 x y （舍去） ， 19 点 M 坐标为（4，-4） ， 如图中，作 MNAB 于 N， 6如图,圆 B 切 y 轴于原点 O,过定点 A(-,0)作圆 B 的切线交圆于点 P，已知 tan
20、PAB=,抛物线 C 经 过 A、P 两点。 (1)求圆 B 的半径. (2)若抛物线 C 经过点 B,求其解析式. (3)设抛物线 C 交 y 轴于点 M,若三角形 APM 为直角三角形,求点 M 的坐标. 【答案】 （1）； （2）见解析； （3） 点坐标为，. 【解析】 【分析】 （1）因为是的切线，所以连接可构造出直角三角形，利用直角三角形的性质及特殊角的三角函数 值即可求出圆 的半径； 20 （2）根据的半径可求出 点坐标，利用勾股定理或切割线定理可求出的距离，根据、的长可求 出 点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）求出 点坐标和 点坐标，设出 点坐标为，根据勾
21、股定理及其逆定理解答. 【详解】 （2）如 在第一象限，与 轴的夹角， 则： 点坐标， 即， 、 关于 轴对称，所以抛物线顶点必在 轴上， 设为， 抛物线解析式：， 将，代入， 得：， 抛物线解析式：， 若 点在四象限，则： 点坐标， 则抛物线解析式：； 来源: 21 【点睛】 此题将圆、抛物线、直线结合起来，考查了对知识的综合运用能力.特别是解（3）时，要应用勾股定理进行 分类讨论. 7如图，将圆 C 放置在直角坐标系中，圆 C 经过原点 O 以及点 A（2，0） ，点 B（0，2 3） 。 x y C B AO （1）求圆心的坐标以及圆 C 的半径； （4 分） （2）设弧 OB 的中点为
22、 D，请求出同时经过 O,A,D 三个点的抛物线解析式。 并判断该抛物线的顶点是否在圆 C 上，说明理由。 （6分） （3）若（2）中的抛物线上存在点 P（m，n） ，满足APB 为钝角，直接写出 m 的取值范围。 （2 分） 22 【答案】 （1）点 C 的坐标是（1， 3） ； （2）顶点不在圆 C 上； （3）-1m0 或 2x3. 【解析】 （2）如下图所示， 连接 OD 交 OB 于点 M CDOB 于点 M CM= 2 1 OA=1 MD=1 点 D 的坐标为（-1，3） 23 抛物线的顶点坐标是（1， 3 3 ） 该点到圆心 C 的距离是2 3 34 3 3 3 所以顶点不在圆
23、C 上； （3）AB 是圆的直径， 当抛物线上的点在圆内部时，APB 是钝角， m 的取值范围是-1m0 或 2x3. 考点：二次函数解析式的求法、圆的基本性质 点评：本题主要考查了二次函数解析式的求法与圆的基本性质.求二次函数的解析式的常用方法是待定系数 法. 24 8 如图， 已知抛物线 2 yaxbxc（a0） 的图象的顶点坐标是 （2， 1） ， 并且经过点 （4， 2） ， 直线1 2 1 xy 与抛物线交于 B，D 两点，以 BD 为直径作圆，圆心为点 C，圆 C 与直线 m 交于对称轴右侧的点 M（t，1） ， 直线 m 上每一点的纵坐标都等于 1 （1）求抛物线的解析式； （2
24、）证明：圆 C 与 x 轴相切； （3）过点 B 作 BEm，垂足为 E，再过点 D 作 DFm，垂足为 F，求 MF 的值 【答案】 （1） 2 1 2 4 yxx ； （2）证明见解析； （3） 51 2 【解析】 试题分析： （1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2） ，可求得抛物线的解析式； （2）联立直线和抛物线解析式可求得 B、D 两点的坐标，则可求得 C 点坐标和线段 BD 的长，可求得圆的 半径，可证得结论； （3）过点 C 作 CHm 于点 H，连接 CM，可求得 MH，利用（2）中所求 B、D 的坐标可求得 FH，则可求 得 MF 和 BE 的长，可求得其比值 试
25、题解析： （1）已知抛物线 2 yaxbxc（a0）的图象的顶点坐标是（2，1） ，可设抛物线解析式为 2 (2)1ya x ，抛物线经过点（4，2） ， 2 2(42)1a，解得 a= 1 4 ，抛物线解析式为 2 1 (2)1 4 yx，即 2 1 2 4 yxx； 25 （3）如图，过点 C 作 CHm，垂足为 H，连接 CM，由（2）可知 CM= 5 2 ，CH= 5 2 1= 3 2 ，在 RtCMH 中，由勾股定理可求得 MH=2，HF= 35(35) 2 = 5，MF=HFMH=52 ，BE= 55 22 1= 35 22 ， BE MF = 35 22 52 = 51 2 考点
26、：二次函数综合题；压轴题 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 O、M对称轴为直线 x=2， 以 OM 为直径作圆 A，以 OM 的长为边长作菱形 ABCD，且点 B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上， 点 D 在 y 轴负半轴上； 26 （1）求证：4a+b=0； （2）若圆 A 与线段 AB 的交点为 E，试判断直线 DE与圆 A 的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且OPM 为锐角时，求 a 的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）DE 与圆 A 相切； （3） 1 3 2 a 【
27、解析】 试题分析： （1）由题意可知（4，0） ，由抛物线经过点 O 可求得 c=0，将 c=0，x=4，y=0 代入抛物线的解析 式可证得：4a+b=0； （2） 如图 1 所示： 由菱形的性质可知： DN=NB， DNAN， 由 OM=AD=AB， 可证明 AD=AB=DB， 由 AE=2 可知 AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知 AEDE，从而可证明 DE 与圆 A 相切； （3）如图 2 所示设点 P 的坐标为（2，m） 由题意可知点 E 的坐标为（2，2） ，设抛物线的解析式为 y=ax（x4） ，将 x=2 代入得 y=4a 即 m=4a由OPM 为锐角且抛物线的顶点在菱形
28、的内部可知4a 2、4a4 3，从而可求得 a 的取值范围 （2）DE 与圆 A 相切 理由：如图 1 所示： 27 AE 为圆 A 的半径， 来源:Z_X_X_K AE=EB=2 AD=DB，AE=EB AEDE DE 与圆 A 相切 （3）如图 2 所示 设点 P 的坐标为（2，m） OM 为圆 A 的直径， OEM=90 28 AE=2，OA=2， 点 E 的坐标为（2，2） 10已知一元二次方程的一根为 求 关于 的函数关系式； 求证：抛物线与 轴有两个交点； 设抛物线与 轴交于 、 两点（ 、 不重合） ，且以为直径的圆正好经过该抛物线 的顶点，求 ， 的值 【答案】 （1）； （2
29、）证明见解析； （3）或 【解析】 【分析】 （1）把 x=2直接代入一元二次方程 x2+px+q+1=0中即可得到 q 关于 p 的函数关系式； （2）利用（1）的结论证明抛物线 y=x2+px+q 的判别式是正数就可以了； （3）首先求出方程 x2+px+q+1=0 的两根，然后用 p 表示 AB 的长度，表示抛物线顶点坐标，再利用以 AB 29 为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于 p 的方程，解方程即可求出 p 【详解】 解：由题意得，即； 证明：一元二次方程的判别式， 由得， 一元二次方程有两个不相等的实根， 抛物线与 轴有两个交点； 【点睛】 考查了一元二次方程的解，抛物线
30、与 轴的交点情况与判别式的关系，圆的知识等，综合性比较强，难度较 大. 11如图，在平面直角坐标系中，圆 M 经过原点 O，且与 x 轴、y 轴分别相交于 A（-8，0） ，B（0，-6）两 点 （1）求出直线 AB 的函数解析式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M，顶点 C 在圆 M 上，开口向下，且经过点 B，求此抛物 线的函数解析式； （3）设（2）中的抛物线交 x 轴于 D、E 两点，在抛物线上是否存在点 P，使得 SPDE=SABC？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 30 【答案】 （1）解析式为 y= x6； （2）详见解析（3）详见解析 【
31、解析】 试题分析： （1）利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式； （2）先利用勾股定理计算出 AB=10，再根据圆周角定理得到 AB 为M 的直径，则点 M 为 AB 的中点，M （4，3） ，则可确定 C（4，2） ，然后利用顶点式求出抛物线解析式； （3） 通过解方程 （x+4） 2+2=0 得到 D （6， 0） ， E （2， 0） ， 利用 S ABC=SACM+SBCM， 可求出 SABC=10， 设 P（t， t24t6） ，所以 （2+6）| t24t6|= 20，然后解绝对值方程求出 t 即可得到 P 点坐标 【试题解析】 （1）设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b
32、，把 A（8，0） ，B（0，6）代入得， 解得，所以直线 AB 的解析式为 y= x6； （3）存在 当 y=0 时， （x+4）2+2=0，解得 x1=2，x2=4， D（6，0） ，E（2，0） ， SABC=SACM+SBCM= 8CM=20， 31 【考点】圆的综合题；二次函数；圆周角定理；解一元二次方程 12如图，在平面直角坐标系中， 为原点， 点坐标为， 点坐标为，以为直径的圆 与 轴 的负半轴交于点 （1）求图象经过 ， ， 三点的抛物线的解析式； （2）设 点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由 【答案】 （1）（2）直线与相切，理由见解析 【解析】 【分析】
33、32 （1）已知 A、B 两点的坐标，要求抛物线的解析式，即要求点 C 的坐标，由相似三角形的判定与性质求出 OC 的长度，即可求出点 C的坐标； （2）根据抛物线解析式求出点 M 的坐标，分别求出 MP、CP、CM 的长 度，利用勾股定理逆定理判定CPM为直角三角形，从而得出 PCMC，所以直线 MC 与P 相切. 【详解】 解： （1）连接 AC、BC； 故 C(0，4)， 设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x2)， 代入 C点坐标得：a(0+8)(02)=4，a= ， 故抛物线的解析式为：y= (x+8)(x2)=+ x4； (2)由(1)知：y=+ x4=； 则 M(3，)， 又C
34、(0，4)，P(3，0)， MP=，PC=5，MC= ， 33 MP2=MC2+PC2，即MPC是直角三角形，且PCM=90 ， 故直线 MC 与P 相切 【点睛】 本题主要考查二次函数解析式的求解、直线与圆相切的证明方法以及勾股定理逆定理的应用. 13如图，已知C的圆心在 x 轴上，且经过 (1,0)A、( 3,0)B 两点，抛物线 2 ymxbxc（m0） 经过 A、B 两点，顶点为 P。 （1）求抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标（用 m 的代数式表示） ； （2）当 m 为何值时，直线 PD 与圆 C 相切？ （3）联结 PB、PD、BD，当 m1 时，求BPD 的正切值。 【答案】
35、（1）(0, 3 )m； （2） 3 3 m ； （3）tan3BPD 【解析】 试题分析： （1）把(1,0)A、( 3,0)B 代入抛物线 2 ymxbxc即可得到 c 与 m 的关系，从而求得抛物 线与 y 轴的交点 D 的坐标； （2）根据切线的性质结合函数图象上点的坐标的特征即可求得结果； （3）先把 m=1 代入函数关系式得到点 D、P 的坐标，再根据正切函数的定义即可求得结果. （1）抛物线 2 ymxbxc的图象过点(1,0)A、( 3,0)B C. A B D P O x y 34 039 0 cbm cbm ，解得mc3 抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为(0, 3 )m
36、； （3）如图所示： 当 m1 时， 2 ymxbxc32 2 xx 则 D 的坐标为（0，-3） ，P 点坐标为（1，-4） tan3BPD. 考点：二次函数的综合题 35 点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注 意. 14如图，抛物线cbxxy 2 2 1 与 x 轴的两个交点 A、B，与 y 轴交于点 C，A 点坐标为（4，0） ，C 点坐标（0，4） x y O D C B A （1）求抛物线的解析式； （2）用直尺和圆规作出的外接圆M， （不写作法，保留作图痕迹） ，并求M 的圆心 M 的坐标； 【答案】(1) 4 2 1 2 x
37、xy;(4 分);(2)作图正确 2 分,N(1,-1)(2 分); 【解析】 考点：二次函数的综合题 点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题 的关键 15已知直线 3 4 yxb与抛物线 2 yax交于点 A（1， 1 4 ） ，与y轴交于点 C （1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标； 36 （2）把（1）中的抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移m个单位（m0） ，抛物线与x轴交于 P、Q 两 点，过 C、P、Q 三点的圆恰好以 CQ 为直径，求m的值； （3）如图，把抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移n个单位（n0） ，抛物线与
38、x轴交于 P、Q 两点， 过 C、P、Q 三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说 明理由 【答案】 （1） 2 1 4 yx ，C（0，-1） ； （2）1m； （3）最小值为4， 3 4 n 【解析】 试题分析： （1）把 A（1， 1 4 ）分别代入直线 3 4 yxb与抛物线 2 yax，即可求得结果； （2）先根据平移的特征得到平移后的函数关系式，再根据直径所对的圆周角是直角即可得到结果； （3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴因此过 C、P、Q 三点的圆的圆心 必在对称轴上，要使圆的面积最小，那么圆心到 C 点的距离
39、也要最小，即两点的纵坐标相同，即可得到圆 的半径，求出圆心的坐标可设出平移后的抛物线的解析式，表示出 PQ 的长，如果设对称轴与 x 轴的交点 为 E，那么可表示出 PE 的长，根据勾股定理即可确定平移的距离 （2）设平移后的抛物线函数关系式为mxy 2 )2( 4 1 ， 由题意得，此时抛物线的图象经过原点（0，0） ， 则04 4 1 m，解得1m； 37 考点：本题考查的是二次函数的综合题 点评：解答本题的关键是注意平移不改变二次项的系数；抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移， 只改变顶点的横坐标，左减右加；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减 16已知抛物线的顶点为（0，4）且与
40、 x 轴交于（2，0） ， （2，0） （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图，将抛物线向右平移 k 个单位，设平移后抛物线的顶点为 D，与 x 轴的交点为 A、B，与原抛物 线的交点为 P 当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切于 E 时，求此时 k 的值； 是否存在这样的 k 值，使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上？若存在，求出 k 值；若不存在，请说 明理由 【答案】解： （1）y=x2+4。 （2）如图，连接 CE，CD， 38 存在 k=2 2，能够使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上。理由如下： 设抛物线 y=x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=（xk
41、）2+4，它与 y=x2+4 交于点 P， 由（xk）2+4=x2+4，解得 x1= k 2 ，x2=0（不合题意舍去） 。 当 x= k 2 时，y= 1 4 k2+4。 点 P 的坐标是（ k 2 ， 1 4 k2+4） 。 设直线 OD 的解析式为 y=mx，把 D（k，4）代入，得 mk=4，解得 m= 4 k 。 直线 OD 的解析式为 y= 4 k x。 若点 P（ k 2 ， 1 4 k2+4）在直线 y= 4 k x 上，得 1 4 k2+4= 4 k k 2 ，解得 k=2 2（负值舍去） 。 当 k=2 2时，O、P、D 三点在同一条直线上。 【解析】 试题分析： （1）抛
42、物线的顶点为（0，4） ，可设抛物线解析式为 y=ax2+4。 又抛物线过点（2，0） ，0=4a+4，解得 a=1。抛物线解析式为 y=x2+4。 来源: （2）连接 CE，CD，根据切线的性质得出 CEOD，再解 RtCDE，得出EDC=30 ，然后 RtCDO， 39 得出 OC= 4 3 3 ，则 k=OC= 4 3 3 。 设抛物线 y=x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=（xk）2+4，它与 y=x2+4 交于点 P，先求出 交点 P 的坐标是（ k 2 ， 1 4 k2+4） ，再利用待定系数法求出直线 OD 的解析式为 y= 4 k x，然后将点 P 的坐标 代入
43、y= 4 k x，即可求出 k 的值。 17已知抛物线 y=ax2+bx+c ，当 x=0 时，有最小值为 1 ；且在直线 y=2 上截得的线段长为 4 . （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线的任意一点，记点 P 到 X 轴的距离为 d1，点 P 与点 F （0，2）的距离为 d2，猜想 d1、 d2的大小关系，并证明； （3）若直线 PF 交此抛物线于另一点 Q（异于 P 点） 。 试判断以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说 明理由。 【答案】 （1）求此抛物线的解析式： y= 来源:Zxxk.Com （2）猜想：d1= d2. 设 d 的坐标为（x, 0.25x
44、2+1） d1= = 0.25x2+1 | d1= (3) 以 PQ 为直径的圆与 x 轴相切 设 Q 到 x 轴的距离为 m，到 F 的距离为 n， 根据（2）的结论，有 m=n， 过 PQ 的中点作 x 的垂线，设其长度为 h， 易得 h= （m+d1） ， 40 同时有 PQ=（n+d2）=（m+d1） ， 为 h 的 2 倍， 故以 PQ 为直径的圆与 x 轴相切. 来源:Z,X,X,K 【解析】 （1）由 x=0 时，有最小值为 1 得（0，1）点经过抛物线，由在直线 y=2 上截得的线段长为 4 得出（2，2） 、 （-2，2）点经过抛物线，把这三点代入求出抛物线的解析式； （2）
45、由勾股定理即可 d1=； （3）由（2）的结论，找 PQ 的中点到 x 轴的距离与 PQ 的大小关系，容易证得两者相等；故以 PQ 为直径 的圆与 x 轴相切 18在平面直角坐标系中，直线 3 1 4 yx 交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线 2 1 2 yxbxc 经 过点B，与直线 3 1 4 yx 交于点(4, 2)C （1）求抛物线的解析式； （2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作/ /MEy轴交直线BC于点E，以 ME为直径的圆交直线BC于另一点D当点E在x轴上时，求DEMV的周长； （3）将AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90o，得到 111 AO
46、 B，点,A O B的对应点分别是 111 ,A O B若 111 AO B的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 1 A的坐标 【答案】 （1）抛物线的解析式为：y= 1 2 x2+ 5 4 x+1； （2）DEM 的周长= 64 15 ； （3）点 A1（ 3 4 ， 31 96 ）或（ 7 12 ， 29 288 ） 【解析】 试题分析： （1）利用待定系数法求抛物线的解析式； 41 （2）如图 1，A 与 E 重合，根据直线 y= 3 4 x+1 求得与 x 轴交点坐标可得 OA 的长，由勾股定理得 AB 的 长，利用等角的三角函数得：sinABO= 4 5 OA AB ，cosAB
47、O= 3 5 OB AB ，则可得 DE 和 DM 的长，根据 M 的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即 ME 的长，相加得DEM 的周长； （3）由旋转可知：O1A1x 轴，O1B1y 轴，设点 A1的横坐标为 x，则点 B1的横坐标为 x+1，所以点 O1， A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况： 如图 2，当点 O1，B1同时落在抛物线上时，根据点 O1，B1的纵坐标相等列方程可得结论； 如图 3， 当点 A1， B1同时落在抛物线上时， 根据点 B1的纵坐标比点 A1的纵坐标大 4 3 ， 列方程可得结论 （2）如图 1，直线 y= 3 4 x+1 交 x 轴于点 A， 当 y=0 时， 3 4 x+1=0，x= 4 3 ，A（ 4 3
