1、 专题专题 05 三角函数三角函数 【2021 年】年】 一、 【2021 浙江高考】 已知, 是互不相同的锐角， 则在sincos,sincos ,sin cos三个值中， 大于 1 2 的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得 3 sincossincossincos 2 ，从而可判断三个代数 式不可能均大于 1 2 ，再结合特例可得三式中大于 1 2 个数的最大值. 【详解】法 1：由基本不等式有 22 sincos sincos 2 ， 同理 22 sincos sincos 2 ， 22 sincos
2、sincos 2 ， 故 3 sincossincossincos 2 ， 故sincos,sincos ,sin cos不可能均大于 1 2 . 取 6 ， 3 ， 4 ， 则 116161 sincos,sincos,sincos 424242 ， 故三式中大于 1 2 的个数的最大值为 2， 故选：C. 法 2：不妨设，则coscoscos ,sinsinsin， 由排列不等式可得： sincossincossincossincossincossincos ， 而 13 sincossincossincossinsin2 22 ， 故sincos,sincos ,sin cos不可能均大
3、于 1 2 . 取 6 ， 3 ， 4 ， 则 116161 sincos,sincos,sincos 424242 ， 故三式中大于 1 2 的个数的最大值为 2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注 意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 【2021浙江高考】设函数 sincos (R)f xxx x. （1）求函数 2 2 yfx 的最小正周期； （2）求函数( ) 4 yf x fx 在0, 2 上的最大值. 【答案】 （1）； （2） 2 1 2 . 【解析】 【分析】 （1）由题意结合三角恒等变换可得 1 si
4、n2yx ，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得 2 sin 2 42 yx ，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】 （1）由辅助角公式得( )sincos2sin 4 f xxxx ， 则 22 2 333 2sin2sin1 cos 21 sin2 2442 yfxxxxx ， 所以该函数的最小正周期 2 2 T ; （2）由题意， 2sin2sin2sinsin 444 yf x fxxxxx 2 22 2sinsincos2sin2sin cos 22 xxxxxx 1 cos222222 2sin2sin2cos2sin 2 2222242 x xx
5、xx ， 由0, 2 x 可得 3 2, 444 x ， 所以当2 42 x 即 3 8 x 时，函数取最大值 2 1 2 . 二、【2021江苏高考】下列区间中，函数() = 7( 6)单调递增的区间是( ) A. (0, 2 ) B. ( 2 ,) C. (, 3 2 ) D. (3 2 ,2) 【答案】A 【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质 【解析】解：令 2 + 2 6 2 + 2， 则 3 + 2 2 3 + 2， 当 = 0时， , 3 , 2 3 -， (0, 2) , 3， 2 3 -， 故选：A 本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解 本题考查正弦函数单调性，是简单
6、题 【2021江苏高考】若 = 2，则(1:2) sin:cos = ( ) A. 6 5 B. 2 5 C. 2 5 D. 6 5 【答案】C 【知识点】二倍角公式及其应用、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系 【解析】解：由题意可得：(1:2) sin:cos = (sin2:cos2:2) sin:cos = ( + )2 sin + cos = ( + ) = sin2 + sin2 + cos2 = tan2 + 1 + tan2 = 4;2 1:4 = 2 5 故选：C 由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值 本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函
7、数式的求值等知识，属于中等题 【2020 年】年】 一、【2020北京高考】若函数() = sin( + ) + ，(0 )的最大值为 2，则常数的一个取值 为 【答案】 2 【知识点】辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、由正弦型函数的值域或最值求参 【解析】 【分析】 本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题 由两角和差公式， 及辅助角公式化简得() = cos2 + (1 + )2sin( + )， 其中 = cos2:(1:)2， = 1: cos2:(1:)2，结合题意可得cos 2 + (1 + )2 = 2，解得，即可得出答案 【解答】
8、解：() = sin( + ) + = + + = + (1 + ) = cos2 + (1 + )2sin( + )， 其中 = cos2:(1:)2， = 1: cos2:(1:)2， 所以()最大值为cos2 + (1 + )2= 2， 所以cos2 + (1 + )2= 4， 即2 + 2 = 4，所以 = 1， 所以 = 2 + 2， ， 0 0 (1)()的最小正周期是4，求，并求() = 1 2的解集； (2)已知 = 1，() = 2() + 3()( 2 )， ,0, 4-，求()的值域 【答案】解：(1)由于()的周期是4，所以 = 2 4 = 1 2，所以() = sin
9、 1 2 令sin 1 2 = 1 2，故 1 2 = 2 + 6或2 + 5 6 ， 整理得 = 4 + 3或 = 4 + 5 3 ， 故解集为*| = 4 + 3或 = 4 + 5 3 ， + (2)由于 = 1，所以() = sin 所以() = sin2 + 3sin()sin( 2 ) = 1 cos2 2 3 2 sin2 = 3 2 sin2 1 2cos2 + 1 2 = 1 2 sin(2 + 6 ) 由于 ,0, 4-，所以 6 2 + 6 2 3 ，1 2 sin(2 + 6) 1， 故1 sin(2 + 6) 1 2， 1 2 () 0 所以函数()的值域为, 1 2,
10、0- 【知识点】二倍角正弦公式、求正弦型函数的值域或最值、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、 正弦（型）函数的周期性、降幂公式、三角恒等变换的综合应用 【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 (1)直接利用正弦型函数的性质求出结果 (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质求出函数的值域 【2019 年】年】 一、【2019北京高考（理） 】函数() = sin22的最小正周期是 【答案】 2 【知识点】余弦（型）函数的周期性、降幂公式 【解析】 【分析】 本题考查了三角函数的图象与
11、性质，关键是合理使用二倍角公式，属于基础题 用二倍角公式可得() = 1 2cos4 + 1 2，然后用周期公式求出周期即可 【解答】 解： () = sin22， () = 1 2cos4 + 1 2， ()的周期 = 2， 故答案为 2 【2019北京高考（文） 】如图，A，B是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上 的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为( ) A. 4 + 4 B. 4 + 4 C. 2 + 2 D. 2 + 2 【答案】B 【知识点】二倍角正弦公式、弧长及扇形面积 【解析】 【分析】 本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于
12、中档题 由题意可得 = 2 = 2，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 时，运用扇形面积公 式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值 【解答】 解：设圆心为 O，由题意可得 = 2 = 2， 要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 时， 即有 = 2，Q 到线段 AB 的距离为2 + 2， = 2 2 = 4， 扇形 AOB的面积为1 2 2 4 = 4， 的面积为1 2(2 + 2) 4 = 4 + 4 = 4 + 22， + = = 4 + 22 1 2 2 4 = 4， 即有阴影区域的面积的最大值为4 + 4 故选：B 二、【2019浙江高考】设函数() = ， (1)已知 ,0,2)，
13、函数( + )是偶函数，求的值； (2)求函数 = ,( + 12)- 2 + ,( + 4)- 2的值域 【答案】解：(1)由() = ， 得( + ) = sin( + )， ( + )为偶函数， = 2 + ( )， ,0,2)， = 2或 = 3 2 ， (2) = ,( + 12)- 2 + ,( + 4)- 2 = sin2( + 12)+ sin 2( + 4) = 1 cos(2 + 6) 2 + 1 cos(2 + 2) 2 = 1 1 2 (2 6 2 6 2) = 3 4 2 3 4 2 + 1 = 3 2 sin(2 6) + 1， ， 1 sin(2 6) 1， 1
14、3 2 3 2 sin(2 6) + 1 1 + 3 2 ， 函数 = ,( + 12)- 2 + ,( + 4)- 2的值域为：,1 3 2 ,1 + 3 2 - 【知识点】 正弦型函数的奇偶性、 求正弦型函数的值域或最值、 辅助角公式(三角函数的叠加及应用 （北师） )、 降幂公式 【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档 题 (1)函数( + )是偶函数，则 = 2 + ( )，根据的范围可得结果； (2)化简函数得 = 3 2 sin(2 6) + 1，然后根据 x的范围求值域即可 三、【2019天津高考】已知函数() = ( + )
15、( 0, 0,| 0)，若() ( 4)对任意的实数 x 都成立， 则的最小值为 【答案】2 3 【知识点】由正弦型函数的值域或最值求参 【解析】 【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，考查计算能力，属于中档题 根据题意，可得 4 6 = 2， ，即可得解 【解答】 解：因为() ( 4)对任意的实数 x都成立， 所以在 = 4处函数()取得最大值， 所以 4 6 = 2， ， 解得 = 8 + 2 3， ， 又 0， 所以的最小值为2 3 故答案为2 3 【2018北京高考（文） 】已知函数() = sin2 + 3 ()求()的最小正周期； ()若()在区间, 3 ,-上的最大值为3 2
16、，求 m的最小值 【答案】解：()函数() = sin2 + 3 = 1;2 2 + 3 2 2 = sin(2 6) + 1 2， ()的最小正周期为 = 2 2 = ； ()若()在区间, 3 ,-上的最大值为3 2， 可得2 6 , 5 6 ,2 6-，且当sin(2 6) = 1时，()取得最大值， 即有2 6 2，解得 3， 则 m 的最小值为 3 【知识点】求正弦型函数的值域或最值、正弦（型）函数的周期性、降幂公式 【解析】本题考查三角函数的图象与性质，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算 能力，属于基础题 ()运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式化简函数为
17、() = sin(2 6) + 1 2，利用周期公式即可 得解； ()求得2 6的范围，结合正弦函数的图象可得2 6 2，即可得到所求最小值 二、 【2018 浙江高考】 已知角的顶点与原点 O重合， 始边与 x轴的非负半轴重合， 它的终边过点( 3 5, 4 5). (1)求sin( + )的值； (2)若角满足sin( + ) = 5 13，求的值 【答案】解： (1) 角的顶点与原点 O 重合，始边与 x轴非负半轴重合，终边过点( 3 5, 4 5). = 3 5， = 4 5， = | = ( 3 5) 2+ (4 5) 2 = 1， sin( + ) = = = 4 5； (2)由
18、= 3 5， = 4 5， = | = 1， 得 = 4 5， = 3 5， 又由sin( + ) = 5 13， 得cos( + ) = 1 sin2( + ) = 1 ( 5 13) 2 = 12 13， 则 = cos,( + ) - = cos( + ) + sin( + ) = 12 13 ( 3 5) + 5 13 ( 4 5) = 56 65， 或 = cos,( + ) - = cos( + ) + sin( + ) = 12 13 ( 3 5) + 5 13 ( 4 5) = 16 65 的值为 56 65或 16 65 【知识点】诱导公式、 型、任意角的三角函数的定义、两角
19、和与差的余弦公式 【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦 函数公式，是中档题 (1)由已知条件即可求 r，则sin( + )的值可得； (2)由已知条件即可求，cos( + )，再由 = cos,( + ) - = cos( + ) + sin( + )，代值计算得答案 三、 【2018 天津高考 （理） 】 将函数 = sin(2 + 5)的图象向右平移 10个单位长度， 所得图象对应的函数( ) A. 在区间,3 4 , 5 4 -上单调递增 B. 在区间,3 4 ,-上单调递减 C. 在区间,5 4 , 3 2 -上单调递增 D. 在
20、区间,3 2 ,2-上单调递减 【答案】A 【知识点】判断正弦型函数的单调性或求解单调区间、正弦型函数的图象变换 【解析】 【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数平移等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 将函数 = sin(2 + 5)的图象向右平移 10个单位长度， 得到的函数为： = 2， 增区间为, 4 + , 4 + -， ，减区间为, 4 + , 3 4 + -， ，由此能求出结果 【解答】 解：将函数 = sin(2 + 5)的图象向右平移 10个单位长度， 得到的函数为： = 2， 增区间满足： 2 + 2 2 2 + 2， ， 减区间满足： 2 + 2 2 3
21、 2 + 2， ， 增区间为, 4 + , 4 + -， ， 减区间为, 4 + , 3 4 + -， ， 将函数 = sin(2 + 5)的图象向右平移 10个单位长度， 所得图象对应的函数在区间,3 4 , 5 4 -上单调递增 故选 A 四、【2018上海高考】设常数 ，函数() = 2 + 22. (1)若()为偶函数，求 a的值； (2)若( 4) = 3 + 1，求方程() = 1 2在区间,-上的解 【答案】解：(1) () = 2 + 22， () = 2 + 22， ()为偶函数， () = ()， 2 + 22 = 2 + 22， 22 = 0， = 0； (2) ( 4)
22、 = 3 + 1， 2 + 22( 4) = + 1 = 3 + 1， = 3， () = 32 + 22 = 32 + 2 + 1 = 2(2 + 6) + 1， () = 1 2， 2(2 + 6) + 1 = 1 2， sin(2 + 6) = 2 2 ， 2 + 6 = 4 + 2，或2 + 6 = 5 4 + 2， ， = 5 24 + ，或 = 13 24 + ， ， ,-， = 13 24 或 = 19 24 或 = 5 24或 = 11 24 【知识点】二倍角公式及其应用、两角和与差的三角函数公式、正弦、余弦函数的图象与性质 【解析】本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的图象与
23、性质，函数的奇偶性，属于基础题 (1)根据函数的奇偶性求解即可 (2)先求出 a的值，再根据三角函数的性质即可求出 【2017 年】年】 一、【2017北京高考（理） 】在平面直角坐标系 xOy中，角与角均以 Ox为始边，它们的终边关于 y轴 对称，若 = 1 3，则cos( ) = 【答案】 7 9 【知识点】任意角的三角函数的定义、两角和与差的余弦公式 【解析】 【分析】 本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，属于基础题 根据角的对称得到 = = 1 3， = ，利用两角差的余弦公式即可求出 【解答】 解：角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称， = = 1
24、3， = ， cos( ) = + = cos2 + sin2 = 22 1 = 2 9 1 = 7 9， 故答案为： 7 9 【2017北京高考（文） 】在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称， 若 = 1 3，则 = 【答案】1 3 【知识点】诱导公式、 型、终边相同的角 【解析】 【分析】 本题考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 推导出 + = + 2， ，从而 = sin( + 2 ) = ，由此能求出结果 【解答】 解：在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称， + =
25、+ 2， ， = 1 3， = sin( + 2 ) = = 1 3 故答案为：1 3 【2017北京高考（文） 】已知函数() = 3cos(2 3) 2 ()求()的最小正周期； ()求证：当 , 4 , 4-时，() 1 2 【答案】解：()() = 3cos(2 3) 2， = 3(1 22 + 3 2 2) 2， = 3 2 2 + 1 22， = sin(2 + 3 )， ()的最小正周期 = 2 2 = ， ()的最小正周期为， () , 4 , 4 -， 2 + 3 , 6 , 5 6 -， 1 2 sin(2 + 3) 1， () 1 2 【知识点】二倍角正弦公式、求正弦型函
26、数的值域或最值、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、 正弦（型）函数的周期性、两角和与差的余弦公式 【解析】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于中档题 ()根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出() = sin(2 + 3)，根据周期的定义即可求出， ()根据正弦函数的图象和性质即可证明 二、【2017浙江高考】已知函数() = sin2 cos2 23( ). ()求(2 3 )的值 ()求()的最小正周期及单调递增区间 【答案】解： () = sin2 cos2 23 = 32 2 = 2(2 + 7 6 )， ()(2 3 ) = 2(2 2
27、3 + 7 6 ) = 2 5 2 = 2， () = 2，故 = ， 即()的最小正周期为， 由2 + 7 6 , 2 + 2, 2 + 2-， 得： , 5 6 + , 3 + -， ， 故()的单调递增区间为, 5 6 + , 3 + -， 或写成, + 6 , + 2 3 -， 【知识点】二倍角正弦公式、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、正弦（型）函数的周期性、判 断正弦型函数的单调性或求解单调区间、二倍角余弦公式 【解析】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，从 而求三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档 ()代入可得(2
28、 3 )的值; ()根据三角函数的图象和性质，可得()的最小正周期及单调递增区间 三、 【2017 天津高考 （理） 】 设函数() = 2( + )， ， 其中 0， | 2， 又(5 8 ) = 2，(11 8 ) = 0，得 4 = 11 8 5 8 = 3 4 ， = 3，则2 = 3，即 = 2 3 () = 2( + ) = 2(2 3 + )， 由(5 8 ) = 2(2 3 5 8 + ) = 2，得sin( + 5 12) = 1 + 5 12 = 2 + 2， | ，取 = 0，得 = 12 = 2 3， = 12 故选：A 四、 【2017上海高考】设1，2 ，且 1 2
29、:sin1 + 1 2:22 = 2，则|10 1 2|的最小值等于_ 【答案】 4 【知识点】三角函数的化简求值和证明、三角函数的定义域和值域 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数性质，属于基本知识的考查 由题意， 要使 1 2:sin1 + 1 2:22 = 2， 可得1= 1， 22= 1.求出1和2， 即可求出|10 1 2|的 最小值 【解答】 解：根据三角函数的性质，可知1，22的范围在,1,1-， 要使 1 2:sin1 + 1 2:22 = 2， 1= 1，22= 1 则：1= 2 + 21 ， 1 22= 2 + 22，即2= 4 + 2 ， 2 那么：1+ 2= (21+ 2) 3 4 ，1、2 |10 1 2| = |10 + 3 4 (21+ 2)| 当21+ 2= 11时，有最小值为 4 故答案为 4
