1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 05 05 黄金分割冷门问题灵活练黄金分割冷门问题灵活练( (共共 1414 道小道小题题) ) 1.1.（20202020 甘肃威武）甘肃威武）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全 身b的高度比值接近 0618，可以增加视觉美感，若图中b为 2 米，则a约为（ ） A. 124 米 B. 138 米 C. 142 米 D. 162 米 【答案】A 【解析】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基
2、础题 根据a:b0.618，且b=2 即可求解 由题意可知，a:b0.618，代入b=2， a20.618=1.2361.24 2.如图，扇子的圆心角为 x，余下扇形的圆心角为 y，x 与 y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子 外形比较美观，若黄金比取 0.6，则 x 为（ ）. A. 144 B. 135 C. 136 D. 108 【答案】B. 【解析】由扇子的圆心角为 x，余下扇形的圆心角为 y，黄金比为 0.6， 根据题意得：x：y=0.6=3：5， 又x+y=360， 则 x=360=135 3.3.（20212021 北京模拟）北京模拟）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时
3、，提出了分线段的“中末比”问题： 点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即 满足 = = 51 2 ，后人把51 2 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点如 图， 在ABC中， 已知ABAC3，BC4， 若D，E是边BC的两个“黄金分割”点， 则ADE的面积为 （ ） A1045 B35 5 C525 2 D2085 【解答】A 【解析】作AHBC于H，如图， ABAC， BHCH= 1 2BC2， 在 RtABH中，AH= 32 22= 5， D，E是边BC的两个“黄金分割”点， BE= 51 2 BC2（5
4、 1）25 2， HEBEBH25 2225 4， DE2HE45 8 SADE= 1 2 （45 8） 5 =1045 4.4.（20212021 黑龙江龙东模拟）黑龙江龙东模拟）黄金分割数51 2 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面， 请你估算 2（5 1）的值（ ） A在 1 和 2 之间 B在 2 和 3 之间 C在 3 和 4 之间 D在 4 和 5 之间 【解答】B 【解析】459， 又2（5 1）25 2， 4255， 225 23， 2（5 1）的值在 2 和 3 之间。 5.5.（20212021 广东深圳模拟广东深圳模拟）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝
5、，前者好比黄金，后者堪称珠玉生活中到 处可见黄金分割的美 在设计人体雕像时， 使雕像的下部 （腰以下） 与全部 （全身） 的高度比值接近 0.618， 可以增加视觉美感如果雕像的高为 2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数） （ ） A1.23m B1.24m C1.25m D1.236m 【答案】B 【解析】雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近 0.618， 雕像的下部（腰以下）的长0.61821.24（m） 6 6. . （20212021 苏州模拟）苏州模拟） 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 0.618，称为黄金比例） ，如图，
6、著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐 的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为 26cm，则其身高可 能是（ ） A165cm B178cm C185cm D190cm 【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm，则 0.618， 解得x42.072， 设某人的肚脐至足底的长度为ycm，则 0.618， 解得y110.149， 其身高可能是 110.1490.618178（cm） 。 7.7.（20212021 山西模拟）山西模拟）点C是AB的黄金分割点，AB4，则线段AC的长为 【解答】22 或 62 【解析】当ACBC时，
7、点C是线段AB的黄金分割点， ACAB22； 当ACBC时， 点C是线段AB的黄金分割点， BCAB22， ACABBC62； 综上所述，线段AC的长为 22 或 62； 故答案为 22 或 62 8 8 （20212021 云南模拟）云南模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51 2 （51 2 0.618，称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长 度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为 27cm，则 其身高大约是 cm （结果保留整数） 【解答】185 【解析】设
8、咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm， 由题意得，27 0.618， 解得，x43.7， 人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.770.7， 70.7 0.618， 解得，y114.4， 其身高114.4+70.7185（cm） ， 故答案为 185 9 9（20212021 山东青岛模拟）山东青岛模拟） 如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点， 且CD1， 则线段AB的长为 【解答】2+5 【解析】线段ABx，点C是AB黄金分割点， 较小线段ADBC= 35 2 ， 则CDABADBCx2 35 2 =1， 解得：x2+5 1 10 0. .(2021(2021 河南模拟河南模
9、拟) )如图所示，矩形 ABCD 是黄金矩形（即0.618） ，如果在其内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE，试问矩形 ABFE 是否也是黄金矩形？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形 （2）要说明 ABFE 是不是黄金矩形只要证明即可 矩形 ABFE 是黄金矩形 理由如下：因为 所以矩形 ABFE 也是黄金矩形 BC AB 2 15 2 15 AB AE 2 15 AB AE AB ED AB AD AB EDAD 2 15 1 2 15 1 ) 15)(15( ) 15(2 1 15 2 1 11 1. .（20212021 天津模拟天
10、津模拟）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价 值如图 1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：ABBC：AC，那么称 点C为线段AB的黄金分割点如图 2，ABC中，ABAC1，A36，BD平分 ABC交AC于点D （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长 【解析】 （1）证明：ABAC1， ABCC（180A）（18036）72， BD平分ABC交AC于点D， ABDCBDABC36， BDC180367272， DADB，BDBC， ADBDBC， 易得BDCABC， BC：ACCD：BC，即BC 2CDAC， AD 2CDAC，
11、 点D是线段AC的黄金分割点； （2）解：设ADx，则CDACAD1x， AD 2CDAC， x 21x，解得 x1，x2， 即AD的长为 1212. .（20212021 山东潍坊模拟山东潍坊模拟）两千多年前，古希数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前 400 年一公元前 347 年）发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度 与全长之比，即，则点P叫做线段AB的黄金分割点如图，在ABC中，点D是线段AC的黄金分 割点，且ADCD，ABCD （1）求证：ABCADB； （2）若BC4cm，求BD的长 【解析】 （1）证明：点D是线段AC
12、的黄金分割点，且ADCD， AD：CDCD：AC， ABCD， AD：ABAB：AC， 而DABBAC， ABDACB， ADBABC； （2）ABDACB， ， 而ABCD， ， 点D是线段AC的黄金分割点，且ADCD， CDAC， ， BD（22）cm 13.13.（20212021 湖南岳阳模拟）湖南岳阳模拟）以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长 线上取点 F，使 PFPD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上，如图所示， （1）求 AM，DM 的长， （2）试说明 AM 2=ADDM （3）根据（2）的结
13、论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）正方形 ABCD 的边长是 2，P 是 AB 中点， ADAB2，AP1，BAD90， PD 。 PFPD， AF ，在正方形 ABCD 中，AMAF，MDADAM3 （2）由（1）得 ADDM2（3）62， AM 2=ADDM （3）如图中的 M 点是线段 AD 的黄金分割点 1414（20212021湖北黄石模拟）湖北黄石模拟）（1 1） 对于实数） 对于实数a、b， 定义运算， 定义运算“”如下：如下： 2 abab 若 若(1)(2)8xx， 求求: : 2 (2)(23 )xxx的值；的值； （2 2）已知点）已知点
14、C C是线段是线段ABAB的黄金分割点（的黄金分割点（ACACBCBC） ，若） ，若ABAB4 4，求，求ACAC的长的长 【答案】 （1）1;（2）62 5. 【解析】（1） 先根据新定义及(1)(2)8xx得到代数式 x 2+x=5， 再化简2 (2)(23 )xxx， 把 x 2+x=5 整体代入即可求解.(2)根据黄金比值是 51 2 计算即可 【详解】 （1）(1)(2)8xx 即 2 (1)(2)8xx 化简得 x 2+x=5 2 (2)(23 )xxx= 22 (2)(23 )xxx-x 2-x+4=-5+4=-1 （2）点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC， BC 51 2 AB=2(51)cm, 则 AC42（51）62 5. 5 22 ADAP 15 15 5 55 526) 15( 22 AM
