1、 专题专题 09 数列数列 【2021 年】年】 一、【2021浙江高考】已知数列 n a满足 11 1,N 1 n n n a aan a .记数列 n a的前 n 项和为 n S， 则（ ） A. 100 3 3 2 S B. 100 34S C. 100 9 4 2 S D. 100 9 5 2 S 【答案】A 【解析】 【分析】显然可知， 100 1 2 S，利用倒数法得到 2 1 111111 24 nn nn aaaa ，再放缩可得 1 111 2 nn aa ，由累加法可得 2 4 (1) n a n ，进而由1 1 n n n a a a 局部放缩可得 1 1 3 n n an
2、 an ，然后 利用累乘法求得 6 (1)(2) n a nn ，最后根据裂项相消法即可得到 100 3S，从而得解 【详解】因为11 1,N 1 n n n a aan a ，所以0 n a ， 100 1 2 S 由 2 1 1 111111 241 n n nn nnn a a aaaaa 2 1 1 111111 22 n nnn aaaa ，即 1 111 2 nn aa 根据累加法可得， 111 1 22 n nn a ，当且仅当1n 时取等号， 1 2 41 2 (1)31 1 1 nn nnn n aan aaa nna n 1 1 3 n n an an ， 由累乘法可得 6
3、 (1)(2) n a nn ，当且仅当1n 时取等号， 由裂项求和法得： 所以 100 1111111111 663 2334451011022102 S ，即 100 3 2 1 S 故选：A 【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 1 , nn aa 的不等关系，再由累加法可求得 2 4 (1) n a n ，由 题目条件可知要证 100 S小于某数，从而通过局部放缩得到 1 , nn a a 的不等关系，改变不等式的方向得到 6 (1)(2) n a nn ，最后由裂项相消法求得 100 3S 【2021浙江高考】已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 9 4 a ，且 1 4
4、39 nn SS . （1）求数列 n a的通项； （2）设数列 n b满足 * 3(4)0() nn bnanN，记 n b的前 n 项和为 n T，若 nn Tb对任意 Nn 恒 成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1） 3 3 ( ) 4 n n a ； （2）31 . 【解析】 【分析】 （1）由 1 439 nn SS ，结合 n S与 n a的关系，分1,2nn讨论，得到数列 n a为等比数列， 即可得出结论； （2）由3(4)0 nn bna结合(1)的结论，利用错位相减法求出 n T， nn Tb对任意 Nn 恒成立，分 类讨论分离参数，转化为与关于n的函数的范围关系，即可求
5、解. 【详解】 （1）当1n 时， 121 4()39aaa， 22 92727 49, 4416 aa ， 当2n时，由 1 439 nn SS ， 得 1 439 nn SS ，得 1 43 nn aa 1 2 273 0,0, 164 n n n a aa a ， 又 2 1 3 , 4 n a a a 是首项为 9 4 ，公比为 3 4 的等比数列， 1 933 ( )3 ( ) 444 nn n a ； （2）由3(4)0 nn bna，得 43 (4)( ) 34 n nn n ban ， 所以 234 33333 3210(4) 44444 n n Tn ， 2413 33333
6、3 321(5)(4) 444444 nn n Tnn ， 两式相减得 2341 1333333 3(4) 4444444 nn n Tn 1 1 93 1 164 93 (4) 3 44 1 4 n n n 111 99333 4(4) 44444 nnn nn ， 所以 1 3 4( ) 4 n n Tn ， 由 nn Tb得 1 33 4( )(4) ( ) 44 nn nn 恒成立， 即(4)30nn恒成立， 4n时不等式恒成立； 4n时， 312 3 44 n nn ，得1； 4n时， 312 3 44 n nn ，得3； 所以31 . 【点睛】易错点点睛： （1）已知 n S求 n
7、 a不要忽略1n 情况； （2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负 零讨论，如（2）中(4)30nn恒成立，要对40,40,40nnn讨论，还要注意40n 时，分离参数不等式要变号. 二、 【2021江苏高考】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规 格为20 12的长方形纸，对折 1次共可以得到10 12，20 6两种规格的图形，它们 的面积之和1= 2402， 对折 2次共可以得到5 12， 10 6， 20 3三种规格的图形， 它们的面积之和2= 1802，以此类推.则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_ ；如果对折 n 次，那么 1 = _ 2
8、 【答案】5 240(3 :3 2 ) 【知识点】数列求和方法 【解析】解：易知有20 3 4,10 3 2,5 3, 5 2 6， 5 4 12，共 5种规格； 由题可知，对折 k次共有 + 1种规格，且面积为240 2 ，故= 240(:1) 2 ， 则 1 = 240 :1 2 1 ，记= :1 2 1 ，则1 2 = :1 2:1 1 ， 1 2 = :1 2 1 :1 2:1 1 = 1 + ( :2 2:1 ;1 1 :2 2:1 1 ) :1 2:1 = 1 + 1 4(1; 1 2;1) 1;1 2 :1 2:1 = 3 2 :3 2:1， = 3 :3 2 ， 1 = 240
9、(3 :3 2 ) 故答案为：5；240(3 :3 2 ) 依题意，对折 k 次共有 + 1种规格，且面积为240 2 ，则= 240(:1) 2 ， 1 = 240 :1 2 1 ，然后再转化 求解即可 本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题 【2021江苏高考】已知数列*+满足1= 1，:1= + 1,为奇数, + 2,为偶数. (1)记= 2，写出1，2，并求数列*+的通项公式； (2)求*+的前 20 项和 【答案】解：(1)因为1= 1，:1= + 1,为奇数 + 2,为偶数， 所以2= 1+ 1 = 2，3= 2+ 2 = 4，4
10、= 3+ 1 = 5， 所以1= 2= 2，2= 4= 5， ;1= 2 2;2= 2 2;1+ 2;1 2;2= 1 + 2 = 3， 所以数列*+是以1= 2为首项，以 3 为公差的等差数列， 所以= 2 + 3( 1) = 3 1 (2)由(1)可得2= 3 1， ， 则2;1= 2;2+ 2 = 3( 1) 1 + 2 = 3 2， 2， 当 = 1时，1= 1也适合上式， 所以2;1= 3 2， ， 所以数列*+的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则*+的前20项和为1+ 2+.+20= (1+ 3+ + 19) + (2+ 4+ + 20) = 10 + 109 2 3 + 10 2
11、 + 109 2 3 = 300 【知识点】数列的递推关系、数列求和方法 【解析】 (1)由数列*+的通项公式可求得2， 4， 从而可得求得1， 2， 由 ;1= 3可得数列*+是 等差数列，从而可求得数列*+的通项公式； (2)由数列*+的通项公式可得数列*+的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可 本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题 【2020 年】年】 一、 【2020 北京高考】 在等差数列*+中， 1= 9， 5= 1.记= 12( = 1,2， )， 则数列*+( ) A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D.
12、 无最大项，无最小项 【答案】B 【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的性质、数列的函数特征 【解析】 【分析】 本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题 由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列*+是单调递增数列，且前 5项为负值，自第 6 项开始为正 值，进一步分析得答案 【解答】 解：设等差数列*+的首项为 d，由1= 9，5= 1，得 = 5;1 5;1 = ;1;(;9) 4 = 2， = 9 + 2( 1) = 2 11 由= 2 11 = 0，得 = 11 2 ，而 ， 可知数列*+是单调递增数列，且前 5项为负值，自第 6 项开
13、始为正值 可知1= 9 0，3= 315 0为最大项， 自5起均小于 0，且逐渐减小 数列*+有最大项，无最小项 故选：B 【2020北京高考】已知*+是无穷数列给出两个性质： 对于*+中任意两项 ， ( )，在*+中都存在一项，使得 2 = ； 对于*+中任意一项( 3)，在*+中都存在两项，( )，使得 = 2 ()若= ( = 1,2，)，判断数列*+是否满足性质，说明理由； ()若= 2;1( = 1,2，)，判断数列*+是否同时满足性质和性质，说明理由； ()若*+是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：*+为等比数列 【答案】解：()不满足，理由：3 2 2 = 9 2 ，不存在一
14、项使得3 2 2 = ()数列*+同时满足性质和性质， 理由： 对于任意的i和j， 满足 2 = 22;1， 因为 ， 且 ， 所以2 ， 则必存在 = 2 ， 此时，2;1 *+且满足 2 = 22;1= ，性质成立， 对于任意的 n，欲满足= 2;1= 2 = 22;1，满足 = 2 即可，因为 ， ，且 ， 所以2 可表示所有正整数，所以必有一组 k，l使 = 2 ，即满足= 2 ，性质成立 ()首先，先证明数列恒正或恒负， 反证法：假设这个递增数列先负后正， 那么必有一项绝对值最小或者有与:1同时取得绝对值最小， 如仅有一项绝对值最小，此时必有一项= 2 ，此时| | 与前提矛盾， 如
15、有两项与:1 同时取得绝对值最小值，那么必有= 2 :1， 此时| ， 即3 ，所以2 2 1 = 3，此时1，2，3成等比数列， 数学归纳法： (1)已证 = 3时，满足*+是等比数列，公比 = 2 1， (2)假设 = 时，也满足*+是等比数列，公比 = 2 1， 那么由知 2 ;1 = 等于数列的某一项，证明这一项为:1即可， 反证法： 假设这一项不是:1，因为是递增数列，所以该项= 2 ;1 = :1， 那么 :1 ，由等比数列*+得1;1 :1 1， 由性质得1;1 2 ，所以 + 1 ， 所以，分别是等比数列*+中两项，即= 1;1，= 1;1， 原式变为1;1 12;1 1， 所
16、以 1 2 1 0，且1+ 2= 63，求 q 的值及数列*+的通项公式； (2)若*+为等差数列，公差 0，证明：1+ 2+ 3+ + 1 + 1 ， 【答案】(1)解：由题意，2= ，3= 2， 1+ 2= 63， 1 + = 62， 整理，得62 1 = 0， 解得 = 1 3(舍去)，或 = 1 2， :1= :2 = 1 :2 = 1 2 = 1 (1 2) 2 = 4 ， 数列*+是以 1 为首项，4为公比的等比数列， = 1 4;1= 4;1， :1 = :1= 4， 则1= 1， 2 1= 41， 3 2= 42， ;1= 4;1， 各项相加，可得 = 1 + 41+ 42+
17、+ 4;1= 1;4 1;4 = 4;1 3 (2)证明：依题意，由:1= :2 ( )，可得 :2 :1= ， 两边同时乘以:1，可得 :1:2:1= :1， 121= 2= 1 + ， 数列*:1+是一个常数列，且此常数为1 + ， :1= 1 + ， = 1: :1 = 1: :1 = (1 + 1 ) :1; :1 = (1 + 1 )( 1 1 :1 )， 1+ 2+ + = (1 + 1 )( 1 1 1 2) + (1 + 1 )( 1 2 1 3) + + (1 + 1 )( 1 1 :1) = (1 + 1 )( 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 :1) =
18、 (1 + 1 )( 1 1 1 :1) = (1 + 1 )(1 1 :1) 1 + 1 ， 1+ 2+ + 1 + 1 ，故得证 【知识点】数列的递推关系、数列求和方法、裂项相消法、等比数列的通项公式 【解析】本题主要考查数列求通项公式，等差数列和等比数列的基本量的运算，以及和式不等式的证明问 题考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，累加法求通项公式，裂项相消法求和，放缩法证明不 等式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属于综合题 (1)先根据等比数列的通项公式将2= ，3= 2代入1+ 2= 63，计算出公比 q 的值，然后根据等比数 列的定义化简:1= :2 可得:1= 4，则可发现
19、数列*+是以 1 为首项，4为公比的等比数列，从而 可得数列*+的通项公式，然后将通项公式代入:1= :1 ，可得:1 = :1= 4，再根据此 递推公式的特点运用累加法可计算出数列*+的通项公式； (2)通过将已知关系式:1= :2 不断进行转化可构造出数列*:1+，且可得到数列*:1+是一 个常数列，且此常数为1 + ，从而可得:1= 1 + ，再计算得到= 1: :1，根据等差数列的特点进 行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立 三、 【2020 天津高考】 已知*+为等差数列， *+为等比数列， 1= 1= 1， 5= 5(4 3)， 5= 4(4 3). ()
20、求*+和*+的通项公式； ()记*+的前 n 项和为，求证：:2 :1 2 ( )； ()对任意的正整数 n，设= (3;2) :2 ,为奇数, ;1 :1 ,为偶数 求数列*+的前 2n 项和 【答案】解：()设等差数列*+的公差为 d，等比数列*+的公比为 q， 由1= 1，5= 5(4 3)，则1 + 4 = 5，可得 = 1， = 1 + 1 = ， 1= 1，5= 4(4 3)， 4= 4(3 2)， 解得 = 2， = 2;1； 证明()由()可得= (:1) 2 ， :2= 1 4( + 1)( + 2)( + 3)，(:1) 2 = 1 4( + 1) 2( + 2)2， :2
21、 :1 2 = 1 2( + 1)( + 2) 0， :2 :1 2 ( )； 解：()，当 n为奇数时，= (3;2) :2 = (3;2)2;1 (:2) = 2:1 :2 2;1 ， 当 n为偶数时，= ;1 :1 = ;1 2 ， 对任意的正整数 n，有2;1 1 = ( 1 22 2:1 22;2 2;1) = 22 2:1 1， 和 2 1 = 2;1 4 1 = 1 4 + 3 42 + 5 43 + + 2;1 4 ， 由 1 4可得 1 4 2 1 = 1 42 + 3 43 + + 2;3 4 + 2;1 4:1， 得3 4 2 1 = 1 4 + 2 42 + 2 43
22、+ + 2 4 1 4- 2;1 4:1， 2 1 = 5 9 6:5 94， 因此2 2 1 = 2;1 1 + 2 1 = 4 2:1 6:5 94 4 9 数列*+的前 2n项和 4 2:1 6:5 94 4 9 【知识点】错位相减法、等差数列的通项公式、数列求和方法、等比数列的通项公式 【解析】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求 和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题 ()分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； ()根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； ()分类讨论，再
23、根据错位相减法即可求出前 2n 项和 四、【2020上海高考】计算：lim :1 3;1 = 【答案】1 3 【知识点】极限思想 【解析】 【分析】 本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题 由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值 【解答】 解：， 故答案为：1 3 【2020 上海高考】 已知数列*+是公差不为零的等差数列， 且1+ 10= 9， 则 1:2:9 10 = 【答案】27 8 【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的求和 【解析】 【分析】 本题考查等差数列的前 n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析1与 d的关系，属于基础题 根
24、据等差数列的通项公式可由1+ 10= 9，得1= ，在利用等差数列前 n 项和公式化简 1:2:9 10 即 可得出结论 【解答】 解：根据题意，等差数列*+满足1+ 10= 9，即1+ 1+ 9 = 1+ 8，变形可得1= ， 所以1:2:9 10 = 91:98 2 1:9 = 91:36 1:9 = ;9:36 ;:9 = 27 8 故答案为：27 8 【2020上海高考】已知数列*+为有限数列，满足|1 2| |1 3| |1 |，则称*+满足 性质 P (1)判断数列 3、2、5、1和 4、3、2、5、1是否具有性质 P，请说明理由； (2)若1= 1，公比为 q的等比数列，项数为
25、10，具有性质 P，求 q 的取值范围； (3)若*+是 1， 2， 3， ， m 的一个排列( 4)， *+符合= :1( = 1,2， ， 1)， *+、 *+都具有 性质 P，求所有满足条件的数列*+ 【答案】解：(1)对于数列 3，2，5，1，有|2 3| = 1，|5 3| = 2，|1 3| = 2，满足题意，该数列满足 性质 P； 对于第二个数列 4、3、2、5、1，|3 4| = 1，|2 4| = 2，|5 4| = 1.不满足题意，该数列不满足性质 P (2)由题意：|1 1| |1 1;1|，可得：| 1| |;1 1|， *2,3，9+， 两边平方可得：2 2+ 1 2
26、;2 2;1+ 1， 整理可得：( 1);1,;1( + 1) 2- 0，当 1时，得;1( + 1) 2 0此时关于 n恒成立， 所以等价于 = 2时，( + 1) 2 0， 所以，( + 2)( 1) 0，所以 2，或 1，所以取 1， 当0 1时，得;1( + 1) 2 0，此时关于 n恒成立，所以等价于 = 2时，( + 1) 2 0， 所以( + 2)( 1) 0，所以2 1，所以取0 1 当1 0时：;1,;1( + 1) 2- 0， 当 n为奇数时，得;1( + 1) 2 0，恒成立，当 n为偶数时，;1( + 1) 2 0，不恒成立； 故当1 0时，矛盾，舍去 当 1时，得;1
27、,;1( + 1) 2- 0，当 n 为奇数时，得;1( + 1) 2 0，恒成立， 当 n为偶数时，;1( + 1) 2 0，恒成立；故等价于 = 2时，( + 1) 2 0， 所以( + 2)( 1) 0，所以 2或 1，所以取 2， 综上 (3)设1= ， *3,4， 3， 2+， 因为1= ，2可以取 1，或 + 1，3可以取 2，或 + 2， 如果2或3取了 3或 + 3，将使*+不满足性质 P；所以*+的前 5项有以下组合： 1= ，2= 1；3= + 1；4= 2；5= + 2； 1= ，2= 1；3= + 1；4= + 2；5= 2； 1= ，2= + 1；3= 1；4= 2；
28、5= + 2； 1= ，2= + 1；3= 1；4= + 2；5= 2； 对于，1= 1，|2 1| = 2，|3 1| = 1，与*+满足性质 P 矛盾，舍去； 对于，1= 1，|2 1| = 2，|3 1| = 3，|4 1| = 2与*+满足性质 P 矛盾，舍去； 对于，1= + 1，|2 1| = 2，|3 1| = 3，|4 1| = 1与*+满足性质 P 矛盾，舍去； 对于1= + 1，|2 1| = 2，|3 1| = 1，与*+满足性质 P矛盾，舍去； 所以 *3,4， 3， 2+，均不能同时使*+、*+都具有性质 P 当 = 1时，有数列*+:1，2，3， 1，m 满足题意
29、当 = 时，有数列*+:， 1，3，2，1满足题意 当 = 2时，有数列*+:2，1，3， 1，m 满足题意 当 = 1时，有数列*+: 1，m， 2， 3，3，2，1 满足题意 所以满足题意的数列*+只有以上四种 【知识点】等差数列与等比数列的综合应用、等比数列的通项公式 【解析】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应 用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答 (1)根据定义，验证两个数列 3、2、5、1和 4、3、2、5、1是否具有性质 P即可； (2)假设公比 q 的等比数列满足性质 P，可得：|1 1
30、| |1 1;1|，推出( 1);1,;1( + 1) 2- 0，通过 1，0 1时，1 0时： 1时，四种情况讨论求解即可 (3)设1= ，分 = 1时，当 = 时，当 = 2时，当 = 1时，以及 *3,4， 3， 2+， 五种情况讨论，判断数列*+的可能情况，分别推出*+判断是否满足性质 P 即可 【2019 年】年】 一、【2019 北京高考 （理） 】 设等差数列*+的前 n项和为， 若2= 3， 5= 10， 则5= (1) ， 的最小值 为 (2) 【答案】0 10 【知识点】等差数列的通项公式、数列的函数特征、等差数列的求和 【解析】 【分析】 本题考查等差数列的性质，考查等差
31、数列的前 n项和的最小值的求法，属于基础题 利用等差数列*+的前 n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出1= 4， = 1，由此能求出5的的最 小值 【解答】 解：设等差数列*+的前 n项和为，2= 3，5= 10， 1+ = 3 51+ 5 4 2 = 10 , 解得1= 4， = 1， 5= 1+ 4 = 4 + 4 1 = 0， = 1+ (;1) 2 = 4 + (;1) 2 = 1 2( 9 2) 2 81 8 ， = 4或 = 5时，取最小值为4= 5= 10 故答案为 0，10 【2019北京高考（理） 】已知数列*+，从中选取第1项、第2项、第项(1 2 )，若 1 2 ，则
32、称新数列1 ， 2，为*+的长度为 m 的递增子列规定：数列*+的任意 一项都是*+的长度为 1 的递增子列 ()写出数列 1，8，3，7，5，6，9的一个长度为 4 的递增子列； ()已知数列*+的长度为 p的递增子列的末项的最小值为0， 长度为 q 的递增子列的末项的最小值为0. 若 ，求证：0该数列的第 p项 0， 0该数列的第p项 0， 即可证明结论 ()考虑2 1与 2s 这一组数在数列中的位置，可得 2s 必在2 1之前继续考虑末项为2 + 1的长度为 + 1的递增子列，即可得出：递增子列最多有2个由题意，这 s 组数列对全部存在于原数列中，并且全 在2 + 1之前可得 2，1，4
33、，3，6，5，是唯一构造 【2019北京高考（文） 】设*+是等差数列，1= 10，且2+ 10，3+ 8，4+ 6成等比数列 ()求*+的通项公式； ()记*+的前 n 项和为，求的最小值 【答案】解：() *+是等差数列，1= 10，且2+ 10，3+ 8，4+ 6成等比数列 (3+ 8)2= (2+ 10)(4+ 6)， (2 + 2)2= (4 + 3)， 解得 = 2， = 1+ ( 1) = 10 + 2 2 = 2 12 ()由1= 10， = 2，得： = 10 + (;1) 2 2 = 2 11 = ( 11 2 )2 121 4 ， = 5或 = 6时，取最小值30 【知识
34、点】等差数列的通项公式、等比数列的性质、等差数列的概念、等差数列的求和 【解析】本题考查数列的通项公式、前 n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知 识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 ()利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出 = 2，由此能求出*+的通项公式； ()由1= 10， = 2， 得= 10 + (;1) 2 2 = 2 11 = ( 11 2 )2 121 4 ， 由此能求出的最小值 二、 【2019浙江高考】设 a， ，数列*+满足1= ，:1= 2 + ， ，则( ) A. 当 = 1 2时，10 10 B. 当 = 1 4时，10 10
35、 C. 当时，10 10 D. 当时，10 10 【答案】A 【知识点】数列的递推关系、数列的函数特征 【解析】 【分析】 本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，属于 难题逐项检验，可得结果 【解答】 解：对于 B，令2 + 1 4 = 0，得 = 1 2， 取1= 1 2， 2 = 1 2, = 1 2 10， 当 = 1 4时，10 10，故 B 错误； 对于 C，令2 2 = 0，得 = 2或 = 1， 取1= 2， 2= 2，= 2 10， 当 = 2时，10 10，故 C 错误； 对于 D，令2 4 = 0，得 = 117 2 ， 取
36、 1= 1:17 2 ， 2= 1:17 2 ，= 1:17 2 10， 当 = 4时，10 1， :1 0，*+递增， 当 4时，:1 = + 1 2 1 + 1 2 = 3 2， 5 4 3 2 6 5 3 2 10 9 3 2 , 10 4 (3 2) 6, 10 729 64 10.故 A 正确 故选：A 【2019 浙江高考】 设等差数列*+的前 n 项和为， 3= 4， 4= 3.数列*+满足： 对每个 ， + ， :1+ ，:2+ 成等比数列 ()求数列*+，*+的通项公式； ()记= 2， ，证明：1 + 2+ + 2， 【答案】解：()设数列*+的公差为 d， 由题意得1 +
37、 2 = 4 1+ 3 = 31+ 3， 解得1= 0， = 2， = 2 2， = 2 ， ， 数列*+满足：对每个 ，+ ，:1+ ，:2+ 成等比数列 (:1+ )2= (+ )(:2+ )， 解得= 1 (:1 2 :2)， 解得= 2+ ， 证明：()= 2 = 2;2 2(:1) = ;1 (:1)， ， 用数学归纳法证明： 当 = 1时，1= 0 2，不等式成立； 假设 = ，( )时不等式成立，即1+ 2+ + 2， 则当 = + 1时， 1+ 2+ + + :1 2 + ( + 1)( + 2) 2 + 1 + 1 2 + 2 :1: = 2 + 2( + 1 ) = 2 +
38、 1， 即 = + 1时，不等式也成立 由得1+ 2+ + 2， 【知识点】等差数列的通项公式、运用数学归纳法证明、数列的综合应用 【解析】()利用等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出1= 0， = 2，从而= 2 2， .= 2 ， ，利用(:1+ )2= (+ )(:2+ )，能求出 ()= 2 = 2;2 2(:1) = ;1 (:1)， ，用数学归纳法证明，得到1 + 2+ + 2， 本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力 三、 【2019天津高考（理） 】设*+是等差数列，*+是等比数列已知1= 4，1= 6，2= 2
39、2 2， 3= 23+ 4 ()求*+和*+的通项公式； ()设数列*+满足1= 1，= 1,2 2:1, , = 2, 其中 ()求数列* 2(2 1)+的通项公式； ()求 2 1 ( ). 【答案】解：()设等差数列*+的公差为 d，等比数列*+的公比为 q， 依题意有： 6 = 6 + 2 62= 12 + 4，解得 = 3 = 2， = 4 + ( 1) 3 = 3 + 1， = 6 2;1= 3 2 ()() 数列*+满足1= 1，= 1,2 2:1, , = 2, 其中 2(2 1) = 2( 1) = (3 2+ 1)(3 2 1) = 9 4 1， 数列* 2(2 1)+的通
40、项公式为： 2(2 1) = 9 4 1 () 2 1 = , 2 1 + ( 1)- = 2 1 + 2 1 (2 1) = (2 4 + 2(2 1) 2 3) + ( 1 9 4 1) = (3 22;1+ 5 2;1) + 9 4(1 4) 1 4 = 27 22;1+ 5 2;1 12.( ). 【知识点】等差数列的通项公式、分组转化求和法、等比数列的求和、等比数列的通项公式、等差数列的 求和 【解析】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前 n 项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和 的基本方法以及运算求解能力 ()设等差数列*+的公差为 d，等比数列*+的公比为 q，利用等差
41、数列、等比数列的通项公式列出方程 组，能求出*+和*+的通项公式 ()()由 2(2 1) = 2( 1)，能求出数列* 2(2 1)+的通项公式 () 2 1 = , 2 1 + ( 1)- = 2 1 + 2 1 (2 1)= (2 4 + 2(2;1) 2 3) + ( 0， 由题意可得：3 = 3 + 2，32= 15 + 4， 解得： = 3， = 3， 故= 3 + 3( 1) = 3， = 3 3;1= 3， ()数列*+满足 11+ 22+ + 22( ) = (1+ 3+ 5+ + 2;1) + (21+ 42+ 63+ + 2) = ,3 + ( 1) 2 6- + (6
42、3 + 12 32+ 18 33+ + 6 3) = 32+ 6(1 3 + 2 32+ + 3) 令= (1 3 + 2 32+ + 3 )， 则 3= 1 32+ 2 33+ + 3:1， 得：2= 3 32 33 3+ 3:1 = 3 1 3 1 3 + 3:1 = (2;1)3:1:3 2 ， 故11+ 22+ + 22 = 32+ 6= (2;1)3:2:62:9 2 ( ). 【知识点】错位相减法、分组转化求和法、数列的递推关系 【解析】本题主要考查等差等比数列通项公式和前 n 项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相 减法的运算求解能力，属中档题 ()由等差等比数列通项公式
43、和前 n项和的求解*+和*+的通项公式即可 ()利用分组求和和错位相减法得答案 四、【2019上海高考】已知数列*+，1= 3，前 n项和为 (1)若*+为等差数列，且4= 15，求； (2)若*+为等比数列，且lim : 12，求公比 q的取值范围 【答案】解：(1)设公差为 d 4= 1+ 3 = 3 + 3 = 15， = 4， = 3 + (;1) 2 4 = 22+ ； (2)设公比为 q， 当 = 1时，= 3，显然不满足lim 12，故 1， = 3(1;) 1; ， lim :存在， 1 1，且 0， lim : = lim : 3(1;) 1; = 3 1;， 3 1; 12
44、， 3 4， 1 0或0 3 4， 公比 q 的取值范围为(1,0) (0, 3 4). 【知识点】等比数列的求和、极限思想、等差数列的求和 【解析】本题考查了等差数列和等比数列的前 n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 (1)求出公差即可求； (2)当 = 1时，显然不合题意，由 lim :存在得1 1且 0，由 lim : 12得 3 4，取交集可得 公比 q 的取值范围 【2019上海高考】已知等差数列*+的公差 (0,-，数列*+满足= sin()，集合 = *| = , + (1)若1= 0, = 2 3 ，求集合 S； (2)若1=
45、 2，求 d使得集合 S恰好有两个元素； (3)若集合 S恰好有三个元素：:= ，T 是不超过 7 的正整数，求 T的所有可能的值 【答案】解：(1) 等差数列*+的公差 (0,-，数列*+满足= sin()，集合 = *| = , + 当1= 0, = 2 3 ， 集合 = * 3 2 ,0， 3 2 +. (2) 1= 2，数列*+满足 = sin()，集合 = *| = , +恰好有两个元素，如图： 根据三角函数线，等差数列*+的终边落在 y 轴的正负半轴上时，集合 S恰好有两个元素，此时 = ， 1终边落在 OA上，要使得集合 S恰好有两个元素，可以使2，3的终边关于 y 轴对称，如图 OB，OC， 此时 = 2 3 ， 综上， = 2 3或者 = (3)当 = 1时，:1= ，数列*+为常数列，S 仅有 1个元素，显然不符合条件； 当 = 2时，:2= ，数列*+的周期为 2，S中有 2个元素，显
