1、 1 专题专题 09 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 1 定义： 等号两边都是整式， 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的方程， 叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一 次项系数；c 是常数项。 3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法 有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。 适用形式：x2=p、(x+n)2=p 或(mx+n)2=p。
2、（2）配方法。套用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： 化简把方程化为一般形式，并把二次项系数化为 1； 移项把常数项移项到等号的右边； 配方两边同时加上 b2，把左边配成 x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； 开方，即降次； 解一次方程。 （3）公式法。 当 b2-4ac0 时，方程 ax2+bx+c=0 的实数根可写为： a acbb x 2 4 2 的形式，这个式子叫做一元二次方 程 ax2+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根。 a
3、 acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。 a b xx 2 21 专题知识回顾专题知识回顾 2 b2-4ac0 时，方程无实数根。 定义：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母 表示，即 =b2-4ac。 （4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解 一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(0 2 acbxax的两个实数根是 21 xx， 那么 a b xx 21 ，
4、 a c xx 21 。 也就是说， 对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反 数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步：答。 【例题【例题 1】 (2019 安徽安徽)解方程：解方程： （x1）24 【例题【例题 2】(
5、2019 山西）山西）一元二次方程014 2 xx配方后可化为（ ） A.3)2( 2 x B.5)2( 2 x C.3)2( 2 x D.5)2( 2 x 【例题【例题 3】 （】 （2019 年山东省威海市）年山东省威海市）一元二次方程 3x242x 的解是 【例题【例题 4】 （】 （2019 年江苏省扬州市）年江苏省扬州市）一元二次方程 x（x2）x2 的根是 【例题【例题 5】 （】 （2019 北京市）北京市） 关于 x 的方程 2 2210 xxm 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方 程的根 【例题【例题6】（】（2019四川泸州）四川泸州） 已知x1， x2是一元
6、二次方程x2x40的两实根， 则 （x1+4）（x2+4） 的值是 【例题【例题 7】 (2019 安徽安徽)据国家统计局数据， 2018 年全年国内生产总值为 90.3 万亿， 比 2017 年增长 6.6% 假 设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破 100 万亿的年份是（ ） A2019 年 B2020 年 C2021 年 D2022 年 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 一、选择题一、选择题 1.( 2019 甘肃省兰州市甘肃省兰州市) x1 是关于的一元二次方程 x2+ax+2b0 的解，则 2a+4b（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.
7、（2019湖南怀化）湖南怀化）一元二次方程 x2+2x+10 的解是（ ） Ax11，x21 Bx1x21 Cx1x21 Dx11，x22 3.（2019浙江金华）浙江金华）用配方法解方程 x 2-6x-8=0 时，配方结果正确的是（ ） A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. （x-6)2=44 D. (x-3）2=1 4. （2019 湖北咸宁）湖北咸宁）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 5.(2019内蒙古包头市内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4， 且a，b是关于x的一
8、元二次方程x2-12x+m+2=0 的两根，则 m 的值是（ ） A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 6. （2019山东省聊城市）山东省聊城市） 若关于 x 的一元二次方程 （k2） x22kx+k6 有实数根， 则 k 的取值范围为 （ ） Ak0 B k0 且 k2 Ck Dk且 k2 7. （2019 湖北仙桃）湖北仙桃）若方程 x22x40 的两个实数根为 ，则 2+2的值为（ ） A12 B10 C4 D4 8. （2019江苏泰州）江苏泰州）方程 2x2+6x10 的两根为 x1 、x2 则 x1+x2等于（ ） A6 B6 C3 D3 9.（2019
9、山东淄博）山东淄博）若 x1+x23，x12+x225，则以 x1，x2为根的一元二次方程是（ ） Ax23x+20 Bx2+3x20 Cx2+3x+20 Dx23x20 10. （2019广东）广东）已知 x1.x2是一元二次方程了 x22x=0 的两个实数根，下列结论错误的是（ ） Ax1x2 Bx122x1=0 Cx1+x2=2 Dx1 x2=2 11.（2019广西贵港）广西贵港）若 ， 是关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的两实根，且+， 则 m 等于（ ） A2 B3 C2 D3 12 （ （2019浙江宁波）浙江宁波）能说明命题“关于 x 的方程 x24x+m0 一定有实
10、数根”是假命题的反例为（ ） Am1 Bm0 Cm4 Dm5 专题典型训练题 专题典型训练题 4 13.（2019黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每次 降价的百分率为（ ） A20% B40% C18% D36% 14. （2019湖南衡阳）湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区 2016 年底 有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万人设 2016 年底至 2018 年底该 地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得（ ） A9（12x）1
11、B9（1x）21 C9（1+2x）1 D9（1+x）21 二、填空题二、填空题 15. （2019 湖北十堰）湖北十堰）对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m 3）24，则 m 16. （2019 吉林长春）吉林长春）一元二次方程 x2-3x+1=0 根的判别式的值为 . 17.（2019 吉林省）吉林省）若关于 x 的一元二次方程（x+3)2=c 有实数根，则 c 的值可以为 （写出一个即可） 18.（2019 年湖北省荆门市）年湖北省荆门市）已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2+（3k+1）x+2k2+10 的两个不相等实数根，且 满足（x11）
12、 （x21）8k2，则 k 的值为 19. （2019 广西桂林）广西桂林）一元二次方程(3)(2)0 xx的根是 20. （2019年四川省遂宁市）年四川省遂宁市） 若关于x的方程x22x+k0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围为 21.（2019 年江西省）年江西省）设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 22.（2019 年四川省攀枝花市）年四川省攀枝花市）已知 x1，x2是方程 x22x10 的两根，则 x12+x22 23.（2019 年四川省成都市）年四川省成都市）已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根，
13、且 x12+x22 x1x213，则 k 的值为 24.（2019 年甘肃省天水市）年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增长率 为 （用百分数表示） 25.（2019 年四川省宜宾市）年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价 65 元，经市场预测，从现在开始 的第一季度销售价格将下降 10%，第二季度又将回升 5%若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平 均降低成本的百分率为 x，根据题意可列方程是 26.（201
14、9 年江苏省连云港市）年江苏省连云港市）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根，则+c 的值等于 27.（2019 年浙江省嘉兴市）年浙江省嘉兴市）在 x2+ +40 的括号中添加一个关于 x 的一次项，使方程有两个相等的实数 5 根 28.（2019 年山东省枣庄市）年山东省枣庄市）已知关于 x 的方程 ax2+2x30 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围 是 三、解答题三、解答题 29.（2019 年浙江省绍兴市）年浙江省绍兴市）x 为何值时，两个代数式 x2+1，4x+1 的值相等？ 30. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)已知关于 x 的方程 k
15、x23x+10 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)若该方程有两个实数根,分别为 x1和 x2,当 x1+x2+x1x24 时,求 k 的值. 31. （ 2019 湖北十堰）湖北十堰）已知于 x 的元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （2）若 x12+x22x1x230，且 a 为整数，求 a 的值 32. （2019 孝感）孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）若 a 为正整数，求 a 的值； （2）若 x1，x2满足 x12+x22x1x216，求 a
16、 的值 33.（2019 江苏徐州）江苏徐州）如图所示，有一块矩形硬纸板，长 30cm,宽 20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子 的侧面积为 200cm2？ 34.（2019湖南衡阳）湖南衡阳）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相 同的根，求此时 m 的值 35. （2019广西贵港）广西贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 201
17、6 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年均增长率； 6 （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新增加的图书中， 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏 书总量的百分之几？ 36. （2019湖南长沙）湖南长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参 与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益 课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人
18、次 （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 37. （2019湖南邵阳）湖南邵阳） 2019 年 1 月 14 日， 国新办举行新闻发布会， 海关总署新闻发言人李魁文在会上指出： 在 2018 年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为 30 万亿元人民币有望继续保持全球货 物贸易第一大国地位预计 2020 年我国外贸进出口总值将达 36.3 万亿元人民币求这两年我国外贸进出口 总值的年平均增长率 38.（2019湖北黄石）湖北黄石）已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0
19、有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为 x1.x2，且|x1x2|4，求 m 的值 39. （2019南京）南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形 广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺 设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 40. （2019山东省德州市山东省德州市 ）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋 养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进 馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同 （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率 不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由
