1、【新教材】【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质（人教（人教 A 版）版） 1.了解周期函数与最小正周期的意义; 2.了解三角函数的周期性和奇偶性; 3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期; 4.借助图象直观理解正、余弦函数在0,2上的性质(单调性、最值、图象与 x 轴的交点等); 5.能利用性质解决一些简单问题. 1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义； 2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间； 3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性. 4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性
2、质. 重点：重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质； 难点：难点：应用正、余弦函数的性质来求含有 cosx,sinx 的函数的单调性、最值、值域及对称性. 一、 预习导入 阅读课本 201-205 页，填写。 1.定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是_. 2.值域 (1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是_. (2)最值 正弦函数 当且仅当_时,取得最大值 当且仅当_时,取得最小值 余弦函数 当且仅当_时,取得最大值 当且仅当_时,取得最小值 3.周期性 定义：对于函数,如果存在一个_,使得当取定义域内的每一个值时, 都有_,那么函数就叫做周期函数,非零常数_叫做
3、这个函数的周期. 对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个_,那么这个_就叫做的最小正周期. 根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是. 4.奇偶性 ()为_,其图象_对称 ()为_,其图象_对称 5.对称性 正弦函数的对称中心是_, 对称轴是直线_; 余弦函数的对称中心是_, 对称轴是直线_. (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点). 6.单调性 正弦函数在每一个闭区间_上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间_上都是减函数,其值从减小到. 余弦函数在每一个闭区间_上都是增函数,其值从增
4、加到;余弦函数在每一个闭区间_上都是减函数,其值从减小到. 1判断正误 (1)存在 xR 满足 sin x 2. ( ) (2)函数 ycos 2x 在2， 上是减函数 ( ) (3)在区间0,2上，函数 ycos x 仅在 x0 时取得最大值 1. ( ) 2设函数 f(x)sin2x2，xR，则 f(x)是 ( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 3函数 ysin x 和 ycos x 都是减函数的区间是( ) A.2k2，2k (kZ) B.2k，2k2(kZ) C.2k，2k32(kZ) D.2k32，2k2 (k
5、Z) 4已知函数 f(x)sin2x32(xR)，下面结论错误的是( ) A函数 f(x)的最小正周期为 B函数 f(x)是偶函数 C函数 f(x)的图象关于直线 x4对称 D函数 f(x)在区间0，2上是增函数 题型一题型一 正、余弦函数的周期性正、余弦函数的周期性 例例 1 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3)y=2sin(126x),xR; (4)y=|cos x|,xR. 跟踪训练一跟踪训练一 1.（1）函数 y=2sin (3x+6),xR 的最小正周期是( ) (A)3 (B)23 (C)32 (D) (2)函数 y=
6、|sin 2x|(xR)的最小正周期为 . 题型二题型二 化简、求值化简、求值 例例 2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2sin 2x;(2)f(x)=sin(34x+32); (3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=1 cosx+cos1x. 跟踪训练二跟踪训练二 1.下列函数中,最小正周期为 的奇函数是( ) (A)y=sin(2x+2) (B)y=cos(2x+2) (C)y=sin(2x+4) (D)y=2sin(x+4) 2.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为 ，且当 x0，2时，f(x)sin x，则 f 53等于
7、( ) A12 B1 C32 D32 题型三题型三 正、余弦函数的单调性正、余弦函数的单调性 例例 3 求函数 y=sin(12x+3)的单调区间. 跟踪训练三跟踪训练三 1求函数 y2sin4x 的单调增区间 题型四题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用正弦函数、余弦函数单调性的应用 例例 4 比较下列各组中函数值的大小： （1）cos235与 cos174； (2)sin 194 与 cos 160 . 跟踪训练四跟踪训练四 1下列结论正确的是 ( ) Asin 400 sin 50 Bsin 220 cos 200 Dcos(40 )cos 310 题型五题型五 正、余弦函数的值域与最值
8、问题正、余弦函数的值域与最值问题 例例 5 求下列函数的值域: (1)y=cos(x+6),x0,2; (2)y=cos2x-4cos x+5. 跟踪训练五跟踪训练五 1. 函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为 . 2.设 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,则 g(x)=bsin(ax+3)的最大值为 . 1若函数1sin2yx（0）是R上的偶函数，则的值是（ ） A.0 B.4 C.2 D. 2若函数 sin6f xx（0）的最小正周期为5,则（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 3已知 cos3f xx，关于 f x的下列结论中错误的是（ ）
9、A. f x的一个周期为2 B. f x在,2单调递减 C.f x的一个零点为6x D. f x的图象关于直线83x对称 4求下列函数的单调递增区间 （1）1 cos2xy ； （2）12log sin 24yx 5比较下列各组数的大小 （1）cos8与13cos7； （2）317cos,sin, cos2104； （3）3cos sin8与3cos cos8 答案答案 小试牛刀小试牛刀 1(1) (2) (3) 2B. 3A. 4. C. 自主探究自主探究 例例 1 【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4). 【解析】:(1)因为 3cos(x+2)=3cos x,所以由周期函数的定义
10、知,y=3cos x 的最小正周期为 2. (2)因为 sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x 的最小正周期为 . (3) 因 为1s i n(4)s i n2s i n262626xxx, 所 以 由 周 期 函 数 的 定 义 知 ,2sin26xy的最小正周期为 4. (4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为 . 跟踪训练一跟踪训练一 1.【答案】(1)B；(2) 2 【解析】 (2)作出 y=|sin 2x|(xR)的图象(如图所示). 由图象可知,函数 y=|sin 2x|(xR
11、)的最小正周期为2. 例例 2【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数. 【解析】(1)显然 xR,f(-x)=2sin(-2x)=-2sin 2x=-f(x),所以 f(x)=2sin 2x 是奇函数. (2)因为 xR,f(x)=sin(34x+32)=-cos34x, 所以 f(-x)=-cos(-34x)=-cos34x=f(x), 所以函数 f(x)=sin(34x+32)是偶函数. (3)显然 xR,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x), 所以函数 f(x)=sin |x|是偶函数. (4)由1cos0,cos10,xx
12、 得 cos x=1,所以 x=2k(kZ),关于原点对称,此时 f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数. 跟踪训练二跟踪训练二 1.【答案】B 【解析】 A 中,y=sin(2x+2),即 y=cos 2x,为偶函数;C,D 中,函数为非奇非偶函数;B 中,y=cos(2x+2)=-sin 2x,是奇函数,T=22=,故选 B. 2.【答案】D 【解析】因为 f(x)的最小正周期为 T， 所以 f 53f 532 f 3， 又 yf(x)是偶函数，所以 f(x)f(x) 所以 f 53f 3f 3sin332. 例例 3【答案】略. 【解析】当-2+2k12x+32+2k(kZ)时函数单
13、调递增,所以函数的单调递增区间为-53+4k,3+4k(kZ).当2+2k12x+332+2k(kZ)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为3+4k,73+4k(kZ). 跟踪训练三跟踪训练三 1【答案】略. 【解析】y2sin4x 2sinx4，令 zx4，则 y2sin z，求 y2sin z 的增区间，即求ysin z 的减区间，所以22kz322k(kZ)， 即22kx4322k(kZ)，解得342kx742k(kZ)， 所以 y2sin4x 的单调增区间是342k，742k (kZ) 例例 4 【答案】（1）cos235cos174；（2）sin 194 cos 160 . 【解析
14、】（1）cos235cos675cos75， cos174cos674cos74， 75742，且函数 ycos x 在，2上单调递增， cos75cos74，即 cos235cos174. (2)sin 194 sin(180 14 )sin 14 ， cos 160 cos(180 20 )cos 20 sin 70 . 0 14 70 90 ，且函数 ysin x 在 0 x90 时单调递增，sin 14 sin 70 . 从而sin 14 sin 70 ，即 sin 194 cos 160 . 跟踪训练四跟踪训练四 1【答案】C. 【解析】由 cos 130 cos(180 50 )c
15、os 50 ，cos 200 cos(180 20 )cos 20 ，因为当0 x90 时， 函数 ycos x 是减函数， 所以 cos 50 cos 20 ， 即 cos 130 cos 200 . 例例 5 【答案】（1）-12,32 ；（2）2,10. 【解析】(1)由 x0,2可得 x+66,23, 函数 y=cos x 在区间6,23上单调递减,所以函数的值域为-12,32. (2)y=cos2x-4cos x+5,令 t=cos x, 则-1t1. y=t2-4t+5=(, 当 t=-1 时,函数取得 t-2)2+1 最大值 10; t=1 时,函数取得最小值 2,所以函数的值域
16、为2,10. 跟踪训练五跟踪训练五 1.【答案】-9,1. 【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2 =-2(sin x-54)2+98. 故当 sin x=1 时,ymax=1; 当 sin x=-1 时,ymin=-9, 故 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为-9,1. 2.【答案】1. 【解析】由题意 a0,当 a0 时,1,3,abab 所以2,1,ab 此时 g(x)=-sin(2x+3),其最大值为 1. 当 a0 时,3,1,abab 所以2,1.ab 此时 g(x)=-sin(-2x+
17、3),其最大值为 1.综上知,g(x)的最大值为 1. 当堂检测当堂检测 1-3CBB 4【答案】（1）4,42kk（kZ） ； （2）3,88kk（kZ）. 【解析】 （1）由题意可知函数cos2xy 的单调递减区间为函数1 cos2xy 的单调递增区间， 由222xkk（kZ） ， 得442kxk（kZ） ， 所以函数1 cos2xy 的单调递增区间为4,42kk（kZ） （2）由对数函数的定义域和复合函数的单调性， 可知sin 2043222242xkxkkZ， 解得22224kxk（kZ） ， 即388kxk（kZ） ， 故所求单调递增区间为3,88kk（kZ）. 5【答案】（1）13
18、coscos87；（2）713cossincos4102；（3）33cos coscos sin88 【解析】 （1）因为13coscos,coscos 2coscos887777，0872，且函数cosyx在0,2上单调递减， 所以coscos87，所以13coscos87 （2）1177sincos,coscos1021044， 因为713042102， 函数cosyx在0,上单调递减， 所以713coscoscos42102， 即713cossincos4102 （3）3coscossin8288 因为30882，函数sinyx在0,2上单调递增， 所以30sinsin1882 ，即330cossin882， 又函数cosyx在0,2上单调递减， 所以33cos coscos sin88
