1、14.2 正弦函数正弦函数、余弦函数的性质余弦函数的性质(一一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数 yAsin(x)及 y Acos(x)的周期.3.掌握函数 ysin x, ycos x 的奇偶性, 会判断简单三角函数的奇偶性 知识点一 函数的周期性 1对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x T)f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 2如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做 f(x)的最 小正周期 知识点二 正弦函数、余弦函数的
2、周期性 由sin(x2k)sin x, cos(x2k)cos x(kZ)知, ysin x与ycos x都是周期函数, 2k(kZ 且 k0)都是它们的周期,且它们的最小正周期都是 2. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性 1对于 ysin x,xR,恒有 sin(x)sin x,所以正弦函数 ysin x 是奇函数,正弦曲线 关于原点对称 2对于 ycos x,xR,恒有 cos(x)cos x,所以余弦函数 ycos x 是偶函数,余弦曲线 关于 y 轴对称 1函数 f(x)x2满足 f(36)f(3),所以 f(x)x2是以 6 为周期的周期函数( ) 提示 周期函数需满足对定义域内
3、每一个值 x,都有 f(xT)f(x),对于 f(x)x2,f(0)0,f(0 6)f(6)36,f(0)f(06),f(x)x2不是以 6 为周期的周期函数 2ycos 2x 是偶函数( ) 3任何周期函数都有最小正周期( ) 提示 常函数 f(x)c,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期 4y|sin x|是周期函数( ) 题型一 三角函数的周期性 例 1 求下列函数的最小正周期 (1)ysin 2x 3 (xR); (2)y|sin x|(xR) 考点 正弦、余弦函数的周期性 题点 正弦、余弦函数的周期性 解 (1)方法一 令 z2x 3,因为 xR,所以 zR. 函数 f(x
4、)sin z 的最小正周期是 2, 即变量 z 只要且至少要增加到 z2, 函数 f(x)sin z(zR)的值才能重复取得 而 z22x 322(x) 3,所以自变量 x 只要且至少要增加到 x,函数值才能重 复取得,所以函数 f(x)sin 2x 3 (xR)的最小正周期是 . 方法二 f(x)sin 2x 3 的最小正周期为2 2 . (2)因为 y|sin x| sin x,2kx2k, sin x,2k0, 1cos x0, 得1cos x0)的最小正周期为2 3 ,则 f() . 考点 正弦、余弦函数的周期性 题点 正弦、余弦函数的周期性 答案 3 2 解析 由已知2 2 3 ,得
5、 3, 所以 f(x)3cos 3x 3 , 所以 f()3cos 3 3 3cos 3 3cos 2 3 3 2. 4已知 aR,函数 f(x)sin x|a|,xR 为奇函数,则 a . 考点 正弦、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦、余弦函数的奇偶性 答案 0 解析 因为 f(x)sin x|a|,xR 为奇函数, 所以 f(0)sin 0|a|0,所以 a0. 5已知函数 f(x)axbsin x1,若 f(2 020)7,则 f(2 020) . 考点 正弦、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦、余弦函数的对称性 答案 5 解析 由 f(2 020)2 020absin 2 020
6、17, 得 2 020absin 2 0206, f(2 020)2 020absin 2 0201 (2 020absin 2 020)1615. 1求函数的最小正周期的常用方法 (1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使 f(xT) f(x)成立的 T. (2)图象法,即作出 yf(x)的图象,观察图象可求出 T,如 y|sin x|. (3)结论法,一般地,函数 yAsin(x)(其中 A, 为常数,A0,0,xR)的周期 T2 . 2判断函数的奇偶性,必须坚持“定义域优先”的原则,准确求函数定义域和将式子合理变 形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称,再看 f(x)与 f(x)的关系,从而判断奇 偶性